第四章指数函数与对数函数单元测试卷——2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

指数函数与对数函数测试(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f(x)为奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x＋x＋m，则f(－1)＝(　　)
A．－ B．　
C．－2　 D．2
2．已知关于x的不等式()x－4>3－2x，则该不等式的解集为(　　)
A．[4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4) D．(－4,1]
3．设函数f(x)＝log2x，若f(a＋1)<2，则a的取值范围为(　　)
A．(－1,3) B．(－∞，3)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a＝f(1)，b＝f(2－0.3)，c＝f(－20.3)，则(　　)
A．bC．b5．若函数则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（ ）
A．5 B． C．3 D．
7．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9. 以下说法正确的是( )
A.
B. 若定义在 上的函数 是奇函数, 则 也是奇函数
C.
D. 已知 是幂函数, 则的值为 4
10. 函数 , 且 的图象经过第一、三、四象限, 则下列选项中正确的有( )
A. B. C. D.
11. 已知函数 , 且 的图象经过点 , 则下列命题正确的有 ( )
A. 函数为增函数
B. 函数为偶函数
C. 若 , 则
D. 若 , 则
12. 已知函数 , 且实数 , 满足 , 若实数 是函数 的一个零点, 那么下列不等式中可能成立的是
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．函数的定义域是_____．
14．若函数在上是单调增函数，则的取值范围是____________．
15.已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.
16．已知函数，则______________，方程的解为______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10 分) 已知函数 是奇函数, 其中 是自然对数的底数.
(1) 求实数 的值;
(2)若 , 求 的取值范围.
18. (12 分)某商品的市场日需求量 和日产量 均为价格 的函数, 且 , 日总成本 关于日产量 的关系式为:
(1) 时的价格为均衡价格, 求此均衡价格 ;
(2)当 时，求日利润 的大小.
19. (12 分) 已知 , 函数 .
(1) 求 在 上的最小值 ;
(2) 若对于任意 , 总存在 , 使得 成立, 求 的取值范围.
20（12分）．已知函数，且，．
（1）求，的值．
（2）判断的奇偶性．
（3）试判断函数在上的单调性，并证明．
（4）求函数的最小值．
21．已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求，的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围．
22．（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
参考答案
1解析
因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即20＋0＋m＝0，所以m＝－1，f(x)＝2x＋x－1(x≥0)．因为f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2，所以f(－1)＝－2.
2解析
依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4>－2x，解得x>－4，故选B．
3解析
∵函数f(x)＝log2x在定义域内单调递增，f(4)＝log24＝2，
∴不等式f(a＋1)<2等价于04解析
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以c＝f(－20.3)＝f(20.3)．
又因为y＝2x是R上的增函数．所以0<2－0.3<1<20.3.由于函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f(2－0.3)5解析
因为，所以.故选：C.
6解析
由得：，因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以 ，故可解得： 故选：B
7解析
因为，，，
所以，故选：A.
8解析
函数的大致图象如图所示，对于方程有5个不同的实数解，令，则在，上各有一个实数解或的一个解为-1，另一个解在内或的一个解为-2，另一个解在内.
当在，上各有一个实数解时，设，则解得；
当的一个解为-1时，，此时方程的另一个解为-3，不在内，不满足题意；当的一个解为-2时，，此时方程的另一个解为，在内，满足题意.综上可知，实数a的取值范围为.
故选：D.
9
当 时, , 故选项 错误;
设 , 则函数 是奇函 数, 故选项 B 正确;
设 , 故选项 C 错误;
解得 , 故选项 D 正确.
故选 BD.
因为函数 , 且 的图象经过第一、三、四象限, 所以其大致图象如图所示.
由图象可知函数为增函数, 所以 . 当 时, . 故选 AD.
11解析
由题意得 , 得 , 故 .
函数为增函数, 故选项 A 正确.
不为偶函数, 故选项 B 错误.
当 时, 成立, 故选项 正确.
因为 往上凸, 故若 , 则
成立, 故选项 D 正确.
故选 ACD.
12解析
易知函数 在 上为增函数，
由 , 知 为负数的个数为奇数, 选项 A, B, C 可能成立. 故 选 ABC.
13解析
要使函数有意义，必须，
即，由指数函数的单调性可得，解得．
所以函数的定义域为：．
故答案为：．
14解析
由题意得，设，根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数，且，所以，所以．
15解析
如下图所示：
由上图所示，当时，不等式恒成立，则函数为增函数，且有，所以，解得，因此，实数的取值范围是，
故答案为.
16解析
(1).
(2)当时, 有,满足；
当时, 有,因为故.
故方程的解为或.
故答案为：(1). -1 (2). -3或8
17解析(1) 因为函数定义域为 且为奇函数,
故 , 所以 , 此时 , 满足 , 故 ,
(2) 任取 , 则 .
因为 , 所以 ,
所以 , 即 为 上单调递增的奇函数,
因为 , 即 ,
所以 ,
解得 , 即 的取值范围为 .
18解析
(1) 根据题意有 ,
, 即 .
解得 (舍 去).
所以 , 故 .
即均衡价格为 元.
(2) 由于利润=收益一成本, 故
故 时, 利润为 元.
19解析(1) 由函数 , 其对称轴 ,
当 即 时, 在 上单调递增, 可得 ;
当 即 时, 在 上单调递减, 在 上单调递增, 可得
; 当 即 时, 在 上单调递减,
可得 ; 所以 在 上的最小值
(2) 对于任意 , 总存在 , 使得 成立, 则 ,
由 , 当且仅当 时, 取等号;
当 时, 可得 , 解得 , 所以 ;
当 时, 可得 , 解得 , 此时 无解;
当 时, 可得 , 解得 , 此时 无解.
综上可得 的取值范围是 (0, 2).
21解析
（1）由已知，得，解得．
（2）由（1）可知．任取，则，又的定义域为，所以为偶函数．
（3）在上为减函数，证明如下：任取，且，则．因为，且，所以，从而，，，
故，即.所以函数在上为减函数．
（4）因为在上为减函数，且为偶函数，所以在上是增函数，所以当时，．又因为在上为减函数，所以当时，，从而对于任意的，都有，所以的最小值为2．
21解析
（1）为上的奇函数，，可得
又（1），解之得
经检验当且时，，满足是奇函数．
（2）由（1）得，
任取实数、，且
则
，可得，且
，即，函数在上为减函数；
（3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数．
不等式恒成立，即
也就是：对任意的都成立．
变量分离，得对任意的都成立，
，当时有最小值为
，即的范围是．
22解析
（1）由题意知定点A的坐标为，∴解得.
∴.∴由得，.∴.∴.∴.
∴不等式的解集为.
（2）由得令，则，
.∴当，即，时，，
当，即，时，.