景博中学 2022-2023 学年第一学期高三期中考试 函数 y g(x) 图象过点 P(0, 2)，则关于函数 g(x)的说法不正确的是（ ）
5
A． 是 x 函数 g(x)一条对称轴 B． ( ,0) 是函数 g(x)一个对称中心
数学（理科） 2 4
3
C． g(x)在区间 ( , )上单调递增 D． g(x) ( , )（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 在区间 上单调递减 2 4 4
注意事项： 9. 魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再
点 D，G，F在水平线 DH上，CD和 EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单
选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 位：米）：前表却行 DG=1，表高 CD=EF=2，后表却行 FH=3，表距 DF=61.则塔高 AB=（ ）
A．60 米 B．61 米 C．62 米 D．63 米
1. 集合 A x | y 2 x , B y | y 2 x ，则 A B （ ）
a n S S 2S 3 S S
A． ( , 2] B． [0,2] C．[0, ) D．[2 )
10. 已知正项等比数列 n 的前 项和 n ，满足 4 2 ，则 6 4 的最小值为（ ）
1
2．已知复数 z 满足 z(2 i) 6 2i ，则 z （ ） A． B．3 C．4 D．12
4
11. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图 1是一张由卷曲纹
A． 2 5 B．4 C． 2 3 D．2 2
和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图 2中正六边形ABCDEF 的边长为 4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为
3．已知 a 是各项均为正数的等差数列，且 a6 2a7 a10 20n ，则 a7 a8 的最大值为（ ） 2，圆O的直径MN∥CD，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN 的最小值为 （ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
3
4. 已知向量a ( 1,2),b (1,2), 设a,b的夹角为 , 则 sin 2 ( )
2
18 18 7 7
A. B. C. D.
25 25 25 25
5. 执行如图的程序框图，那么输出 S 的值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8
1 12. 已知a 0，若 x 1时， x x a a恒成立，则a的最小值为 （ ）
A．2 B． C．-1 D．1 e ln e x ln x
2 A． 1 B． 2 C． 2e D． e
6. 已知 ABC中, 内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c , 若点 A到直线BC的距离 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
为bcosC ,且sin B sinC , 则 A ( ) 13.已知向量m x, x 2 ,n x 2,4 ，且 n (m n)，则 | m | ___________．
2 3 5
A. B. C. D.
2 3 4 6 14．在正项等比数列 a 中，a4a8a12 8，则 log2 a2 logn 2 a14 ______．
7.如图，在 ABC中， BAC ， AD 2DB，P为 CD上一点，且满足 ln x
3 15. 已知 f x 为偶函数，当 x 0时， f x ，则曲线 y f x 在点 1,0 处的切线方程是_________.
x
1
AP mAC AB ，若 AC 2， AB 3，则 AP CD的值为（ ）
2 x
11 x x 0 20211
A． B． C．1 D．2 16. 已知函数 f x e ，则方程 f x 的实根的个数为_______；若函数
3 2 2020
x
2 2x 1 x 0
8. 已知函数 f (x) 2sin( x )( 0, ) 的最小正周期是 π，将 f (x)的图象向左平移 个单位长度后所得的
2 2 3 y f f x a 1有三个零点，则 a的取值范围是_________.
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三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作 1 220.(12 分)已知各项为正数的数列 an 前 n项和为 Sn ，若 Sn an 1 ．
4
答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。
(1)求数列 an 的通项公式； （一）必考题：共 60 分．
a
a 1,n为奇数, (2)设b
n ，且数列 bn n 前 nn 项和为Tn ，求证：Tn 1． n
17．（12 分）已知数列 an 满足 a 1， a 31 n 1
an 2,n为偶数.
（1）记bn a2n，写出b1，b2，并求数列 bn 的通项公式；
（2）求 an 的前 20 项和.
x 2
21.（12 分）已知函数 f (x) 2ln(x 1) ke (k R) .
(1) 若 x 2是 f (x) 的一个极值点, 求 f (x) 的极值;
π π 1
18.(12 分)如图，在四边形 ABCD中， BD AD，sin A cos A ln(x 1) 2
3 6 4 (2) 设 h(x) 的极大值为h x , 且 f (x) 有零点, 求证: kx 2 0 x0 1 x0 2e e
(1)求角A 的值；
(2)若 AB 3, AD 3，CD 1, C 2 CBD，求四边形 ABCD的面积
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系中，以原点为极点，
x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程
2 5
19.（12 分）在 ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且向量m 2a 3c, 3b 与向量 n cosC,cos B 共 x 2 t
2 12 5
为 ，直线 l的参数方程为 （ t为参数）
4 cos2 5
线． y 3 t
5
(1)求角 B ； (1)求曲线C 的参数方程与直线 l的普通方程；
(2)请从条件①、条件②条件③这三个条件选择一个作为已知，使得 ABC存在且唯一确定，并求 AC边上中线 BD
(2)设点 P为曲线 C上的动点，点M和点 N为直线 l上的点，且 MN 5 ,求 PMN 面积的取值范围
的长．
3 3
条件①： a 3，b 3 ；条件②：b 3 ， S ；条件③ a 3 ，△ABC c 3．
4
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
设函数 f x 2x 1 x 1 .
(1)当 x 0, ，总有 f x ax b，求 a b的最小值 t；
3 3 16(2)若正数m, n满足m n t ，求证；m n 4 .
5
第 2 页 共 2 页数学（理科）答案
一：选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D C D B A C D D D D C
二．填空题
1 1
13. 10 14. 2 15. x y 1 0 16. (1). 3 (2). 1,1 2,3 3
e e
三．解答题
17 解：（1）[方法一]【最优解】：
显然2n为偶数，则a2n 1 a2n 2,a2n 2 a2n 1 1，
所以a b2n 2 a2n 3，即 n 1 bn 3，且b1 a2 a1+1 2，
所以 bn 是以 2 为首项，3 为公差的等差数列，
于是b1 2,b2 5,bn 3n 1．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知a1 1,a2 2,a3 4，所以b1 a2 2,b2 a4 a3 1 5．
由 an 1 an 1（n为奇数）及 a nn 1 an 2（ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若n为奇数，则其后一项减去该项的差为 1，
若n为偶数，则其后一项减去该项的差为 2．
所以an 2 an 3(n N
*)，则bn b1 n 1 3 3n 1．
[方法三]：累加法
n
由题意知数列 an
3 ( 1)
满足a1 1,an 1 an (n
*
N )．
2 2
3 ( 1)1
所以b1 a2 a1 1 1 2 ，
2 2
3 ( 1)3 3 ( 1)2
b2 a4 a3 a3 1 a ， 2 1 a2 2 1 2 3 5
2 2 2 2
则bn a2n (a2n a2n 1) (a2n 1 a2n 2) +(a2 a1) a1 1 2 1 2 2 1 a1
n 1 2(n 1) 1 3n 1．
所以b1 2,b2 5，数列 b 的通项公式bn 3n 1n ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
S20 a1+a2 +a3 +a20 (a1+a3+a5 a19 ) (a2 +a4 a6 + +a20 )
(b1 1 b2 1 b3 1 b10 1) b1 b2 b3 b10
(b b ) 10
2 1 10 10 300．
2
[方法二]：分组求和
由题意知数列 a 满足a1 1,a2n a2n 1 1,an 2n 1 a2n 2，
所以a2n 1 a2n 2 a2n 1 3．
所以数列 an 的奇数项是以 1 为首项，3 为公差的等差数列；
同理，由a2n 2 a2n 1 1 a2n 3知数列 an 的偶数项是以 2 为首项，3 为公差的等差数
列．
从而数列 an 的前 20 项和为：
S20 (a1 a3 a5 a19) (a2 a4 a6 a20)
10 9 10 9
10 1 3 10 2 3 300．
2 2
π π π π π
sin A cos A cos A cos A
18. （1） 3 6 2 3 6
π
cos 2Aπ
1
3 1 π 1 ，
cos2 A cos 2A
6 2 4 3 2
π π 7π
因为0 A π，得 2A ，
3 3 3
π 2π π 4π
2A 或 2A ，
3 3 3 3
π π π
解得 A 或 A ，因为BD AD，得 A ，
6 2 2
π
A
6
（2）
2
在△ABD中，BD 3 32 π 2 3 3cos 3，
6
在 1 3△BCD中， sin C 3 sin CBD，
sin CBD sin C
C 2 CBD 2sin CBDcos CBD 3sin CBD，
π π
0 CBD ， 3 cos CBD ，得 CBD ，
3 2 6
π π
C , CDB ，所以四边形 ABCD的面积为
3 2
1 π 1 5 3
S S ABD S BCD 3 3 sin 3 1
2 6 2 4
19. （1）由向量m 2a 3c, 3b 与向量n cosC,cos B 共线得：
2a 3c cos B 3b cosC 0 2acos B 3c cos B 3b cosC
∴2sin Acos B 3 sinC cos B sin BcosC 3sin A
又因为 A 0, ，∴sin A 0，
∴ 3
cos B ，又B 0, ，∴B ；
2 6
1
3
（2）由①可知： a b asin B
sin A 2
3
sin A sin B b 3 2
2
所以， A 或 A ， ABC不唯一确定（舍去）
3 3
由②可知：b2 a2 c2 2accos B 3 a2 c2 3ac
又 3 3 1S△ABC ac sin B ac 3 3 ，所以a
2 c2 12，
4 2
a 3 a 3
即 或 ，
c 3 c 3
ABC不唯一确定（舍去）
由③可知：b2 a2
3
c2 2accos B b2 9 3 2 3 3 3，b 3 ，
2
2
B C ， A
6 3
2 3 3 3 21BD BC 2 CD2 2BC CD cosC 32 2 3
4 2 2 4
∴ 21BD
2
1 2
20. （1）当 n＝1 时，a a 11 a1 1 ，解得： 1 ．
4
1 2 1 2
当n 2时，由 Sn an 1 得： Sn 1 an 1 1 ，
4 4
因此 2 2 ，a2 a24an an an 1 2an 2an 1 n n 1 2 a a 0n an 1 ，又 n ，
∴an an 1 2，即： an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，
因此， an 的通项公式an 2n 1．
a 2n 1 1 3 5 2n 1
（2）依题意得：b nn ，Tn ，
3n 3n 3 3
2 33 3n
1 1 3 2n 3 2n 1
∴ Tn ，
3 32 33 3n 3n 1
2 1 2 2 2 2n 1
两式相减，得： Tn
3 3 32 33 3n 3n 1
1 1 1 1 2n 1 1 2 2n 2 n 1
2 ，Tn 1 ，因此，T 1． n n
3 3
2 33 3n 3
n 1 3 3 3n 1 3
21.解：
