4.3对数同步练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

4.3对数同步练习
一、单选题
1．对，表示不超过的最大整数，如，，，我们把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，也有数学爱好者形象的称其为“地板函数”，早在十八世纪，人类史上伟大的数学家，哥廷根学派的领袖约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gaussian）最先提及，因此而得名“高斯（Gaussian）函数”.在现实生活中，这种“截尾取整”的高斯函数有着广泛的应用，如停车收费、EXCEL电子表格，在数学分析中它出现在求导、极限、定积分、级数等等各种问题之中，已知则的取值不可能为（ ）
A．90 B．91 C．92 D．94
2．函数在上的图象大致为（ ）
A． B． D．
3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．给出下列四个命题：
（1）当时，；
（2）当且时，；
（3）设是方程的两个根，则；
（4）设，若关于的方程的解集为，则且．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若，，则下列各式中，恒等的是（ ）
A． B．
C． D．
6．设，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．9
7．若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
8．“不积跬步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离高考还有936天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（ ）天（参考数据：）
A．200天 B．210天
C．220天 D．230天
9．已知，，若，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．0
10．某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）
A．3h B．4h C．5h D．6h
二、多选题
11．已知函数，则（ ）
A．B．的值域为C．是R上的减函数
D．不等式的解集为
12．已知，，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
13．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级为七级
B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为，地震释放的能量为，则
14．任何一个正整数x都可以表示成，此时．则下列结论正确的是（ ）
真数N 2 3 4 5 6 7 8
（近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903
A．x是位数 B．x是n位数 C．是47位数 D．是11位数
三、填空题
15．已知，且，若，，则__________．
16．已知，且，则的最小值为___________.
17．已知函数．若对， 使得成立， 则实数的取值范围为____________．
四、解答题
18．（1）已知，，试用a，b表示；
（2）求值：．
19．已知是方程的两个实根，
(1)设，用表示的值；
(2)求关于的不等式的解集.
20．设均为正数，且.
(1)试求之间的关系.
(2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）.
(3)比较，，的大小.
参考答案：
1．B
【分析】通过分析得到当且时，，当且时，，代入函数值，求解出当时，，其他三个选项代入求解均为正整数，故选出答案.
【详解】当时，，故，
当时，，故，
当时，，故，
当且时，
，
令，解得：，A正确；
当且时，
，
令，解得：，
令，解得：，
令，解得：，
故的取值不可能是91.
故选：B
2．D
【分析】由函数奇偶性定义得到为奇函数，排除A，B，再由判断出D为正确答案.
【详解】∵，,
∴，
∴为奇函数，排除A，B，
又∵，排除C，
故选：D.
3．B
【分析】根据奇函数的定义以及分段函数的函数值即可求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，且,
所以.
故选:B.
4．D
【分析】利用指数运算判断（1）；利用对数的定义及运算法则判断（2）；利用韦达定理计算判断（3）；利用一元一次方程解集情况判断（4）作答.
【详解】当吋，，（1）正确；
当且时，由给定等式及知，，则成立，（2）正确；
是方程的两个根，则，因此，（3）正确；
，关于的方程的解集为，因0乘任何实数均为0，则且，（4）正确，
所以真命题的个数是4.
故选：D
5．C
【分析】利用对数的运算法则可判断各选项的正误.
【详解】对于AD选项，，AD均错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对.
故选：C.
6．B
【分析】根据对数的定义，结合指数式的运算律，可得答案.
【详解】由，则，，.
故选：B.
7．C
【分析】根据奇函数定义式列方程求解即可.
【详解】
因为为奇函数，所以，即
所以.
故选：C.
8．D
【分析】由题设有，应用指对数互化及对数的运算性质求值即可.
【详解】设经过天后，“进步”的值是“退步”的值的100倍，
则，即天.
故选：D.
9．C
【分析】将式子等价变形为，进而构造函数，利用单调性得，进而根据不等式即可求解.
【详解】因为，
所以.
设，，则，易知在上单调递增，从而，即，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为.
故选:C.
10．A
【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可
【详解】由题意可知，
所以，
又因为，
所以，
所以
，
比较接近3，
故选：A
11．ACD
【分析】计算得选项A正确；的值域是，得选项B错误；恒正且在R上递增，得选项C正确；等价于，再利用函数的单调性解不等式得选项D正确．
【详解】，所以选项A正确；
的值域是，故的值域是，所以选项B错误；
恒正且在R上递增，故是R上的减函数，所以选项C正确；
由于，
故不等式等价于，即，
又是R上的减函数，故，解得，所以选项D正确．
故选：ACD
12．ABD
【分析】利用对数运算的公式计算即可.
【详解】由换底公式得：，，，
其中，，故
故选：ABD.
13．ACD
【分析】根据已知条件及对数运算性质即可求解.
【详解】对于A，当时，由题意得，解得，即地震里氏震级为七级．故A正确；
对于B, 八级地震即时，由，解得，所以．故B不正确；
对于C，六级地震即时，由，解得，所以，即八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍．故C正确；
对于D，由题意得，则．故D正确.
故选：ACD.
14．AD
【分析】结合已知条件以及对数运算对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，所以x是位数，故A正确，B不正确；
设，则，所以，所以是48位数，故C不正确；
对于D，若，则，则，故是11位数，故D正确．
故选：AD
15．
【分析】利用对数的运算性质可得，结合已知即可求结果.
【详解】由且，则，则，
所以，
而，，则，
所以，故.
故答案为：
16．3
【分析】由条件得.后利用基本不等式可得答案.
【详解】由题，则，得.
又.则.
当且仅当时取等号.
故答案为:
17．
【分析】判断的单调性，求得函数的最小值，由题意可得不等式，即可求得答案.
【详解】因为为上的单调减函数，
故；
由为上的单调增函数，故，
由， 使得成立，
可得，即 ，
故答案为：
18．（1） ；（2）1 .
【分析】（1）根据对数运算法则进行计算；
（2）非零数的零次幂等于1，结合对数运算法则求出结果.
【详解】（1）因为，
而，，所以．
（2）
．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理求，代入计算即可；
（2）利用指数函数的单调性将不等式转化为对数不等式，再利用对数的运算性质求解即可.
【详解】（1）是方程的两个实根，
由韦达定理可得，
若，
则
即；
（2），即，
因为函数是上单调递增函数，
即关于的不等式的解集为
20．(1)
(2)3
(3)
【分析】（1）令，利用指对数互化求出、、，由对数的运算性质求出、、，由对数的运算性质化简与，即可得到关系值；
（2）由换底公式求出，由对数函数的性质判断的取值范围，找出与它最接近的2个整数，利用对数的运算性质化简与这2个整数的差，即可得到答案；
（3）由（1）得、、，由于3个数都是正数，利用对数、指数的运算性质化简它们的倒数的差，从而得到这3个数大小关系．
（1）
设，由、、均为正数得.
故取以为底的对数，可得.
∴，，.
，
∴、、之间的关系为.
（2）
.
由，得，从而.
而，.
由知，
∴.
从而所求正整数为3.
（3）
∵
.
而，，，，∴.
又∵，
而，，，，∴.
故有.