辽宁省辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 762.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-21 20:01:14 | ||
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文档简介
辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试题
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，则“a＞1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知函数，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
5．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．若，，，则（ ）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
7．已知奇函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，当x＜0时，，则下列结论中错误的是（ ）
A．当x＞0时， B．函数有3个零点
C．的解集为 D．，，都有
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
10．设集合，，若，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象
12．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，，，则x的值为______．
14．一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为______度．
15．设，，，则向量与的夹角的余弦值为______．
16．已知等差数列的前n项和为，，，则的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时写出文字说明、证明过程或者演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知等差数列满足，前4项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
18．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝4，，求面积．
19．（本小题满分12分）
设函数在x＝1处取得极值－1．
（1）求a、b的值；
（2）求的单调区间．
20．（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝3，求的周长的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数，其中a为实常数．
（1）当a＝3时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试题
参考答案
1．B 【分析】根据交集的知识确定正确选项．
【详解】依题意．故选：B．
2．B 【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解，改量词，否结论．
【详解】由特称命题的否定的概念知，
“，”的否定为：，．故选：B．
3．A 【分析】根据命题的充分必要性直接判断．
【详解】对于不等式，可解得a＞1或a＜0，
所以a＞1可以推出，而不可以推出a＞1，
所以“a＞1”是“”的充分不必要条件．故选：A．
4．【答案】B 【分析】根据极限的定义计算即可．
【详解】；故选：B．
5．D 【解析】根据三角函数的定义得，再由诱导公式和弦化切公式可得选项．
【详解】角∵的终边经过点，则，
∴，故选：D．
6．A 【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可．
【详解】，
由对数函数的性质可得，故b＞a＞c．故选：A．
【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题．
7．C 【分析】首先根据题意得到函数在上单调递减，且，再结合单调性解不等式即可．
【详解】因为奇函数在上单调递减，且，
所以函数在上单调递减，且，
所以当，x＜0，，满足，
当，x＜0，，不满足，
当，x＞0，，不满足，
当，x＞0，，满足，
综上：的解集为．故选：C．
8．A 【分析】由奇函数求出x＞0的解析式即可判断A选项；解方程求出零点即可判断B选项；解分段函数不等式即可判断C选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D选项．
【详解】对于A，已知函数是定义在上的奇函数，当x＞0时，－x＜0，，则，A错误；
对于B，易得，当x＜0时，，可得x＝－1；当x＞0时，，可得x＝1，则函数有3个零点，B正确；
对于C，由，当x＜0时，由得x＜－1；
当x＞0时，由得0＜x＜1，则的解集为，C正确；
对于D，当x＜0时，，，当x＜－2时，，单减，此时；
当－2＜x＜0时，，单增，，时，；x＝－2时，有极小值；
结合函数是定义在上的奇函数，可得的图象，
结合图象知，的值域为，则，都有，D正确．故选：A．
9．BCD 【分析】应用向量数量积的坐标运算可得，由向量坐标的线性运算求、，即可得答案．
【详解】由题设，，故，A错误，B正确；
，C正确；
，D正确．故选：BCD．
10．ABD 【分析】解方程可得集合A，再结合集合间运算结果分情况讨论．
【详解】由，得，又，
当时，即a＝0，成立；当时，，，或，，故选：ABD．
11．ABD 【解析】根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案．
【详解】由函数的图象可得A＝2，周期，所以，
当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数．
对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；
对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；
对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；
对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确．故选：ABD．
【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题．
12．CD 【分析】作出函数的大致图象，将方程有两个不相等的实数根，转化为与图象有2个交点的问题，数形结合，求出参数的范围，可得答案．
【详解】如图，作出函数的大致图象，
当时，，，故在点处的切线斜率为，
直线y＝kx－2过定点，当时，y＝kx－2与图象有一个交点；
直线y＝kx－2过点时，k＝3，此时y＝kx－2与图象有2个交点；
当1＜k＜3时，y＝kx－2与图象有一个交点；
当k＞3时，y＝kx－2与图象有2个交点；
综上，当时，y＝kx－2与f（x）图象有2个交点，
故方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是3，4，故选：CD．
13．1 【分析】根据向量平行的充要条件即可求得．
【详解】解：∵，∴，解得x＝1．故答案为：1．
14．120 【分析】设扇形的半径为r，圆心角为n°，根据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可．
【详解】解：设扇形的半径为r，圆心角为n°，依题意可得，
解得；故答案为：120．
15． 【分析】利用向量的夹角公式直接求得．
【详解】因为，，，
所以，即，
所以，即，所以．
因为，所以向量夹角的余弦值为．故答案为：．
16．54 【分析】先求出等差数列的通项公式及前n项和，再利用导数求的最大值即可．
【详解】解：因为是等差数列，且有，，
所以，解得，
所以，，
令，所以，
因为，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；所以，故答案为：54．
17．【答案】（1） （2）或
【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据已知条件列关于和d的方程组，解方程求得和d的值，即可求解；
（2）等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和q的值，即可求解．
（1）设等差数列首项为，公差为d．
∵，∴，解得：，
∴等差数列通项公式．
（2）设等比数列首项为，公比为q，
∵，∴，解得：，
即或，∴等比数列通项公式或．
18．（1） （2）
【解析】（1）由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据不为0，求出的值，即可求出A的度数；
（2）由a，b与A的值，利用正弦定理列出关系式，求出B值进而得C角，再由三角形ABC面积公式即可求值．
【详解】解：（1）由得，，
由正弦定理可得，，
可得：，即：，
由，可得：，又，可得：．
（2）由已知及正弦定理得即可得，
∵a＞b，∴A＞B即，故．
的面积．
【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基本题．
19．【答案】（1）a＝1，b＝－3
（2）的单调递增区间为，，单调递减区间为．
【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出a＝1，b＝－3；（2）结合第一问得到单调区间．
（1），由题意得：，，
解得：a＝1，b＝－3，此时，
当－1＜x＜1时，，当x＜－1或x＞1时，，
故x＝1为极值点，满足题意，所以a＝1，b＝－3．
（2）由（1）可知：当－1＜x＜1时，，当x＜－1或x＞1时，，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为．
20．（1）单调增区间是，，单调减区间是 （2）
【分析】（1）根据题意得，进而求得函数的单调区间，再结合求解即可；
（2）根据题意求得，进而结合余弦定理得，再根据基本不等式求解即可．
（1）解：，
由，，得，，
，，得，，
因为，所以，当k＝1时得单调递增区间为；
当k＝0时得单调递增区间为，单调递减区间为．
所以函数在上的单调增区间是，，单调减区间是．
（2）解：由（1）有，，得，
因为A为锐角，，所以，即，
由余弦定理得，，
所以，所以，即，
又，所以，得，当且仅当b＝c＝3时取等号，
又b＋c＞a＝3，所以，所以，周长的取值范围是．
21．（1） （2）存在，k的最小值为4
【分析】（1）利用求得数列的通项公式．
（2）利用裂项求和法求得，求得的取值范围，结合二次函数的性质求得k的最小值．
（1）依题意，当n＝1时，，
当时，，
当n＝1时上式也符合，所以．
（2），
，
为单调递增数列，，则，
所以，，函数的对称轴为，
，，，，
当时，递增．所以使成立的正整数k的最小值为4．
22．（1）y＝3x－5 （2）答案详见解析 （3）
【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程．
（2）求得，对a进行分类讨论，由此求得的单调区间．
（3）结合（2），对a进行分类讨论，结合的单调区间、最值，求得a的取值范围．
（1），，所以，，
所以切线方程为，．
（2）的定义域为，，
当a＜0时，在区间，，，递减；
在区间，，递增．当a＝0时，，在上递减．
当a＞0时，在区间，，，递减；
在区间，，递增．
（3）由（2）知：当时，在上递减，，不符合题意．
当a＞0时，在区间上，，
依题意可知，解得a＞3．综上所述，a的取值范围是．
数学试题
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，则“a＞1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知函数，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
5．已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
6．若，，，则（ ）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
7．已知奇函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，当x＜0时，，则下列结论中错误的是（ ）
A．当x＞0时， B．函数有3个零点
C．的解集为 D．，，都有
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
10．设集合，，若，则实数a的值可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象
12．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，，，则x的值为______．
14．一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为______度．
15．设，，，则向量与的夹角的余弦值为______．
16．已知等差数列的前n项和为，，，则的最大值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时写出文字说明、证明过程或者演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知等差数列满足，前4项和．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，数列的通项公式．
18．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝4，，求面积．
19．（本小题满分12分）
设函数在x＝1处取得极值－1．
（1）求a、b的值；
（2）求的单调区间．
20．（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝3，求的周长的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数，其中a为实常数．
（1）当a＝3时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试题
参考答案
1．B 【分析】根据交集的知识确定正确选项．
【详解】依题意．故选：B．
2．B 【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解，改量词，否结论．
【详解】由特称命题的否定的概念知，
“，”的否定为：，．故选：B．
3．A 【分析】根据命题的充分必要性直接判断．
【详解】对于不等式，可解得a＞1或a＜0，
所以a＞1可以推出，而不可以推出a＞1，
所以“a＞1”是“”的充分不必要条件．故选：A．
4．【答案】B 【分析】根据极限的定义计算即可．
【详解】；故选：B．
5．D 【解析】根据三角函数的定义得，再由诱导公式和弦化切公式可得选项．
【详解】角∵的终边经过点，则，
∴，故选：D．
6．A 【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可．
【详解】，
由对数函数的性质可得，故b＞a＞c．故选：A．
【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题．
7．C 【分析】首先根据题意得到函数在上单调递减，且，再结合单调性解不等式即可．
【详解】因为奇函数在上单调递减，且，
所以函数在上单调递减，且，
所以当，x＜0，，满足，
当，x＜0，，不满足，
当，x＞0，，不满足，
当，x＞0，，满足，
综上：的解集为．故选：C．
8．A 【分析】由奇函数求出x＞0的解析式即可判断A选项；解方程求出零点即可判断B选项；解分段函数不等式即可判断C选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断D选项．
【详解】对于A，已知函数是定义在上的奇函数，当x＞0时，－x＜0，，则，A错误；
对于B，易得，当x＜0时，，可得x＝－1；当x＞0时，，可得x＝1，则函数有3个零点，B正确；
对于C，由，当x＜0时，由得x＜－1；
当x＞0时，由得0＜x＜1，则的解集为，C正确；
对于D，当x＜0时，，，当x＜－2时，，单减，此时；
当－2＜x＜0时，，单增，，时，；x＝－2时，有极小值；
结合函数是定义在上的奇函数，可得的图象，
结合图象知，的值域为，则，都有，D正确．故选：A．
9．BCD 【分析】应用向量数量积的坐标运算可得，由向量坐标的线性运算求、，即可得答案．
【详解】由题设，，故，A错误，B正确；
，C正确；
，D正确．故选：BCD．
10．ABD 【分析】解方程可得集合A，再结合集合间运算结果分情况讨论．
【详解】由，得，又，
当时，即a＝0，成立；当时，，，或，，故选：ABD．
11．ABD 【解析】根据函数的图象，可求出的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案．
【详解】由函数的图象可得A＝2，周期，所以，
当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数．
对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确；
对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确；
对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误；
对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D正确．故选：ABD．
【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题．
12．CD 【分析】作出函数的大致图象，将方程有两个不相等的实数根，转化为与图象有2个交点的问题，数形结合，求出参数的范围，可得答案．
【详解】如图，作出函数的大致图象，
当时，，，故在点处的切线斜率为，
直线y＝kx－2过定点，当时，y＝kx－2与图象有一个交点；
直线y＝kx－2过点时，k＝3，此时y＝kx－2与图象有2个交点；
当1＜k＜3时，y＝kx－2与图象有一个交点；
当k＞3时，y＝kx－2与图象有2个交点；
综上，当时，y＝kx－2与f（x）图象有2个交点，
故方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值可以是3，4，故选：CD．
13．1 【分析】根据向量平行的充要条件即可求得．
【详解】解：∵，∴，解得x＝1．故答案为：1．
14．120 【分析】设扇形的半径为r，圆心角为n°，根据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可．
【详解】解：设扇形的半径为r，圆心角为n°，依题意可得，
解得；故答案为：120．
15． 【分析】利用向量的夹角公式直接求得．
【详解】因为，，，
所以，即，
所以，即，所以．
因为，所以向量夹角的余弦值为．故答案为：．
16．54 【分析】先求出等差数列的通项公式及前n项和，再利用导数求的最大值即可．
【详解】解：因为是等差数列，且有，，
所以，解得，
所以，，
令，所以，
因为，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；所以，故答案为：54．
17．【答案】（1） （2）或
【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据已知条件列关于和d的方程组，解方程求得和d的值，即可求解；
（2）等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和q的值，即可求解．
（1）设等差数列首项为，公差为d．
∵，∴，解得：，
∴等差数列通项公式．
（2）设等比数列首项为，公比为q，
∵，∴，解得：，
即或，∴等比数列通项公式或．
18．（1） （2）
【解析】（1）由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据不为0，求出的值，即可求出A的度数；
（2）由a，b与A的值，利用正弦定理列出关系式，求出B值进而得C角，再由三角形ABC面积公式即可求值．
【详解】解：（1）由得，，
由正弦定理可得，，
可得：，即：，
由，可得：，又，可得：．
（2）由已知及正弦定理得即可得，
∵a＞b，∴A＞B即，故．
的面积．
【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基本题．
19．【答案】（1）a＝1，b＝－3
（2）的单调递增区间为，，单调递减区间为．
【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出a＝1，b＝－3；（2）结合第一问得到单调区间．
（1），由题意得：，，
解得：a＝1，b＝－3，此时，
当－1＜x＜1时，，当x＜－1或x＞1时，，
故x＝1为极值点，满足题意，所以a＝1，b＝－3．
（2）由（1）可知：当－1＜x＜1时，，当x＜－1或x＞1时，，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为．
20．（1）单调增区间是，，单调减区间是 （2）
【分析】（1）根据题意得，进而求得函数的单调区间，再结合求解即可；
（2）根据题意求得，进而结合余弦定理得，再根据基本不等式求解即可．
（1）解：，
由，，得，，
，，得，，
因为，所以，当k＝1时得单调递增区间为；
当k＝0时得单调递增区间为，单调递减区间为．
所以函数在上的单调增区间是，，单调减区间是．
（2）解：由（1）有，，得，
因为A为锐角，，所以，即，
由余弦定理得，，
所以，所以，即，
又，所以，得，当且仅当b＝c＝3时取等号，
又b＋c＞a＝3，所以，所以，周长的取值范围是．
21．（1） （2）存在，k的最小值为4
【分析】（1）利用求得数列的通项公式．
（2）利用裂项求和法求得，求得的取值范围，结合二次函数的性质求得k的最小值．
（1）依题意，当n＝1时，，
当时，，
当n＝1时上式也符合，所以．
（2），
，
为单调递增数列，，则，
所以，，函数的对称轴为，
，，，，
当时，递增．所以使成立的正整数k的最小值为4．
22．（1）y＝3x－5 （2）答案详见解析 （3）
【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程．
（2）求得，对a进行分类讨论，由此求得的单调区间．
（3）结合（2），对a进行分类讨论，结合的单调区间、最值，求得a的取值范围．
（1），，所以，，
所以切线方程为，．
（2）的定义域为，，
当a＜0时，在区间，，，递减；
在区间，，递增．当a＝0时，，在上递减．
当a＞0时，在区间，，，递减；
在区间，，递增．
（3）由（2）知：当时，在上递减，，不符合题意．
当a＞0时，在区间上，，
依题意可知，解得a＞3．综上所述，a的取值范围是．
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