4.2一元二次方程的解法（4）
班级 姓名 学号
学习目标
1、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用
3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程
学习重点：一元二次方程的根的情况与系数的关系
学习难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值
教学过程
情境引入：
1.一元二次方程的求根公式时什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是
用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac＜0时，方程无实数 解(根)
2.用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0
3．观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
二、探究学习：
1．尝试：
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
（答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根）
问题：你能得出什么结论？
可以发现b2－4ac它的符号决定着方程的解。
2．概括总结．
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根
当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根
当b2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0
当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
3.概念巩固：
（1）方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .
（2）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
（3）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ）
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0
C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0
4.典型例题：
例1不解方程，判断下列方程根的情况：
1、； 2、；
3、 4、x2-2mx+4（m-1）=0
解：1.∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0
∴该方程有两个相等的实数根
2. 移项，得x2+4x-2=0
∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8）=16+8=24＞0
∴该方程有两个不相等的实数根
3. 移项，得4x2+3x+1=0
∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0
∴该方程没有实数根
4. ∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0
∴该方程有两个实数根
例2 ：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。
解：
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
例3：m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0
即8m+9＞0 ∴m＞
若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0
即8m+9=0 ∴m=
若方程没有实数根，则b2-4ac＜0
即8m+9＜0 ∴m＜
∴当m＞时，方程有两个不相等的实数根
当m=时，方程有两个相等的实数根
当m＜时，方程没有实数根
例4：已知关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
解：∵方程有两个不相等的实数根
∴（2k+1）2-4k（k+3）＞0
4k2+4k+1-4k2-12k＞0
-8k+1＞0即k＜
5.巩固练习：
练习1.不解方程，判断方程根的情况：
（1）x2+3x-1=0;(2)x2-6x+9=0;(3)2y2-3y+4=0(4)x2+5=x
练习2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根。
练习3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一元二次方程
（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（ ）
A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根
C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。
三、归纳总结：
一元二次方程的根的情况与系数的关系？
b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。
【课后作业】
班级 姓名 学号
1、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）
A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
2、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .
3、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.不能确定
4、关于x的方程x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k( )
A.k＞-1 B.k≥-1 C.k＞1 D.k≥0
5、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .
6、若方程有实数根，则的范围是_____________________。
7、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则___________。
8、不解方程，判断下列方程根的情况
（1）； （2）； （3）
（4） 3x2－x＋1 = 3x （5）5（x2＋1）= 7x （6）3x2－4x =－4
9、k取何值时，关于x的方程2x2-(k+2)x+2k-2=0有两个相等的实数根.？求出这时方程的根。
10、已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实数根，求k的最大整数值。
11、当m为何值时，方程8mx2＋（8m＋1）x＋2m = 0
⑴ 有两个不相等的实数根？⑵ 有两个相等的实数根？⑶ 没有实数根？
12、已知a、b、c为△ABC的三边，且关于x的方程（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状。
课件14张PPT。初中数学八年级下册
（苏科版）4.2一元二次方程的解法 根的判别式 知识回顾1.一元二次方程的求根公是什么？一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，
进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，
当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；
当b2-4ac＜0时，方程无实数 解(根) 知识回顾 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次
方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、
一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关
系不解方程得出方程的解的情况呢？尝试：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3（3）没有实数根 答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；你能得出什么结论？ 可以发现b2－4ac的符号决定着方程的解。概括总结，x2=2 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根 当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根 当b2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
（a≠0）的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到
判别式的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0
当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0概念巩固 1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，
所以方程的根的情况是 .2.下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x2=9 B.4x2=3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 -8方程无实数根D3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式
子是（ ）
A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0
C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0D典型例题例1不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）-x2+ x-6=0
（2）x2+4x=2
（3）4x2+1=-3x
（4）x2-2mx+4（m-1）=0解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0
∴该方程有两个相等的实数根（2） 移项，得x2+4x-2=0
∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8）
=16+8=24＞0
∴该方程有两个不相等的实数根典型例题 例1不解方程，判断下列方程根的情况：
（3）4x2+1=-3x
（4）x2-2mx+4（m-1）=0解（3）移项，得4x2+3x+1=0
∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0
∴该方程没有实数根（4）∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=（2m-4）2≥0
∴该方程有两个实数根 典型例题 例2 ：m为任意实数，试说明关于x的方程
x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等
的实数根。解： ∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根 典型例题 例3：m为何值时，关于x的一元二次方程
2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？ 解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9 （1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 ∴m＞（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m=（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时，
方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根练一练 例4：已知关于x的方程
kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数
根，求k的取值范围。解：∵方程有两个不相等的实数根即k＜ ∴（2k+1）2-4k（k+3）＞04k2+4k+1-4k2-12k＞0-8k+1＞0练一练1.不解方程，判断方程根的情况：
（1）x2+3x-1=0;
(2)x2-6x+9=0;
(3)2y2-3y+4=0
(4)x2+5= x练一练2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的
实数根？求这时方程的根。
3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一
元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况
是（ ）
A、没有实数根
B、可能有且仅有一个实数根
C、有两个相等的实数根
D、有两个不相等的实数根。归纳总结一元二次方程的根的情况与系数的关系？ b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的
判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程
的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知
b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值
情况。
