第5章导数及其应用 单元综合测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 第5章导数及其应用 单元综合测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-22 07:45:57 | ||
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文档简介
第5章导数及其应用单元综合测试
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．-4 B．4 C．-6 D．6
2．若函数在处的导数为1，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
3．曲线在处的切线方程为（ ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
4．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则等于（ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．下列函数中，既是奇函数又在R上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的导函数是 ，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点
B．是的极大值点
C．在区间上单调递增
D．在区间上不存在极小值
8．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数，则（ ）
A．有三个零点 B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
11．设函数，曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．在R上单调递增
12．已知函数为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数在处的切线斜率为
C．恒成立 D．若 则
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．写出过点与曲线相切的一条直线的方程：_____________.
14．曲线在处的切线方程是________．
15．已知函数，则不等式的解集为______．
16．对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。）
17.求下列函数的导数．
； ； ．
18..设函数．
（1）求的单调区间与极小值： （2）求在上的值域．
19.已知二次函数，其图象过点，且．
（1）求，的值； （2）设函数，求曲线在处的切线方程．
20.已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由．
21.已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间内有个零点，求实数的范围．
22.已知函数有两个极值点，．
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A【详解】.故选：A.
2．B【详解】解：若函数在处的导数为1，．
则．
故选：B．
3．B【详解】解：因为，所以，所以．
又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．故选：B.
4．A【详解】设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，
由，则，令，解得或（舍去），
故点P的坐标为，故点P到直线的最小值为：.故选：A.
5．C【详解】∵，∴，
∴.故选：C.
6．D【详解】对于A：因为，所以，所以不是奇函数.故A错误；对于B：因为的定义域为，不为R.所以B错误；对于C：.
当，时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故C错误；对于D：的定义域为R. 因为，所以是奇函数.
因为，所以在上单调递增.故D正确.故选：D.
7．B【详解】当时，，而，故；当时，，而，故；
当时，，而，故；所以上递减；上递增，
则、分别是的极小值点、极大值点.故A、C、D错误，B正确.故选：B
8．A【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，即方程在上有解，
即在上有解．令，，则，
可知在上单调递增，在上单调递减，故当时，，由于，，且，所以．故选：A．
9．CD【详解】对A，若，则，故A错误；对B，若，则，故B错误；对C，若，则，故C正确；对D，若，则，故D正确；故选：CD
10．ABC【详解】，，令，解得：或，
时，，单调递减； 时，，单调递增；
时，，单调递减；的极小值为：，
的极大值为：，有三个零点，有两个极值点，A、B正确；
对于C，若点是曲线的对称中心，则有，将函数代入上式验证得：，C正确；对于D，，解得：，
当时，，当时，，切线方程为：或，D错误.故选：ABC.
11．ABD【详解】，，又切线方程为，，解得，，，
，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以在R上单调递增.综上可知，ABD正确，C错误.故选：ABD
12．ABC【详解】因为，则，因为 为偶函数，所以，故A正确.
因为，故 ，故B正确.
当时，记 则 ，故 在 上单调递减，
因此 ，故 对恒成立.由于 是偶函数，
故当 时，也成立，故恒成立，故C正确.
由于，当 时， ，故当 时， 单调递减，故D错误.故选：ABC
13．或(写出其中一条即可)【详解】设切点为，因为，
所以切线方程为，将点代入得，解得或.
当时，切线方程为；当时，切线方程为.故答案为：或
14．【详解】由，得，当时，，，
所以切线方程为，即．故答案为：
15．【详解】由知：，所以是奇函数，又，所以是上的增函数，，故可得令则当时，，此时单调递增.当时，，此时单调递减.又，所以不等式的解为故答案为：
16．【详解】不等式恒成立等价于即，
即，由于为增函数，所以由，得，即恒成立，令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减易得，所以，所以的取值范围是.故答案为：.
17.【答案】答案 ．
答案 ．
答案 ，
．
18.【答案】解：，令，得，
若，则，从而在上单调递减
若，则，从而在上单调递增．
则的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的极小值为．
因为，，且，
所以在上，，．
故在上的值域为．
19.【答案】解：由题意可得，即为，
又，可得，
解方程可得；
函数，
所以，
则曲线在处的切线斜率为，
，故切点为，
则曲线在处的切线方程为，即．
20.【答案】解：1，
令，其中
当即时，在上恒成立，
故在上单调递增；
当即，的两根分别为，，；
当时，在上恒成立，故在上单调递增；
当时，由得或；由得；
故在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减．
2设，则，
依题意，函数恒成立，又由，
进而条件转化为不等式对恒成立，所以是函数的最大值，也是函数的极大值，故，解得．
下面证明当时，满足题意．
，
令可得，令可得
故在上递增，在上递减．
因此，即不等式恒成立．
综上，存在且的取值集合为．
21.【答案】解：，．
函数的图象在点处的切线的方程为．
，，
，解得，．
．
，
．
当时，函数取得最大值，．
对任意有恒成立，所以，．
．
实数的取值范围是．
由可得：，
，
令，解得，．
列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值时，；时，，
要满足函数在区间内有个零点，
则有，解得，则实数的取值范围．
22.【答案】解：，
有两个不等正根，，
，解得；
由已知得，，则，
，
，
，
令，则，，，
则，
是增函数，，
即．
答案第1页，共2页
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．-4 B．4 C．-6 D．6
2．若函数在处的导数为1，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
3．曲线在处的切线方程为（ ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
4．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则等于（ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．下列函数中，既是奇函数又在R上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
7．函数的导函数是 ，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（ ）
A．是的零点
B．是的极大值点
C．在区间上单调递增
D．在区间上不存在极小值
8．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数，则（ ）
A．有三个零点 B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
11．设函数，曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．在R上单调递增
12．已知函数为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数在处的切线斜率为
C．恒成立 D．若 则
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．写出过点与曲线相切的一条直线的方程：_____________.
14．曲线在处的切线方程是________．
15．已知函数，则不等式的解集为______．
16．对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。）
17.求下列函数的导数．
； ； ．
18..设函数．
（1）求的单调区间与极小值： （2）求在上的值域．
19.已知二次函数，其图象过点，且．
（1）求，的值； （2）设函数，求曲线在处的切线方程．
20.已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由．
21.已知函数的图象在点处的切线方程为．
（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数在区间内有个零点，求实数的范围．
22.已知函数有两个极值点，．
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A【详解】.故选：A.
2．B【详解】解：若函数在处的导数为1，．
则．
故选：B．
3．B【详解】解：因为，所以，所以．
又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为．故选：B.
4．A【详解】设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，
由，则，令，解得或（舍去），
故点P的坐标为，故点P到直线的最小值为：.故选：A.
5．C【详解】∵，∴，
∴.故选：C.
6．D【详解】对于A：因为，所以，所以不是奇函数.故A错误；对于B：因为的定义域为，不为R.所以B错误；对于C：.
当，时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故C错误；对于D：的定义域为R. 因为，所以是奇函数.
因为，所以在上单调递增.故D正确.故选：D.
7．B【详解】当时，，而，故；当时，，而，故；
当时，，而，故；所以上递减；上递增，
则、分别是的极小值点、极大值点.故A、C、D错误，B正确.故选：B
8．A【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，即方程在上有解，
即在上有解．令，，则，
可知在上单调递增，在上单调递减，故当时，，由于，，且，所以．故选：A．
9．CD【详解】对A，若，则，故A错误；对B，若，则，故B错误；对C，若，则，故C正确；对D，若，则，故D正确；故选：CD
10．ABC【详解】，，令，解得：或，
时，，单调递减； 时，，单调递增；
时，，单调递减；的极小值为：，
的极大值为：，有三个零点，有两个极值点，A、B正确；
对于C，若点是曲线的对称中心，则有，将函数代入上式验证得：，C正确；对于D，，解得：，
当时，，当时，，切线方程为：或，D错误.故选：ABC.
11．ABD【详解】，，又切线方程为，，解得，，，
，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以在R上单调递增.综上可知，ABD正确，C错误.故选：ABD
12．ABC【详解】因为，则，因为 为偶函数，所以，故A正确.
因为，故 ，故B正确.
当时，记 则 ，故 在 上单调递减，
因此 ，故 对恒成立.由于 是偶函数，
故当 时，也成立，故恒成立，故C正确.
由于，当 时， ，故当 时， 单调递减，故D错误.故选：ABC
13．或(写出其中一条即可)【详解】设切点为，因为，
所以切线方程为，将点代入得，解得或.
当时，切线方程为；当时，切线方程为.故答案为：或
14．【详解】由，得，当时，，，
所以切线方程为，即．故答案为：
15．【详解】由知：，所以是奇函数，又，所以是上的增函数，，故可得令则当时，，此时单调递增.当时，，此时单调递减.又，所以不等式的解为故答案为：
16．【详解】不等式恒成立等价于即，
即，由于为增函数，所以由，得，即恒成立，令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减易得，所以，所以的取值范围是.故答案为：.
17.【答案】答案 ．
答案 ．
答案 ，
．
18.【答案】解：，令，得，
若，则，从而在上单调递减
若，则，从而在上单调递增．
则的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的极小值为．
因为，，且，
所以在上，，．
故在上的值域为．
19.【答案】解：由题意可得，即为，
又，可得，
解方程可得；
函数，
所以，
则曲线在处的切线斜率为，
，故切点为，
则曲线在处的切线方程为，即．
20.【答案】解：1，
令，其中
当即时，在上恒成立，
故在上单调递增；
当即，的两根分别为，，；
当时，在上恒成立，故在上单调递增；
当时，由得或；由得；
故在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时在上单调递增，在上单调递减．
2设，则，
依题意，函数恒成立，又由，
进而条件转化为不等式对恒成立，所以是函数的最大值，也是函数的极大值，故，解得．
下面证明当时，满足题意．
，
令可得，令可得
故在上递增，在上递减．
因此，即不等式恒成立．
综上，存在且的取值集合为．
21.【答案】解：，．
函数的图象在点处的切线的方程为．
，，
，解得，．
．
，
．
当时，函数取得最大值，．
对任意有恒成立，所以，．
．
实数的取值范围是．
由可得：，
，
令，解得，．
列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值时，；时，，
要满足函数在区间内有个零点，
则有，解得，则实数的取值范围．
22.【答案】解：，
有两个不等正根，，
，解得；
由已知得，，则，
，
，
，
令，则，，，
则，
是增函数，，
即．
答案第1页，共2页