山东省泰安市新泰中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

新泰中学2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
4．如图是函数的图象，则函数的解析式可以为（ ）．
A． B． C． D．
5．设是所在平面内一点，，则（ ）
A． B． C．
6．设，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．设等差数列，的前项和分别是，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知定义在上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．命题，，若命题是假命题，则
C．设，都是非零向量，则“”是“”成立的充分不必要条件
D．若角的终边过点且，则
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象可由图象向右平移个单位长度得到
B．图象的一条对称轴的方程为
C．在区间上单调递增
D．的解集为
11．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为1 B．的最大值为9
C．的最小值为2 D．的最小值为
12．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意的，存在，使得
B．若是的极值点，则在上单调递减
C．函数的最大值为
D．若有两个零点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设函数，则______．
14．已知函数的图像过点，令，．记数列的前项和为，则______．
15．在中，，，是上的点，平分，若，则的面积为______．
16．设向量，，则与的夹角为______，在上的投影向量为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的对称轴．
18．（本题12分）
设两个向量，满足，．
（1）若，求，的夹角；
（2）若，的大角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
19．（本题12分）
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，．
（1）求；
（2）如图，为边上一点，，，求的面积．
20．（本题12分）
已知函数．
（1）解关于的不等式，；
（2）若，，，求实数的取值范围．
21．（本题12分）
已知等差数列的前项和为，，，记数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式及；
（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．（本题12分）
已知函数．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若时，，求实数的取值范围．
新泰中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题
参考答案
一．单选题
1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．A
二．多选题
9．BD　　10．ABD　　11．ACD　　12．BD
12．由题意知：，，当时，，单增，无最大值，故C错误；
当时，在上，，单增；在上，，单减；故，当，即时，无零点，故A错误；
若是的极值点，则，，故在单减，B正确；
若有两个零点，则，且，解得，又时，时，，，此时有两个零点，D正确．故选：BD．
三．填空题
13． 14． 15． 16．① ②
四．解答题
17．（10分）
解析：（1）
所以．
（2）将向右平移个单位得到
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来倍（纵坐标不变），
得到，所以
由，得，
所以对称轴为
18．解：（1）由得，
又，，所以．
所以，
又因为，
所以，的夹角为．
（2）由已知得，
则，
因为向量与的夹角为钝角，所以，即．
设，．则，无解，故两个向量的夹角不可能为180°，
所以向量与的夹角为钝角时，的取值范围为．
19．解（1）∵，∴
由正弦定理，可得，
∵，∴，
∵，∴，则，
∴．
（2）∵，∴，∴
又，在中，由余弦定理，可得：
，
即，解得，
∴，又，∴．
20．解：（1）由，
得，即．
当即时，不等式恒成立；
当即时，；
当即时，．
综上，当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是．
（2）由和是增函数，所以是增函数，
又是减函数，所以是减函数，则是减函数.
即，
所以，所以，
又，当且仅当时，等号成立，
即对恒成立，
所以，解得．
所以的取值范围是．
21．解【1】因为为等差数列，设公差为，首项为，
由，解得，
由，又，则，，
所以，．
【2】由（1）知：，所以，
易知为递增数列，当时，取得最小值为，
又，所以，所以．
当为奇数时，恒成立，即，解得，
当为偶数时，恒成立，即，解得，
综上，实数的取值范围为．
22．解：（1）函数的定义域为，由．
得．
若，则，函数在上单调递增．
若，则时，，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
若，则时，时，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）方法一：当时，，
所以，
令，则；
令，则，
所以在上单调递增，
又，
所以，使得，
则当时，，即；
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由得：，则，
所以，
又在上单调递增，
所以，，所以，
所以，解得，即实数的取值范围为．
方法二：
先证明．设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，
设，则，
当且仅当时等号成立，
设，则在上单调递增，
且，，
所以存在使成立，所以，
所以，