人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册 课后提升训练：《圆锥曲线的方程》章末综合提升（含解析）

第三章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.抛物线y=4x2的焦点坐标是(　　)
A.(0,1) B.(1,0)
C. D.
2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为(　　)
A.=1
B.=1
C.=1或=1
D.=1
3.已知0<θ<,则双曲线C1:=1与C2:=1的(　　)
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
4.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.
5.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为(　　)
A.1 B.0
C.-2 D.-
6.已知a>b>0,椭圆C1的方程为=1,双曲线C2的方程为=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(　　)
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±2y=0 D.2x±y=0
7.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为(　　)
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是(　　)
A. B. C. D.2
二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)
9.两数1,9的等差中项是a,等比中项是b,则曲线=1的离心率可能是(　　)
A. B.
C. D.
10.若方程=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是(　　)
A.若t<1,则C为双曲线
B.若1C.若C为双曲线,则焦距为4
D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则311.已知△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是(　　)
A.-1 B.
C. D.+1
12.(2020·山东济南一中月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且=0,双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若∠F1PF2=,则正确的是(　　)
A.=2
B.e1·e2=
C.
D.=1
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为　　　　　.
14.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　　.
15.如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,
水面宽为　　　　　米;已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A,B两点,则A,B两点间的距离|AB|=　　　　　.
16.已知点F(-c,0)(c>0)是双曲线=1的左焦点,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点F和另一个点P,且点P在抛物线y2=4cx上,则该双曲线的离心率的平方e2的值为　　　　　.
四、解答题(共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率e=,直线l过A(a,0),B(0,-b)两点,原点O到直线l的距离是.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点B作直线m交双曲线于M,N两点,若=-23,求直线m的方程.
18.(本小题满分12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少
19.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)记斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,椭圆C上存在点P满足,求四边形OAPB的面积.
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,左、右顶点分别为A,B,线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限,过点A,B分别作l1⊥PA,l2⊥PB,直线l1,l2交于点C.
(1)若点C的横坐标为-1,求P点的坐标;
(2)直线l1与椭圆M的另一交点为Q,且=λ,求λ的取值范围.
21.(本小题满分12分)如图,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且MA=MB.
(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程.
22.(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1,0),椭圆C1过点G,抛物线C2的顶点为原点.
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;
(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点,过点P作抛物线C2的两条切线PA,PB,其中A、B为切点.①设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;
②若直线AB交椭圆C1于C,D两点,分别是△PAB,△PCD的面积,试问:是否有最小值 若有,求出最小值;若没有,请说明理由.
第三章测评答案
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.抛物线y=4x2的焦点坐标是(　　)
A.(0,1) B.(1,0)
C. D.
解析抛物线y=4x2的标准方程为x2=y,即p=,开口向上,焦点在y轴的正半轴上,故焦点坐标为.
答案C
2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为(　　)
A.=1
B.=1
C.=1或=1
D.=1
解析由题意,得解得
∴椭圆的方程为=1或=1.
答案C
3.已知0<θ<,则双曲线C1:=1与C2:=1的(　　)
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
解析双曲线C1和C2的实半轴长分别是sinθ和cosθ,虚半轴长分别是cosθ和sinθ,半焦距都等于1,故选D.
答案D
4.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得=0.根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且=-,所以=0,所以a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以,所以e=.
答案B
5.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为(　　)
A.1 B.0
C.-2 D.-
解析设P(x0,y0),则=1,由题意得A1(-1,0),F2(2,0),则=(-1-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=-x0-2+,由双曲线方程得=3(-1),故=4-x0-5(x0≥1),可得当x0=1时,有最小值-2,故选C.
答案C
6.已知a>b>0,椭圆C1的方程为=1,双曲线C2的方程为=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(　　)
A.x±y=0 B.x±y=0
C.x±2y=0 D.2x±y=0
解析设椭圆和双曲线的半焦距为c1,c2,
则e1·e2=,
所以,所以双曲线C2的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.
答案A
7.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为(　　)
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y),∵AQ的垂直平分线交CQ于点M,∴|MA|=|MQ|,又|MQ|+|MC|=5,∴|MC|+|MA|=5>|AC|,
依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以A,C为焦点,且2a=5,c=1,∴b=,故椭圆方程为=1,即=1,故选D.
答案D
8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是(　　)
A. B. C. D.2
解析设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.
双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=,a=,
设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy,
当点P被看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,
当点P被看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,
两式联立消去xy得4c2=+3a2,
即4c2=+3,
所以+3=4,又=e,
所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,
解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=,即双曲线的离心率为.
答案A
二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分.错选得0分,少选得3分)
9.两数1,9的等差中项是a,等比中项是b,则曲线=1的离心率可能是(　　)
A. B.
C. D.
解析由题意得a=5,b=±3,当a=5,b=-3时e=,
当a=5,b=3时e=.
答案AB
10.若方程=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是(　　)
A.若t<1,则C为双曲线
B.若1C.若C为双曲线,则焦距为4
D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则3解析对于A,当t<1时,5-t>4,t-1<0,此时表示焦点在x轴上的双曲线,所以正确的;
对于B,当t=3时,此时方程x2+y2=2表示圆,所以不正确;
当方程=1表示焦点在y轴上椭圆,则满足解得3对于C,当t=0时,方程=1,此时双曲线的焦距为2,所以不正确.
答案AD
11.已知△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,该圆锥曲线E的离心率可以是(　　)
A.-1 B.
C. D.+1
解析因为△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,
所以(ⅰ)若该圆锥曲线是椭圆,当C=时,离心率e=,
当C=时,离心率e=-1;
(ⅱ)若该圆锥曲线是双曲线,根据双曲线的特征可得,则只有C=,
此时,离心率e=+1.
答案ABD
12.(2020·山东济南一中月考)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且=0,双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若∠F1PF2=,则正确的是(　　)
A.=2
B.e1·e2=
C.
D.=1
解析因为=0且||=||,故三角形MF1F2为等腰直角三角形,
设椭圆的半焦距为c,则c=b=a,所以e1=.
在焦点三角形PF1F2中,|PF1|=x,|PF2|=y,双曲线C2的实半轴长为a',
则故xy=c2,
从而(x-y)2=x2+y2-xy-xy=,
所以(a')2=即e2=,故,e2e1==2,=1.
答案BD
三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程为　　　　　.
解析由题意2a=6,∴a=3.当焦点在x轴上时,
∵双曲线的渐近线方程为y=±x,
∴,∴b=.∴方程为=1;
当焦点在y轴上时,∵双曲线的渐近线方程为y=±x,
∴,∴b=2,∴方程为=1.
故双曲线的标准方程为=1或=1.
答案=1或=1
14.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　　.
解析由于抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-,由解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为A,B,所以|AB|=2.由△ABF为等边三角形,得|AB|=p,解得p=6.
答案6
15.如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,
水面宽为　　　　　米;已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A,B两点,则A,B两点间的距离|AB|=　　　　　.
解析以拱顶为坐标原点建立直角坐标系,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向.设抛物线方程为x2=-2py,将点(-2,-2)代入x2=-2py,解得p=1,
∴x2=-2y.水位下降1m后,设直线y=-3与抛物线的交点为(x0,-3),则有=6,解得x0=±,
∴水面宽为2m.
抛物线方程为x2=-2y,焦点,
即直线方程为y=2x-,
联立方程
得4y2+36y+1=0,有y1+y2=-9,
∵焦点在y轴负半轴,由焦点弦公式得|AB|=-(y1+y2)+p=10.
答案2　10
16.已知点F(-c,0)(c>0)是双曲线=1的左焦点,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点F和另一个点P,且点P在抛物线y2=4cx上,则该双曲线的离心率的平方e2的值为　　　　　.
解析如图,设双曲线的右焦点为F',由题意可知FF'为圆x2+y2=c2的直径.
设P(x,y)(x>0),
则有将①代入②得x2+4cx-c2=0,
则x==-2c±c,即x=(-2)c或x=(--2)c(舍去),
将x=(-2)c代入③,得,即y=,再将x,y的表达式代入①,得
=4c2(-2),即=4(-2),∴=e2-1,
解得e2=.
答案
四、解答题(共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率e=,直线l过A(a,0),B(0,-b)两点,原点O到直线l的距离是.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点B作直线m交双曲线于M,N两点,若=-23,求直线m的方程.
解(1)依题意得l的方程为=1,
即bx-ay-ab=0.
由原点O到直线l的距离为,得,
又e=,∴b=1,a=.
故所求双曲线方程为-y2=1.
(2)显然直线m不与x轴垂直,设直线m的方程为y=kx-1,则点M(x1,y1),N(x2,y2)是方程组的解,消去y,得(1-3k2)x2+6kx-6=0.①
依题意知1-3k2≠0,当Δ=36k2-4(1-3k2)·(-6)=24-36k2>0,即k2<时,由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=,
∵=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-1)(kx2-1)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1=+1=+1=-23,解得k=±.
当k=±时,方程①均有两个不相等的实数根,
∴直线m的方程为y=x-1或y=-x-1.
18.(本小题满分12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少
解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离,
知点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,
∴所求轨迹的方程为x2=4y.
(2)由题意易知直线l2的斜率存在,
又抛物线方程为x2=4y,当直线l2的斜率为0时,
|PQ|=4.
当直线l2的斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),
则有=4y1,=4y2,两式作差得=4(y1-y2),
即得k=,则直线l2的方程为y-2=(x-t),与x2=4y联立得x2-2tx+2t2-8=0.
由根与系数的关系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,
|PQ|=　
=≤6,
当且仅当8-t2=4+t2,即t=±时,等号成立.
即|PQ|的最大值为6.
19.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)记斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,椭圆C上存在点P满足,求四边形OAPB的面积.
解(1)由题意知c=1,a=2,则b=,故椭圆C的方程是=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
设直线l:y=kx+m.由
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
故Δ=48(4k2+3-m2)>0且
由,可得
且点P在椭圆C上,所以=1,
其中x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,
代入=1,化简可得4m2=3+4k2.
|AB|=|x1-x2|=,
坐标原点到直线l的距离d=.
所以四边形OAPB的面积
S=|AB|d==3.
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为,左、右顶点分别为A,B,线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限,过点A,B分别作l1⊥PA,l2⊥PB,直线l1,l2交于点C.
(1)若点C的横坐标为-1,求P点的坐标;
(2)直线l1与椭圆M的另一交点为Q,且=λ,求λ的取值范围.
解(1)由题意得解得a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.
∴椭圆M的方程是=1,且A(-2,0),B(2,0),
设P(x0,y0),则kPA=,∵l1⊥PA,∴直线AC的方程为y=-(x+2),
同理,直线BC的方程为y=-(x-2).
联立方程解得
又∵=-y0,
∴点C的坐标为(-x0,-y0),∵点C的横坐标为-1,∴x0=1,
又∵P为椭圆M上第一象限内一点,∴y0=,
∴P点的坐标为.
(2)设Q(xQ,yQ),∵=λ,
∴
解得
∵点Q在椭圆M上,∴=1,又=3,
整理得7-36(λ-1)x0+72λ-100=0,解得x0=2或x0=,
∵P为椭圆M上第一象限内一点,∴0<<2,解得<λ<,
故λ的取值范围为.
21.(本小题满分12分)如图,M是抛物线y2=x上的一点,动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点,且MA=MB.
(1)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;
(2)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程.
(1)证明设定点M(,y0),直线ME的斜率为k(k>0),
由|MA|=|MB|可知直线MF的斜率为-k,
即直线ME的方程为y-y0=k(x-).
由
消去x,得ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得yE=,则xE=.
同理可得yF=,xF=.
故kEF===-(定值).
因此,直线EF的斜率为定值.
(2)解设动点M(,y0).
∵当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,∴k=1.
∴直线ME的方程为y-y0=x-.
由得E((1-y0)2,1-y0).
同理可得F((1+y0)2,-(1+y0)).
设重心G(x,y),则有
消去参数y0,得y2=x-.
22.(本小题满分12分)已知中心在原点的椭圆C1和抛物线C2有相同的焦点(1,0),椭圆C1过点G,抛物线C2的顶点为原点.
(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程;
(2)设点P为抛物线C2准线上的任意一点,过点P作抛物线C2的两条切线PA,PB,其中A、B为切点.①设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值;
②若直线AB交椭圆C1于C,D两点,分别是△PAB,△PCD的面积,试问:是否有最小值 若有,求出最小值;若没有,请说明理由.
解(1)因为抛物线C2的焦点为(1,0),且顶点为原点,所以=1,所以p=2,
所以抛物线C2的标准方程为y2=4x,
设椭圆方程为=1,则c=1且解得a2=4,b2=3,
所以椭圆C1的方程为:=1.
(2)①证明:设P(-1,t),过点P与抛物线y2=4x相切的直线为y-t=k(x+1),
由消去x得y2-y++4=0,
由Δ=-4=0,得k2+tk-1=0,则k1k2=-1.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),由①得y1=,y2=,则x1=,x2=,
所以直线AB的方程为y-y1=(x-x1),所以y-y1=(x-x1),
即y=-(x-1),即直线AB恒过定点(1,0),
设点P到直线AB的距离为d,所以,
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k3(x-1),设C(x3,y3),D(x4,y4),
由消去y得x2-(2+4)x+=0,k3≠0时,Δ>0恒成立,
|AB|=
=,
由消去y得(3+4)x2-8x+4-12=0,Δ>0恒成立,
则|CD|=.
所以,
当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=1,此时|AB|=4,|CD|=3,,
所以的最小值为.
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