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“乘法交换律和结合律”教学设计
教学内容：人教版《义务教育教科书·数学》四年级下册第25、26页及相关练习。
教学目标：
1.理解乘法交换律、结合律，知道乘法交换律、结合律的用途。
2.经历乘法交换律和结合律的探索过程，发展类比、归纳能力。
3.了解探索数学规律的一般方法，渗透数学文化和民族自豪感。
教学重点：理解乘法交换律、结合律。
教学难点：经历乘法交换律和结合律的探索过程。
教具准备：课件、课前的“乘法交换律和结合律”探究记录单、作业纸等。
教学过程：
课前交流：
1.请同学们做几道口算题。（知道结果的可以马上起立说）
2×5 25×4 125×8
师：看来你们的口算能力还是很强的。你们知道吗，5和2是一对好朋友，因为它们相乘等于一十；25和4是好朋友，因为它们相乘等于一百；125和8是好朋友，因为它们相乘等于一千。记牢这三对好朋友，今后会给我们的计算带来很大的帮助。
2.你能根据25×4=100，快速地说出250×4,25×400的积吗？
3.你知道小括号有什么作用吗？
课件出示：23 + 8 - 7+9，问：先算什么？
课件填上括号：23 + (8 - 7) +9，现在先算什么？
课件动态演示：变成23 + 8 - （7 +9）的过程。
师：现在呢？先算什么？
小结：添上小括号或者小括号的位置变了，运算顺序就不一样了。说明小括号可以改变运算的——
生：顺序。
师：好，现在开始上课。起立！
一、提问导入课题
师：同学们，今天我们一起来学习乘法运算律中的交换律和结合律（课件出示课题）。看到这个课题，你最想知道什么？你最想了解什么？（这时教师板书课题）
预设1：我最想知道什么是乘法交换律和乘法结合律。
预设2：我想了解交换律和结合律是怎么回事。
师：很好！你们两位的意思基本一致，都是想知道究竟什么是交换律和结合律。（板书：1.是什么？）
预设3 ：我想知道交换律和结合律有什么用。
师：很好！你的意思就是说乘法交换律和乘法结合律可以干什么。（板书： 3.什么用？）谁还有不同的问题？
预设4：我想知道交换律和结合律是怎么来的。
师：好极了！他想知道交换律和结合律是怎么来的，也就是关心为什么会有交换律和结合律。（板书：2.为什么？）
师：同学们非常聪明！关于交换律和结合律的三大核心问题（1.是什么？ 2.为什么？ 3.有什么用？）大家都已经想到了，接下来我们就围绕这三个问题进行学习和研究。
二、小组内交流探究成果。
师：（屏幕展示空白的“乘法的交换律和结合律”研究学习）课前，我们每位同学已经就乘法的运算定律做了相关的研究学习，现在请大家先在小组里交流各自完成的研究学习材料，等会儿我们再全班交流。
小组交流2分钟。
三、全班交流探究成果。
交流乘法交换律。
师：请第×小组××同学上来展示交流你的研究成果。
预设：乘法交换律，我的猜想是：在乘法中，两个因数交换位置，积不变。我举的例子是 。（教师把学生的猜想贴在黑板上，举的例子写在黑板上）
师：刚刚他们的展示与交流很好。好在哪儿？
预设：他举了两个例子。一个例子是两个数相乘的，一个例子是三个数相乘的。
预设：先说了乘法交换律的内容，然后又说字母公式。
师：先用文字陈述，然后介绍如何用字母表示。
师：“在乘法里，交换两个因数的位置积不变”，这个猜想对不对呢？ 刚才汇报的同学是通过举例子向大家说明。
师:大家再看这个例子，两个因数的位置有没有交换？ 积有没有改变？
预设:两个因数位置交换了，但乘积没变。
师:其他小组还有不同的例子吗？请说出来老师帮你板书。
师板书几个例子后问：这样的例子还有吗？ 写得完吗？ 写不完该怎么办？
（师暗示学生画省略号）
师：有没有谁举例时发现了反面的例子，也就是交换两个因数的位置积变了？（学生摇头）这样看来，能验证我们当初关于乘法交换律的猜想吗？
师:黑板上现在有无数个等式，老师却能用一个式子全概括进去。你们能做到吗 试试看
预设1 ：甲×乙= 乙×甲。
预设2 ： ×□= □× 。
预设3 ：a×b=b×a。（师板书字母表达式）
设问：除了举例子，大家还有其他方法证明乘法交换律吗？
（估计学生会一时愕然，陷入沉思）
（生都在困惑之时，师出示右图 ）
师：用乘法计算图中一共有多少个鸡蛋，请问对这幅图而言，计算的结果是否唯一？计算的方法呢？
预设：计算的结果是唯一的，但是计算的方法不唯一，是多样的。比如可以列式为 5×3，也可以列式为3×5，但结果都是求一共有多少个鸡蛋。
随着学生的回答，课件动态演示“数数”的过程：先数一排有5个鸡蛋，有3排。所以列式为5×3。
用同样的方法处理3×5的“数数”过程。
师：大家说得真好！正是由于计算结果的唯一性与计算方法的多样性，而这两种方法所列乘法算式刚好是两个因数交换了位置，这就说明了我们最初关于乘法交换律的猜想是正确的。看来，验证和说明乘法交换律，我们不仅可以通过举例子的办法，也可以通过图形更直观地表达。
2.交流乘法结合律。
师：乘法交换律我们清楚了，请展示的同学继续介绍乘法结合律。你的猜想是什么，举的那个例子来验证？
（生答后，教师贴出学生的猜想）
预设：比如（ 2×3 ）×5＝2×（ 3×5 ）。
师：三个因数的位置有没有变？
预设：没有。
师：三个因数的位置没变，小括号的位置变了吗？
预设：变了。
师：小括号的位置变了，说明什么变了？
预设：计算顺序变了。
师：真聪明！ 小括号的位置变了，也就是计算顺序变了。左边先乘前两个，右边先乘后两个，积有没有变？
预设：没变。
师：单凭这一个例子来验证这个猜想显得单薄了一些，谁还有不同的例子，请补充。
预设：比如（25×5)×2＝25×（5×2 ）。
师：还有吗？
预设：还有很多很多。
师：这样的例子写得完吗？ 写不完怎么办？
预设：画省略号
师：有没有谁举例时发现了反面的例子，也就是三个数相乘改变乘的顺序积变了？（学生摇头）这样看来，能验证我们最初关于乘法结合律的猜想吗？
师：你能用一个式子把这些式子全概括进去吗？
预设1：（甲×乙）×丙 =甲×（乙×丙）。
预设2 ：（ ×□）×△ = ×（□×△ ）。
预设3 ：（ a×b ）×c=a×（ b×c ）。（师板书字母表达式）
小结：同学们真不错！ 同样用举例子的方法验证了我们对乘法结合律的猜想。
设问：和刚才研究乘法交换律一样，大家还能用图形直观地解释和说明乘法结合律吗？
在学生陷入沉思时，课件出示右图：
师：要求这个长方体是由几个小正方体方块搭成的，我们可以从上往下看，一共有几层？每一层有多少个？求4层一共有多少个，该怎么列综合算式？
（课件要同步动态演示，以下的引导演示与此处相同）
预设： 3×5×4。
师板书：（3×5）×4。为了强调先算3乘5，我把它加上括号可以吗？
师：如果我们从前往后看，一共有几层？每一层有多少个？求3层一共有多少个，该怎么列综合算式？
预设：5×4×3或（5×4）×3
师：你们是先算5×4，是吗？那老师这样写可以吗？（预设：可以）
师接着板书：3×（5×4）
师：两种不同的算法，计算的结果都是什么？
预设：这个长方体一共用了多少个小方块。
师：既然都是求这个长方体一共用了多少个小方块，（3×5）×4 和3×（5×4）的结果相等吗？
预设：相等。
师用“ ＝ ”连接：（3×5）×4 = 3×（5×4）
师：观察等号左右两边，先乘前两个数，或先乘后两个数，积是否真的没有改变？
预设：积真的没有改变。
师：这是否验证了我们当初对乘法结合律的猜想？
预设：验证了。
师：因为—— （预设：计算结果是唯一的，但计算的方法是多样的。）
师：这个长方体一旦搭成，一共有多少个小方块的结果是唯一的，但计算的方法不唯一。正是因为多样的方法都指向了同一个结果，所以它直观的验证了我们对乘法结合律的猜想。瞧，乘法结合律可以在三维空间内得到完美的解释。
师：如果我们从右往左看，一共有几层？每一层有多少个？求5层一共有多少个，该怎么列综合算式？
课件动态演示后出示算式： 3×4×5
师： 3×5×4与3×4×5相等吗？为什么相等？
预设：相等，因为都是求这个长方体一共用了多少个小方块。
师板书：3×4×5 = 3×5×4
师：从3×4×5到3×5×4，改变的是什么？结果变了吗？
师：说明乘法交换律在三个数相乘时，也适用哦！咦，不知你们发现没有，在连乘算式里，不论是改变因数的位置或者是改变乘的顺序，积都不会变。
3.乘法交换律和结合律比较。
师：我们来比较一下这两条规律，乘法交换律改变的是什么？乘法结合律改变的是什么？
预设 ：乘法交换律改变的是两个因数的位置，乘法结合律改变的是因数的运算顺序。
师：的确，乘法交换律改变的是因数的位置，而乘法结合律改变的是运算顺序（乘的顺序）。但不管是改变因数的位置还是改变乘的顺序，积都不会变。
师：下面我们一起来看一段微视频，了解探索数学规律的过程与方法。
播放微视频：《探索数学规律的过程与方法》
师：通过看微课，让我们更加清楚了探索数学规律的过程。那就是：
师板书：猜想→验证→结论。
4.交流乘法运算律的应用。
师：同学们通过课前探究和课中交流，很好地解决了乘法交换律和结合律是什么、为什么的问题，大家很了不起！谁能说说这两大运算律可以帮助我们干什么呀？也就是有什么用？
师：其实我们在二年级的时候就已经在使用乘法交换律了，请看！
课件出示：
师：可以写哪两个乘法算式？根据是什么？
预设：乘法交换律
师：还有哪里应用到了乘法交换律？
预设：验算。
如果学生想不起来，就课件出示：
师：以前我们验算乘法时，交换两个因数再乘一遍，其根据就是乘法交换律。
师：以前我们在列竖式计算16×823时，很多同学都用右边的竖式，而不列成左边的竖式，（课件出示）能列出两个乘法竖式，根据是什么？列成右边那样的竖式有什么好处？
预设：简便一些。
师：运算定律的确可以使一些计算简便。让我们一起来体验体验！请问你们觉得是计算两个数相乘快，还是计算三个数相乘快？
预设：两个数。
师：好！老师写两个数相乘，请 3 秒之内给出答案！
师板书 97×25 ， 学生愕然！ 师倒数三个数，3 、2 、1 ，没有一个学生给出答案！老师连续催促，学生更是着急。
师：你们不是说两个数相乘算得快吗？怎么算不出来了？那这样，老师给它再乘一个数。
师补充板书 97×25×4 ，此时，立刻会有人举手，稍倾，大部分同学会举手。教师请第一位举手的同学回答。
师：结果是多少？
师：你怎么算得这么快？
预设：我先算 25×4＝100 ，然后算 97×100＝9700。
师：此题显然先乘前两个数没有先乘后两个数计算方便，请问这位同学，你运用了什么运算律？（预设：乘法结合律。）
师：看来，运用乘法结合律，有时候的确可以使计算简便。其实，如果乘法交换律和结合律联合起来运用，不仅三个数连乘可以简便，即使更多的数连乘依然可以简便，这是我们下节课要专门学习和研究的内容。
5.课堂练习：
师：下面老师命制了几个题想考考大家，看同学们学得怎么样。
1.聪聪在举例验证乘法交换律和结合律时也写了几组等式，可是不小心被墨水弄脏了。猜一猜他写的等式原来是怎样的？
2.把左右两边结果相等的算式用线连起来。
3.下列算式在进行恒等变形时都应用了哪些运算定律？
（1）9+3×5=5×3+9 答：（ ）
①加法交换律 ②乘法交换律 ③加法交换律和乘法交换律
（2）15×23×2=23×（15×2） 答：（ ）
①乘法法结合律 ②乘法交换律 ③乘法交换律和乘法结合律
（3）15×23×2=15×2×23 答：（ ）
①乘法法结合律 ②乘法交换律 ③乘法交换律和乘法结合律
4.下面每组中的两个算式得数相等吗？如果相等，选择其中一个算式算出得数。我会选择第（ ）个算式计算得数。
①25×11×4 ①25×4×11 ①(25×125)×(4×8)
②11×（25×4 ） ②25×(4×11) ②(25×4)×(125×8)
师：学到这里，让我们一起来听一个故事，轻松轻松。
师：天文学家得出的结论可靠吗？数学家得出的结论呢？
师：我们可不能像天文学家那样，单凭一只羊是黑色的就得出苏格兰的羊全是黑色的结论，这样的思维容易犯以偏概全的错误。我们要像数学家那样去严密的思维、得出的结论要严谨，要经得起推敲，经得起验证。
四、总结全课，带着疑问结课
师：这节课你有什么收获？请根据以下提纲自我小结一下。
通过这节课的学习和研究，我知道了乘法交换律是指交换因数的（ ），
积不变；乘法结合律是指三个或多个因数相乘，改变乘的（ ），积不变。
我还知道，猜想既可以由几个具体例子提出，也可以对已有的结论进行变换或联想得到。提出猜想以后要对猜想进行（ ）或证明，才能得到数学规律。
师：本堂课就要结束了，你还有什么疑问吗？
预设1：结合律和交换律的名称是怎么来的？
师：谁知道？
预设：结合律，就是用括号将两个数结合起来；交换律，就是把数交换位置。
师：有个词叫“顾名思义”，从名称想到所包含的意义。我们把交换律、结合律的内容和“交换”、 “结合”这样的说法对应起来，就能领会交换律、结合
律的名称是怎样来的了。交换律中的“交换”是指交换数的位置，结合律中的“结合”是指把某两个数结合起来先计算。
预设2：乘法有交换律和结合律，减法、除法运算会不会也有交换律和结合律呢？
师：如果有，该如何表达呢？
预设：a-b=b-a,a÷b=b÷a
师：这些结论是否正确，还用老师教你们吗？
预设：不用了，我们可以自己解决。
师：请仿照今天的研究方法，或举例子、或用图形，自己课后去验证，好吗？师：在本课即将结束的时候，依然有一些问题需要留给大家进一步展开思考。
（教师出示如下算式：26－8－6 26－6－8；60÷2÷3 60÷3÷2）
师：比较这两组算式的左边和右边，你发现什么变化了吗？
生：我发现，第一组算式中，两个减数交换了位置，第二组算式中，两个除数也交换了位置。
师：交换两个减数或除数的位置，结果又会怎样？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本课所掌握的方法，你能通过进一步的举例验证猜想并得出结论吗？请同学们课后去思考。下课。
板书设计：
验算：
5×4×3=5×（3×4）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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乘法交换律和结合律
人教版 四年级下
2×5= 25×4= 125×8=
10
100
1000
250×4 25×400
=1000
=10000
23 + 8 - 7 + 9
( )
新知导入
“乘法交换律和结合律”探究单
从几个具体例子中形成猜想，并举例验证, 是一种获取结论的方法。但有时, 从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想, 进而形成新的结论。比如加法运算里有加法交换律、加法结合律,那么乘法运算里有类似的运算定律吗？如果有，该如何表达呢？请把你猜想的内容，举例验证的例子填写在下面的表格里：
新知讲解
3×5 =15（个）
5×3 =15（个）
用了几个正方体？
(3×5)×4
3×（5×4）
3×4×5
探索数学规律的过程与方法
读口诀，写算式
三六十八
× =
3
6
18
× =
3
6
18
验算乘法：交换位置再乘一遍。
乘法交换律
验算：
×
×
列竖式计算：16×823
使计算简便
×
×
合作探究
28×16=16×28
25×13×4=25×4×13
(60×25) ×4=60×(25×4)
(125×8)×4=125×（8×4）
课堂练习
1.聪聪在举例验证乘法交换律和结合律时也写了几组等式，可是不小心被墨水弄脏了。猜一猜他写的等式原来是怎样的？
2.把左右两边结果相等的算式用线连起来。
（28+44）+56
30 ×16
4 ×27 ×25
88 ×125
11×(125 ×8 )
28+(44+56)
16 ×30
27 ×(4 ×25)
11×8
3.下列算式在进行恒等变形时都应用了哪些运算定律？
（1）9+3×5=5×3+9 答：（ ）
①加法交换律 ②乘法交换律 ③加法交换律和乘法交换律
（2）15×23×2=23×（15×2） 答：（ ）
①乘法法结合律 ②乘法交换律 ③乘法交换律和乘法结合律
（3）15×23×2=15×2×23 答：（ ）
①乘法法结合律 ②乘法交换律 ③乘法交换律和乘法结合律
4.下面每组中的两个算式得数相等吗？如果相等，选择其中一个算式算出得数。我会选择第（ ）个算式计算得数。
25×4×11
25×(4×11)
(25×125)×(4×8)
(25×4)×(125×8)
11×25×4
11×(25×4)
选（ ）
选（ ）
选（ ）
课堂总结
通过这节课的学习和研究，我知道了乘法交换律是指交换因数的（ ），积不变；乘法结合律是指在三个或多个因数相乘时，改变乘的（ ），积不变。
我还知道，探索数学规律要先提出（ ），然后对猜想进行举例（ ）或证明，最后得出规律。
猜想既可以由归纳几个具体的例子提出，也可以对已有的结论进行（ ）或（ ）得到。
回顾与反思
位置
猜想
顺序
验证
联想
变换
26－8－6 26－6－8；
60÷2÷3 60÷3÷2
板书设计
作业布置
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