福建省莆田市城厢区2023届高三上学期第一学段（期中）考试数学试卷（含答案）

莆田城厢区2022-2023学年度上学期第一学段考试试卷
高三三角函数及恒等变换、立体几何、概率统计、函数与导数
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A＝，则A∩B＝（ ）
A．(0，2] B．(0，2) C．(1，2] D．(0，＋∞)
2．在的展开式中，常数项为（ ）
A．80 B． C．160 D．
3．已知函数在区间上的图像连续不断，则“在区间上有零点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
5．已知，则以下不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，，都是常数，，.若的零点为，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角．如下图是一个正八面体，其每一个面都是边长为2的正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件，则（ ）
A．A与B互斥 B．C与D互斥
C．A与C相互独立 D．B与D一定不相互独立
11．在正方体中，动点在线段上，则下列说法正确的是（ ）
A．∥平面
B．存在点，使得平面平面
C．
D．存在点，直线BE与CD所成角为
12．已知函数的图象既关于点中心对称又关于点中心对称，则（ ）
A．是周期函数
B．是奇函数
C．既没有最大值又没有最小值
D．函数是周期函数
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为_________．
14．写出满足的的一个值：______．
15．A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.
16．定义，若函数，且在区间上的值域为，则的取值范围为_________．
四、解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）
17．在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知，___________，.
（1）求；
（2）求.
18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求函数在R上的解析式；
(2)是存在非负实数a，，使得当时，函数的值域为 若存在，求出所有a，b的值；若不存在，说明理由．
19．近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：
大学 大学 大学 大学
当年毕业人数（千人） 3 4 5 6
自主创业人数（千人） 0.1 0.2 0.4 0.5
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴．
（ⅰ）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；
（ⅱ）若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求的取值范围．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且AD=PD=1，平面PCD⊥平面ABCD，∠PDC=120°，E为线段PC的中点，F是线段AB上的一个动点.
（1）求证:平面DEF⊥平面PBC；
（2）设平面CDE与平面EDF的夹角为θ，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得tan θ=2，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21．已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打.团体赛在比赛之前抽签确定主客队.主队三名选手的一单、二单、三单分别为选手、、，客队三名选手的一单、二单、三单分别为选手、、.比赛规则如下：第一场为双打（对阵）、第二场为单打（对阵）、第三场为单打（对阵）、第四场为单打（对阵）、第五场为单打（对阵）.已知双打比赛中获胜的概率是，单打比赛中、、分别对阵、、时，、、获胜的概率如下表：
选手选手
(1)求主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率；
(2)客队输掉双打比赛后，能否通过临时调整选手为三单、选手为二单使得客队团体赛获胜的概率增大？请说明理由.
22．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
答案
1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．B 7．A 8．D 9．BD
10．BC 11．ACD 12．BCD
13．
14．（答案不唯一，只要满足或，即可）
15．
16．
17．
解（1）∵，∴，，
若选①，由得，；
若选②，则，
∵，∴，则；
若选③，则，
则由得，则，；
∴
（2）∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴.
18．（1）由题意，当时，，则，
因为是定义在R上的奇函数，所以，且，
综上所述，
（2）假设存在这样的a，b符合题意，由题意知，，
由（1）知，当时，，当时，，
所以，即，
故在上单调递减，从而有，解得
故存在符合题意．
19．（1）由题意得，
，
所以
故得关于的线性回归方程为
（2）（ⅰ）将代入,
所以估计该市政府需要给大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为（万元）
（ⅱ）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X,则X的所有可能值为0，1，2
，

∴

,故的取值范围为
20．（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥DC.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴BC⊥平面PCD.
∵DE 平面PCD，
∴BC⊥DE.
∵AD=PD=DC，E为线段PC的中点，
∴PC⊥DE.
又∵PC∩CB=C，
∴DE⊥平面PBC.
又∵DE 平面DEF，
∴平面DEF⊥平面PBC.
（2）由（1）知BC⊥平面PCD，
∵AD∥BC，
∴AD⊥平面PCD.
在平面PCD内过点D作DG⊥DC交PC于点G，
∴AD⊥DG，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵CD=PD=1，∠PDC=120°，
∴PC=，
∵AD⊥平面PCD，则A(1，0，0)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，P.
又E为PC的中点，
∴E，
∴=，
假设在线段AB上存在这样的点F，使得tan θ=2，设F(1，m，0)(0≤m≤1)，则=(1，m，0)，
设平面EDF的法向量为=(x，y，z)，则∴
令y=，则z=-1，x=-m，
则=(-m，，-1).
∵AD⊥平面PCD，
∴平面PCD的一个法向量=(1，0，0)，
∵tan θ=2，∴cos θ=.
∴cos θ=|cos<，>|==，∴m=±.
∵0≤m≤1，
∴m=，
∴=.
21．（1）解：设“主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛”事件为事件A，
则事件A包含“主队3场全胜”和“客队3场全胜”两类事件，
“主队3场全胜”的概率为，
“客队3场全胜”的概率为，
所以，
所以主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率为.
（2）能，理由如下：
设“剩余四场比赛未调整Y、Z出场顺序，客队获胜”为事件M，第二场单打（X对阵A）、第三场单打（Z对阵C）、第四场单打（Y对阵A）、第五场单打（X对阵B）的胜负情况分别为：胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜；
则，
设“剩余四场比赛调整Y、Z出场顺序，客队获胜”为事件N，第二场单打（X对阵A）、第三场单打（Y对阵C）、第四场单打（Z对阵A）、第五场单打（X对阵B）的胜负情况分别为：胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜；
则，
因为，
所以客队调整选手Y为三单、选手Z为二单获胜的概率更大.
22．（1），其中，
若，，此时在上单调递减；
若，由得，
此时在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，，在上单调递减；
，在上单调递减，在上单调递增.
（2）【解法一】
由题意在恒成立，
记，，其中；
，其中；
，
记，
因为，，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增；
若，，不合题意；
若，因为，
所以，
又因为，在在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递减，
所以当时，，不合题意；
若，因为在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，符合题意；
综上实数的取值范围是.
【解法二】
因为，
记，，，
所以在上单调递增，所以，
所以恒成立；
若，，不合题意；
若，由（1）知，在上单调递减，
所以，不合题意；
若，记，，
，
记，
，
所以在上单调递增，所以，
所以，符合题意；
综上实数的取值范围是.