第三章圆锥曲线的方程单元测试卷-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第三章圆锥曲线的方程单元测试卷-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 889.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-21 18:48:46 | ||
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文档简介
圆锥曲线的方程测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．9
2．已知双曲线：的左 右焦点分别为，，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
3．在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为( )
A． B． C．2 D．
5．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个焦点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（ ）
A．－4 B．－3 C． D．－2
6．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 两数 1,9 的等差中项是 , 等比中项是 , 则曲线 的离心率可能是 ( )
A. B. C. D.
10. 已知椭圆的长轴长为 10 , 其焦点到中心的距离为 4 , 则这个椭圆的标准方程可能为( )
A. B. C. D.
11.如图所示, 某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 处变轨进入以月球球心 为一个焦点的 椭圆轨道 绕月飞行, 之后卫星在 点处第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行, 且轨道 的右 顶点为轨道 的中心。设椭圆 与 II 的长半轴长分别为 和 , 半焦距分别为 和 , 离心率分别为 和 , 则下 列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 椭圆 II 比椭圆 I 更扁
12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 , 离心率为 , 椭圆 的上顶点为 , 且 , 双曲线 和椭圆 有相同焦点, 且双曲线 的离心率为 为曲线 与 的一个公共点, 若 , 则正确的是(
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13.已知双曲线 C: , 则 C 的右焦点的坐标为
; C 的焦点到其渐近线的距离是
14. 已知抛物线的方程为 为坐标原点, 为抛物线上的点, 若 为等边三角形, 且面积为 , 则 的值为
15. 设椭圆的两个焦点分别为 , 过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 , 若 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率为
16. 设双曲线 的右顶点为 , 右焦点为 . 过点 且与双曲线的一条 渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点 , 则 的面积为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）根据下列已知条件求曲线方程.
（1）求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；
（2）求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程.
18．（12分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度米，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？
19．（12分）抛物线：上有不同的两个点，.
（1）若，求证：；
（2）判断：若，则是否成立 并说明理由.
20．（12分）已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在过点P(0，3)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
21．(12分)已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
22．(12分)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点.
参考答案
1解析
如图，圆C的圆心C为(2,0)，半径r=2，
，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.此时的最小值为：.
故选：C.
2解析
作轴于M，如图，依题意，，令，
则，由双曲线定义知，而，在中，由余弦定理得：，即，又离心率，于是有，又e>0，解得，所以双曲线的离心率为.
故选：D
3解析
设，因为点到直线、的距离之和为，所以点到点和点的距离之和为，由椭圆的定义可知：点的轨迹是椭圆的一部分，
以所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
因为正方体的体对角线，所以正方体的棱长为，
则，，所以，，，可得点的轨迹为椭圆，
所以，，则
，因为，所以，所以，
由此可得，
故选：A.
4解析
设，则，∵ ，∴ ，∴ ，
∴，∴ ，∴ ，∴ 离心率，
故选：A.
5解析
如图，连接，
设，则，因为，，所以，，在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．
故选：D
6解析
如图所示，过点作，垂足为.由题得,所以.
因为，所以是等边三角形.因为是的中点，所以，
所以，所以.所以.
所以所以抛物线的方程是.
故选：C
7解析
如图，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨设，则，由勾股定理得，又由双曲线的定义可得，，
根据可得，解得，所以，
在Rt中，，可得，
故双曲线的离心率为.
故选：B.
8解析
设上的切点分别为H I J，则.
由，得，∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，设直线的领斜角为，则，
，
当时，；当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，
综上所述，.
故选：B.
9解析
由题意得 。当 时, ; 当 时, 。 答案
10解析
因为椭圆的长轴长为 10 , 其焦点到中心的距离为 4, 所以 解得 。 所以当椭圆焦点在 轴上时，椭圆方程为 ；当椭圆焦点在 轴上时, 椭圆方程为 。 答案
11解析
由于轨道 II 的右顶点为轨道 | 的中心，则 , 且 。对于 选项, , 所以 选项正确; 对于 B 选项, 因为 , 所以 , B 选项正确; 对于 选项, 因为 , 所以 , 即 , 所以 , 选项正确; 对于 选项, 因为 , 所以, 椭圆 I 比椭圆 I更圆, 选项错误。故选 。 答案
12解析
因为 且 , 故 为等腰直角三角形, 设椭圆的半焦距为 , 则 ,所以，在焦点三角形中，设, ,双曲线的实半轴长为，则。故 , 从而 , 所以 , 即 , 故 , 。
答案
13解析
在双曲线 中, , 则 , 则双曲线 的 右焦点坐标为 , 双曲线 的渐近线方程为 , 即 , 所以双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .
答案:
14解析
设 , 因为 , 所以 . 又 , 所以 , 即 . 又 与 同号,所以 . 所以 , 即 .
根据抛物线对称性可知点 关于 轴对称,
由 为等边三角形, 不妨设直线 的方程为 ,
由 , 解得 ,所以 .
因为 的面积为 , 所以 ,
解得 , 所以 .
答案: 2
15解析
设椭圆的方程为 的坐标为 点坐标 为 不妨取第一象限内点 ,由题意知 , 所以 ,, 解得 , 负值舍去,
所以 .
答案:
16解析
根据题意, 得 ,所以 , 且 .
因为双曲线 的渐近线方程为 .
所以直线 的方程为 .
(1) 若直线 的方程为 ,与渐近线 交于点 ,
此时 ;
(2)若直线 的方程为 , 与渐近线 交于点 .
此时 .
因此, 的面积为 .
答案:
17．解析
（1）设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
点，在双曲线上，
所求双曲线方程为：，即.
（2）
若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，
故所求方程为.若焦点在轴上，设方程为代入点，得，.
18．解析
取隧道截面抛物线的顶点为原点，如下图：
对称轴为轴，建立直角坐标系，，设抛物线方程，将点代入抛物线方程得，抛物线方程为，行车道总宽度，
将代入抛物线方程，，限度为．
故答案为：3.25米．
19．解析
（1）由题意可得，，即 所以，
由，，所以
解得，即证.
（2），，，
所以或，当时，，当时，与不垂直，所以，不一定成立.
20解析
(1)由已知点代入椭圆方程得，由得可转化为a2=2b2，
由以上两式解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的方程为：.
(2)存在这样的直线.当l的斜率不存在时，显然不满足，
所以设所求直线方程l：y=kx+3代入椭圆方程化简得：(1+2k2)x2+12kx+14=0，
①，②△=(12k)2﹣4×14×(1+2k2)>0，，
设所求直线与椭圆相交两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知条件可得x2=2x1③，综合上述①②③式子可解得符合题意，
所以所求直线方程为：.
21解析
(1)，轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，解得，，
，即，，即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
(2)由(1)知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，解得或(舍去)，
由抛物线的定义可得，解得.
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为.
22解析
由椭圆方程可得：， ，
，，椭圆方程为：
(2)证明：设，则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
当时，直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．
故直线CD过定点
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． P为双曲线左支上任意一点，为圆的任意一条直径，则的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．9
2．已知双曲线：的左 右焦点分别为，，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
3．在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．已知是双曲线：的右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，并交轴于点．若，则的离心率为( )
A． B． C．2 D．
5．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个焦点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（ ）
A．－4 B．－3 C． D．－2
6．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 两数 1,9 的等差中项是 , 等比中项是 , 则曲线 的离心率可能是 ( )
A. B. C. D.
10. 已知椭圆的长轴长为 10 , 其焦点到中心的距离为 4 , 则这个椭圆的标准方程可能为( )
A. B. C. D.
11.如图所示, 某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 处变轨进入以月球球心 为一个焦点的 椭圆轨道 绕月飞行, 之后卫星在 点处第二次变轨进入仍以 为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行, 且轨道 的右 顶点为轨道 的中心。设椭圆 与 II 的长半轴长分别为 和 , 半焦距分别为 和 , 离心率分别为 和 , 则下 列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 椭圆 II 比椭圆 I 更扁
12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 , 离心率为 , 椭圆 的上顶点为 , 且 , 双曲线 和椭圆 有相同焦点, 且双曲线 的离心率为 为曲线 与 的一个公共点, 若 , 则正确的是(
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13.已知双曲线 C: , 则 C 的右焦点的坐标为
; C 的焦点到其渐近线的距离是
14. 已知抛物线的方程为 为坐标原点, 为抛物线上的点, 若 为等边三角形, 且面积为 , 则 的值为
15. 设椭圆的两个焦点分别为 , 过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 , 若 为等腰直角三角形, 则椭圆的离心率为
16. 设双曲线 的右顶点为 , 右焦点为 . 过点 且与双曲线的一条 渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点 , 则 的面积为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）根据下列已知条件求曲线方程.
（1）求与双曲线共渐近线且过，点的双曲线方程；
（2）求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程.
18．（12分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度米，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？
19．（12分）抛物线：上有不同的两个点，.
（1）若，求证：；
（2）判断：若，则是否成立 并说明理由.
20．（12分）已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在过点P(0，3)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
21．(12分)已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
22．(12分)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点.
参考答案
1解析
如图，圆C的圆心C为(2,0)，半径r=2，
，则当点P位于双曲线左支的顶点时，最小，即最小.此时的最小值为：.
故选：C.
2解析
作轴于M，如图，依题意，，令，
则，由双曲线定义知，而，在中，由余弦定理得：，即，又离心率，于是有，又e>0，解得，所以双曲线的离心率为.
故选：D
3解析
设，因为点到直线、的距离之和为，所以点到点和点的距离之和为，由椭圆的定义可知：点的轨迹是椭圆的一部分，
以所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
因为正方体的体对角线，所以正方体的棱长为，
则，，所以，，，可得点的轨迹为椭圆，
所以，，则
，因为，所以，所以，
由此可得，
故选：A.
4解析
设，则，∵ ，∴ ，∴ ，
∴，∴ ，∴ ，∴ 离心率，
故选：A.
5解析
如图，连接，
设，则，因为，，所以，，在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．
故选：D
6解析
如图所示，过点作，垂足为.由题得,所以.
因为，所以是等边三角形.因为是的中点，所以，
所以，所以.所以.
所以所以抛物线的方程是.
故选：C
7解析
如图，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨设，则，由勾股定理得，又由双曲线的定义可得，，
根据可得，解得，所以，
在Rt中，，可得，
故双曲线的离心率为.
故选：B.
8解析
设上的切点分别为H I J，则.
由，得，∴，即.
设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得的内心在直线上，设直线的领斜角为，则，
，
当时，；当时，由题知，，
因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，
综上所述，.
故选：B.
9解析
由题意得 。当 时, ; 当 时, 。 答案
10解析
因为椭圆的长轴长为 10 , 其焦点到中心的距离为 4, 所以 解得 。 所以当椭圆焦点在 轴上时，椭圆方程为 ；当椭圆焦点在 轴上时, 椭圆方程为 。 答案
11解析
由于轨道 II 的右顶点为轨道 | 的中心，则 , 且 。对于 选项, , 所以 选项正确; 对于 B 选项, 因为 , 所以 , B 选项正确; 对于 选项, 因为 , 所以 , 即 , 所以 , 选项正确; 对于 选项, 因为 , 所以, 椭圆 I 比椭圆 I更圆, 选项错误。故选 。 答案
12解析
因为 且 , 故 为等腰直角三角形, 设椭圆的半焦距为 , 则 ,所以，在焦点三角形中，设, ,双曲线的实半轴长为，则。故 , 从而 , 所以 , 即 , 故 , 。
答案
13解析
在双曲线 中, , 则 , 则双曲线 的 右焦点坐标为 , 双曲线 的渐近线方程为 , 即 , 所以双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .
答案:
14解析
设 , 因为 , 所以 . 又 , 所以 , 即 . 又 与 同号,所以 . 所以 , 即 .
根据抛物线对称性可知点 关于 轴对称,
由 为等边三角形, 不妨设直线 的方程为 ,
由 , 解得 ,所以 .
因为 的面积为 , 所以 ,
解得 , 所以 .
答案: 2
15解析
设椭圆的方程为 的坐标为 点坐标 为 不妨取第一象限内点 ,由题意知 , 所以 ,, 解得 , 负值舍去,
所以 .
答案:
16解析
根据题意, 得 ,所以 , 且 .
因为双曲线 的渐近线方程为 .
所以直线 的方程为 .
(1) 若直线 的方程为 ,与渐近线 交于点 ,
此时 ;
(2)若直线 的方程为 , 与渐近线 交于点 .
此时 .
因此, 的面积为 .
答案:
17．解析
（1）设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
点，在双曲线上，
所求双曲线方程为：，即.
（2）
若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，
故所求方程为.若焦点在轴上，设方程为代入点，得，.
18．解析
取隧道截面抛物线的顶点为原点，如下图：
对称轴为轴，建立直角坐标系，，设抛物线方程，将点代入抛物线方程得，抛物线方程为，行车道总宽度，
将代入抛物线方程，，限度为．
故答案为：3.25米．
19．解析
（1）由题意可得，，即 所以，
由，，所以
解得，即证.
（2），，，
所以或，当时，，当时，与不垂直，所以，不一定成立.
20解析
(1)由已知点代入椭圆方程得，由得可转化为a2=2b2，
由以上两式解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的方程为：.
(2)存在这样的直线.当l的斜率不存在时，显然不满足，
所以设所求直线方程l：y=kx+3代入椭圆方程化简得：(1+2k2)x2+12kx+14=0，
①，②△=(12k)2﹣4×14×(1+2k2)>0，，
设所求直线与椭圆相交两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知条件可得x2=2x1③，综合上述①②③式子可解得符合题意，
所以所求直线方程为：.
21解析
(1)，轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，解得，，
，即，，即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
(2)由(1)知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，解得或(舍去)，
由抛物线的定义可得，解得.
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为.
22解析
由椭圆方程可得：， ，
，，椭圆方程为：
(2)证明：设，则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.
同理可得：点的坐标为
当时，直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
所以直线过定点．
当时，直线：，直线过点．
故直线CD过定点