三角形正弦定理余弦定理练习题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在中，已知，，，则角为（ ）
A． B． C． D．
2．在△AB C中，若，则A=（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A＝（ ）
A． B． C． D．
4．的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．在中，、、的对边分别为、、，且满足，则下列等式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋 元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（ ）
（，，精确到1）
A．42 B．45 C．51 D．57
7．在中，内角，，的对边长分别为，，，且，，则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）
9．对于△ABC，有如下命题：其中正确命题的是（ ）
A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形.
B．sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形.
C．若sin 2A＋sin 2B＋cos 2C＜1，则△ABC为钝角三角形.
D．若角A，B，C成等差数列，则角B的大小为.
10．的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（ ）
A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则
C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则
11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时， D．若，，则面积为
12．设锐角三角形的对边分别为，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．在△ABC中，已知，则__________.
14．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，，则__________．
15．在中，，，，点P是边BC的中点，则__________.
16．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．
四、解答题（本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤）
17（本题10分）．在中，，，，为线段中点.
(1)求的长；
(2)求的值.
18（本题12分）．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，____________．
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求的周长．
19（本题12分）．在△ABC中，已知.
(1)求角C的大小；
(2)求的最大值.
20（本题12分）．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若的外接圆半径为，求面积的最大值.
21（本题12分）．的内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
22（本题12分）．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的取值范围．三角形正弦定理余弦定理练习题
参考答案：
1．D
【详解】由正弦定理可得，则，
，则，故，.
故选：D.
2．C
【详解】
得，
即，又，
故选：C.
3．C
【详解】
或（舍）
故选：C.
4．B
【详解】由正弦定理可知，
设，
所以，所以，所以的形状是直角三角形，
故选：B
5．A
【详解】由已知可得
，
所以，，
，或，即或.
故选：A.
6．D
【详解】因为，
所以在中，，故，
在中，，则，
所以由正弦定理得，故，
所以在中，，故.
故选：D.
7．C
【详解】由可得
，即，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
由正弦定理与余弦定理可得，
即，
因为，
所以，
解得或（舍）
故选：C
8．B
【详解】已知
由正弦定理可知：，
，
整理得：，
两边同除得：，
根据余弦定理得：，即，
，，，当且仅当，即时等号成立.
又，当且仅当时，等号成立.
综上所述：且，
故得：，此时且，
，.
故选：B
9．CD
【详解】对于A，因为sin 2A＝sin 2B，
所以或,
因为A，B，A＋B∈，故A＝B或者A＋B＝，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错．
对于B，因为sin A＝cos B，
所以，所以或，
因为A，B，A＋B∈，故或者，
故△ABC可为钝角三角形，故B错．
因为sin 2A＋sin 2B＋cos 2C＜1，故sin 2A＋sin 2B＜sin 2C，由正弦定理得a2＋b2＜c2，
由余弦定理有cos C＜0，故C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故C正确．
因为角A，B，C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝π，所以.
故D正确.
故选：CD
10．ABD
【详解】对：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故正确；
对：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；
对：因为，所以为锐角，但不确定，故C错误；
对：若，，所以由正弦定理得，故D正确.、
故选：ABD.
11．ABD
【详解】因为，
由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故选：ABD.
12．ABD
【详解】因为，
所以，
整理可得，故A正确；
由，可得，
所以，
所以或(舍去)，即，故B正确；
因为为锐角三角形，所以，解得，故C错误；
由题可得，
，
又，，
所以，故D正确.
故选：ABD
13．
【详解】由正弦定理得，
由余弦定理得.
故答案为：
14．
【详解】解：在中，
由正弦定理得
，
，
．
故答案为：．
15．2
【详解】由正弦定理得：，所以，
故，
故答案为：2.
16．
【详解】由
∴
得
，
所以，
因为所以，所以，
而，所以．
又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
的面积取值范围为．
故答案为：.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理得，
即，得，
（2）由题意得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
而，故，得，
故
18．(1)
(2)
【详解】（1）若选①，
因为，所以，
所以，即，
所以.
因为，所以.
又因为，所以.
若选②，
因为，
所以，即，
所以.
因为，所以.
若选③，
因为，所以，
所以，
所以.
因为，所以.
又因为，所以.
（2）因为，所以.
因为，
所以，即，
所以，即的周长为.
19．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知．
所以．
因为，
所以；
（2）由已知
当，即时，取到最大值1，
的最大值是．
20．(1)
(2).
【详解】（1）因为，∴，
∴，得，
因为，所以，
∴，又，故，
（2）由正弦定理得，即，解得，
又由余弦定理得：，即，
又因为，所以，当且仅当时取等号，
，即的面积的最大值为
21．(1)；
(2)9.
【详解】（1）因为，所以，即，
解得，又，所以；
（2）由余弦定理得：.
即.
∵（当且仅当时取等号），
∴，
解得：（当且仅当时取等号），
∴周长，∴周长的最大值为9.
22．(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
所以，
即，
由余弦定理可得，
所以，
所以，
因为在锐角中，所以.
（2）解：由（1）知，
所以，
因为，
由正弦定理，
所以，，
所以
因为，所以，所以，解得，
又三角形为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，即的取值范围为.
