人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 高考模拟：圆锥曲线的方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 高考模拟：圆锥曲线的方程（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 171.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-21 19:39:13 | ||
图片预览
文档简介
高考模拟：圆锥曲线的方程
一、单项选择题
1.（2020·福建莆田第二十四中月考）“”是“曲线为双曲线”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2020·宁夏银川一中期末）若，则和所表示的曲线只可能是下图中的（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（200.四川德阳模拟）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2020·江西南昌外国语学校月考）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，若与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2020·福建厦门质检）设圆锥曲线T的两个焦点分别为。若曲线T上存在点P满足，则曲线T的离心率等于（ ）
A.或
B.或2
C.或2
D.或
6.（2020·湖北黄冈模拟）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点之间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.（2020·河北石家庄质检）已知双曲线的左、右焦点分别为，点M在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为（ ）
A.
B.
C.2
D.
8.（2020·山东济南模拟）已知点，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9.已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，直线l平行于OM且在y轴上的截距为m，直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点。下列结构正确的是（ ）
A.椭圆C的方程为
B.
C.
D.或
10.已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，△的面积为20，则下列说法正确的是（ ）
A.点P的横坐标为
B.△的周长为
C.∠小于
D.△的内切圆半径为
11.已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.F为AD的中点
C.
D.
12.如图，已知椭圆，过抛物线焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为，则在下列命题中，正确的是（ ）
A.若记直线NO，MO的斜率分别为，则的大小是定值为
B.△OAB的面积是定值1
C.线段OA，OB长度的平方和是定值5
D.设，则
三、填空题
13.（2020·河南新乡高三联考）设P为曲线上一点，，若，则_________。
14.（2020·湖南长沙调研）已知点，对于抛物线上任意一点Q，都满足，则a的取值范围是_________。
15.（2020·四川成都摸底测试）椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是_________。
16.（2020·湖北八校联考）我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图是双曲线的图像，给出以下结论：
①双曲线是黄金双曲线；
②若，则该双曲线是黄金双曲线；
③若分别为左，右焦点，分别为左、右顶点，，且，则该双曲线是黄金双曲线；
④若直线MN过双曲线的右焦点，且，则该双曲线是黄金双曲线。
其中正确结论的序号为_______。（将所有正确结论的序号都填上）
四、解答题
17.（2020·湖北武汉外国语学校单元检测）（本小题满分10分）已知直线l过定点且斜率为k，试求k的范围，使得曲线的所有弦都不能被直线l垂直平分。
18.（2020·河南洛阳期中）（本小题满分12分）已知点，椭圆的离心率为是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为为坐标原点。
（1）求E的方程；
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程。
19.（2020·广东汕头模拟）（本小题满分12分）已知椭圆。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值。
20.（2020·河北九校高三第二次联考）（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且。
（1）求抛物线C的方程
（2）设直线l为抛物线C的切线，且为l上一点，求的最小值。
21.（2020·湖南郴州模拟）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由。
22.（2020·湖北武汉4月调研）（本小题满分12分）已知椭圆，过点作倾斜角互补的两条不同直线，设与椭圆T交于A，B两点，与椭圆T交于C，D两点。
（1）若为线段AB的中点，求直线AB的方程；
（2）若直线与的斜率都存在，记，求的取值范围。
参考答案
1.
答案：A
解析：当时，，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有或。故“”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件。故选A。
2.
答案：C
解析：且，
可化为可化为。
在A中，由直线得，由双曲线得，不合题意；
在B中，由直线得，由椭圆得，不合题意；
在C中，由直线得，由双曲线得，符合题意；
在D中，由直线得，由椭圆得，不合题意。故选C。
3.
答案：A
解析：因为抛物线的焦点为，故双曲线中，且①，又②，联立方程①②，解得。故。
4.
答案：C
解析：椭圆的离心率双曲线的离心率，由题意得，解得，所以，所以双曲线的渐近线方程为，即。
5.
答案：A
解析：设圆锥曲线的离心率为e，由，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得。综上，所求的离心率为或。故选A。
6.
答案：A
解析：若双曲线的焦点在x轴上，
则
又，
。
若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为，即
即，且，此时n不存在，故选A。
7.
答案：A
解析：因为，所以，即，故，则，当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立。故此双曲线离心率的最大值为。
8.
答案：A
解析：设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则。
点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且。故双曲线的方程是。
9.
答案：ABC
解析：由题意，得解得故椭圆C的方程为，A项正确；由于，故B项正确；因为直线l的斜率，又l在y轴上的截距为m，所以l的方程为。由得。因为直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点，所以，解得，故C项正确，D项错误。
10.
答案：ABCD
解析：双曲线的，不妨设，由
△的面积为20，可得，即。由，可得，故A项正确。由，且，可得，则，则，故C项正确：由，则△的周长为，故B项正确。设△的内切圆半径为r，可得，可得，解得，数D项正确，故选A、B、C、D。
11.
答案：ABC
解析：如图，，直线l的斜率为，则直线方程为，联立得，解得。
由，得，所以抛物线方程为。，则，所以，则F为AD的中点。故选A、B、C。
12.
答案：ABCD
解析：，设直线MN的方程为，联立方程组消元得，所以，所以，所以：故A项正确；设直线OA的方程为，则直线0B的方程为，联立方程组解得，不妨设A在第三象限，则，用替换m可得，所以A到OB的距离，又，所以，故B项正确；又，所以，故C项正确；联方方程组可得，故，所以替换m可得所以M到直线OA的距离，所以4m2=2m+≥2，当且仅当即时取等号，所以，故D项正确。故选A、B、C、D。
13.
答案：4
解析：由，得，即，故P为双曲线右支上一点，且A，B分别为该双曲线的左、右焦点，则，故。
14.
答案：
解析：设，由得，即，所以，所以恒成立，则，即。故填。
15.
答案：
解析：如图，设右焦点为，连接，
因为△FMN的周长，且，当三点共线，即时，等号成立，所以当△FMN的周长最大时，，所以△FMN的面积。
16.
答案：①②③④
解析：对于①，，则，则，所以，所以双曲线是黄金双曲线，故①正确；对于②，，整理得，解得（负值舍去），所以双曲线是黄金双曲线，故②正确；对于③，，又在Rt△中，，故，整理得，由②可知，所以双曲线是黄金双曲线，故③正确；对于④，易知，把代入双曲线的方程得，解得，则。因为，所以由对称关系知△MON为等腰直角三角形，所以，所以△为等腰直角三角形，所以，即，由②可知，所以双曲线是黄金双曲线，故④正确。
17.
答案：见解析
解析：当时，符合题意。当时，设直线l的方程为，设被l垂直平分的弦的两端点为，则BC的中点为，
若BC被l垂直平分，则且，
从而，
即，解得。
再用补集思想，故即为所求。
18.
答案：见解析
解析：（1）设，由条件知，
解得。
又，所以，则，
故E的方程为。
（2）当轴时不合题意，故设，。
将代入，
得。
当，即时，
从而。
又点O到直线PQ的距离。
所以△的面积，设，设，则，
因为，当且仅当即，即时等号成立，满足，所以当△OPQ的面积取得最大值时，直线l的方程为或。
19.
答案：见解析
解析：（1）由题意，得椭圆C的标准方程为，
所以，从而。
因此。
故椭圆C的离心率。
（2）设点A，B的坐标分别为，其中，。
因为，所以，即，解得。
又，所以
。
因为，当且仅当时等号成立，
所以。
故线段AB长度的最小值为。
20.
答案：见解析
解析：（1）由题意可知，则直线MN的方程为，
代入中，得，设，则有，
，即，解得，
抛物线C的方程为。
（2）设直线l的方程为，代入，得。
直线l为抛物线C的切线，，解得。
由（1）可知，，
设，则，
，
又，
，
故，
当且仅当，即点P的坐标为时，取得最小值。
21.
答案：见解析
解析：（1）由点到直线的距离公式得。
椭圆的离心率，
椭圆的方程是。
（2）联立直线与椭圆的方程，得消去y，得，
，
或。
设，则有。
。
若以CD为直径的圆过点E，则，即，
。
又，
，
，
解得，
当时，以CD为直径的圆过点E。
22.
答案：见解析
解析：（1）方法一（点差法）：由题意可知直线AB的斜率存在。
设，则
两式作差得，
直线AB的方程为，即。
方法二：由题意可知直线AB的斜率存在。
设直线AB的斜率为k，
则其方程为，代入中，
得。
。
。
设，则
的中点为，
，则。
直线AB的方程为，即。
（2）由（1）可知
。
设直线CD的方程为。
同理可得。
。
。
令，则，
令，
在上单调递减，
或。
故或。
。
【点评】（1）方法一：利用点差法得直线AB的斜率，进而求得直线AB的方程。
方法二：设出直线AB的方程，与椭圆方程联立并消元，利用根与系数的关系及AB中点的坐标建立斜率k的方程，从而求得k，得到直线AB的方程。
（2）利用弦长公式求得与，进而将表示成关于k的函数，结合函数特征及函数性质求得的取值范围。
7 / 9
一、单项选择题
1.（2020·福建莆田第二十四中月考）“”是“曲线为双曲线”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2020·宁夏银川一中期末）若，则和所表示的曲线只可能是下图中的（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（200.四川德阳模拟）双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2020·江西南昌外国语学校月考）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，若与的离心率之积为，则的渐近线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2020·福建厦门质检）设圆锥曲线T的两个焦点分别为。若曲线T上存在点P满足，则曲线T的离心率等于（ ）
A.或
B.或2
C.或2
D.或
6.（2020·湖北黄冈模拟）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点之间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.（2020·河北石家庄质检）已知双曲线的左、右焦点分别为，点M在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为（ ）
A.
B.
C.2
D.
8.（2020·山东济南模拟）已知点，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9.已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，直线l平行于OM且在y轴上的截距为m，直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点。下列结构正确的是（ ）
A.椭圆C的方程为
B.
C.
D.或
10.已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，△的面积为20，则下列说法正确的是（ ）
A.点P的横坐标为
B.△的周长为
C.∠小于
D.△的内切圆半径为
11.已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.F为AD的中点
C.
D.
12.如图，已知椭圆，过抛物线焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交于A，B两点，连接AB，△OMN与△OAB的面积分别记为，则在下列命题中，正确的是（ ）
A.若记直线NO，MO的斜率分别为，则的大小是定值为
B.△OAB的面积是定值1
C.线段OA，OB长度的平方和是定值5
D.设，则
三、填空题
13.（2020·河南新乡高三联考）设P为曲线上一点，，若，则_________。
14.（2020·湖南长沙调研）已知点，对于抛物线上任意一点Q，都满足，则a的取值范围是_________。
15.（2020·四川成都摸底测试）椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是_________。
16.（2020·湖北八校联考）我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图是双曲线的图像，给出以下结论：
①双曲线是黄金双曲线；
②若，则该双曲线是黄金双曲线；
③若分别为左，右焦点，分别为左、右顶点，，且，则该双曲线是黄金双曲线；
④若直线MN过双曲线的右焦点，且，则该双曲线是黄金双曲线。
其中正确结论的序号为_______。（将所有正确结论的序号都填上）
四、解答题
17.（2020·湖北武汉外国语学校单元检测）（本小题满分10分）已知直线l过定点且斜率为k，试求k的范围，使得曲线的所有弦都不能被直线l垂直平分。
18.（2020·河南洛阳期中）（本小题满分12分）已知点，椭圆的离心率为是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为为坐标原点。
（1）求E的方程；
（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程。
19.（2020·广东汕头模拟）（本小题满分12分）已知椭圆。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在直线上，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值。
20.（2020·河北九校高三第二次联考）（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且。
（1）求抛物线C的方程
（2）设直线l为抛物线C的切线，且为l上一点，求的最小值。
21.（2020·湖南郴州模拟）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点，是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过点？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由。
22.（2020·湖北武汉4月调研）（本小题满分12分）已知椭圆，过点作倾斜角互补的两条不同直线，设与椭圆T交于A，B两点，与椭圆T交于C，D两点。
（1）若为线段AB的中点，求直线AB的方程；
（2）若直线与的斜率都存在，记，求的取值范围。
参考答案
1.
答案：A
解析：当时，，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有或。故“”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件。故选A。
2.
答案：C
解析：且，
可化为可化为。
在A中，由直线得，由双曲线得，不合题意；
在B中，由直线得，由椭圆得，不合题意；
在C中，由直线得，由双曲线得，符合题意；
在D中，由直线得，由椭圆得，不合题意。故选C。
3.
答案：A
解析：因为抛物线的焦点为，故双曲线中，且①，又②，联立方程①②，解得。故。
4.
答案：C
解析：椭圆的离心率双曲线的离心率，由题意得，解得，所以，所以双曲线的渐近线方程为，即。
5.
答案：A
解析：设圆锥曲线的离心率为e，由，知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得；②若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得。综上，所求的离心率为或。故选A。
6.
答案：A
解析：若双曲线的焦点在x轴上，
则
又，
。
若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为，即
即，且，此时n不存在，故选A。
7.
答案：A
解析：因为，所以，即，故，则，当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立。故此双曲线离心率的最大值为。
8.
答案：A
解析：设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则。
点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且。故双曲线的方程是。
9.
答案：ABC
解析：由题意，得解得故椭圆C的方程为，A项正确；由于，故B项正确；因为直线l的斜率，又l在y轴上的截距为m，所以l的方程为。由得。因为直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点，所以，解得，故C项正确，D项错误。
10.
答案：ABCD
解析：双曲线的，不妨设，由
△的面积为20，可得，即。由，可得，故A项正确。由，且，可得，则，则，故C项正确：由，则△的周长为，故B项正确。设△的内切圆半径为r，可得，可得，解得，数D项正确，故选A、B、C、D。
11.
答案：ABC
解析：如图，，直线l的斜率为，则直线方程为，联立得，解得。
由，得，所以抛物线方程为。，则，所以，则F为AD的中点。故选A、B、C。
12.
答案：ABCD
解析：，设直线MN的方程为，联立方程组消元得，所以，所以，所以：故A项正确；设直线OA的方程为，则直线0B的方程为，联立方程组解得，不妨设A在第三象限，则，用替换m可得，所以A到OB的距离，又，所以，故B项正确；又，所以，故C项正确；联方方程组可得，故，所以替换m可得所以M到直线OA的距离，所以4m2=2m+≥2，当且仅当即时取等号，所以，故D项正确。故选A、B、C、D。
13.
答案：4
解析：由，得，即，故P为双曲线右支上一点，且A，B分别为该双曲线的左、右焦点，则，故。
14.
答案：
解析：设，由得，即，所以，所以恒成立，则，即。故填。
15.
答案：
解析：如图，设右焦点为，连接，
因为△FMN的周长，且，当三点共线，即时，等号成立，所以当△FMN的周长最大时，，所以△FMN的面积。
16.
答案：①②③④
解析：对于①，，则，则，所以，所以双曲线是黄金双曲线，故①正确；对于②，，整理得，解得（负值舍去），所以双曲线是黄金双曲线，故②正确；对于③，，又在Rt△中，，故，整理得，由②可知，所以双曲线是黄金双曲线，故③正确；对于④，易知，把代入双曲线的方程得，解得，则。因为，所以由对称关系知△MON为等腰直角三角形，所以，所以△为等腰直角三角形，所以，即，由②可知，所以双曲线是黄金双曲线，故④正确。
17.
答案：见解析
解析：当时，符合题意。当时，设直线l的方程为，设被l垂直平分的弦的两端点为，则BC的中点为，
若BC被l垂直平分，则且，
从而，
即，解得。
再用补集思想，故即为所求。
18.
答案：见解析
解析：（1）设，由条件知，
解得。
又，所以，则，
故E的方程为。
（2）当轴时不合题意，故设，。
将代入，
得。
当，即时，
从而。
又点O到直线PQ的距离。
所以△的面积，设，设，则，
因为，当且仅当即，即时等号成立，满足，所以当△OPQ的面积取得最大值时，直线l的方程为或。
19.
答案：见解析
解析：（1）由题意，得椭圆C的标准方程为，
所以，从而。
因此。
故椭圆C的离心率。
（2）设点A，B的坐标分别为，其中，。
因为，所以，即，解得。
又，所以
。
因为，当且仅当时等号成立，
所以。
故线段AB长度的最小值为。
20.
答案：见解析
解析：（1）由题意可知，则直线MN的方程为，
代入中，得，设，则有，
，即，解得，
抛物线C的方程为。
（2）设直线l的方程为，代入，得。
直线l为抛物线C的切线，，解得。
由（1）可知，，
设，则，
，
又，
，
故，
当且仅当，即点P的坐标为时，取得最小值。
21.
答案：见解析
解析：（1）由点到直线的距离公式得。
椭圆的离心率，
椭圆的方程是。
（2）联立直线与椭圆的方程，得消去y，得，
，
或。
设，则有。
。
若以CD为直径的圆过点E，则，即，
。
又，
，
，
解得，
当时，以CD为直径的圆过点E。
22.
答案：见解析
解析：（1）方法一（点差法）：由题意可知直线AB的斜率存在。
设，则
两式作差得，
直线AB的方程为，即。
方法二：由题意可知直线AB的斜率存在。
设直线AB的斜率为k，
则其方程为，代入中，
得。
。
。
设，则
的中点为，
，则。
直线AB的方程为，即。
（2）由（1）可知
。
设直线CD的方程为。
同理可得。
。
。
令，则，
令，
在上单调递减，
或。
故或。
。
【点评】（1）方法一：利用点差法得直线AB的斜率，进而求得直线AB的方程。
方法二：设出直线AB的方程，与椭圆方程联立并消元，利用根与系数的关系及AB中点的坐标建立斜率k的方程，从而求得k，得到直线AB的方程。
（2）利用弦长公式求得与，进而将表示成关于k的函数，结合函数特征及函数性质求得的取值范围。
7 / 9