2022-2023学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
设复数，则( )
A. B. C. D.
已知集合，，则( )
A. B. C. D.
下列函数中，在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知球的半径为，球心到平面的距离为，则球被平面截得的截面面积为( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为( )
A. B. C. D.
已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则( )
A. B. C. D.
如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为，则该四棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
已知是边长为的等边三角形，点在线段上，，点在线段上，且与的面积相等，则的值为( )
A. B. C. D.
现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示．下列结论正确的是( )
A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则函数有最小值
C. 若，则函数为增函数 D. 若，则函数存在零点
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
函数的定义域为______．
已知向量，，且，则______．
将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则______；若为偶函数，则的最小值是______．
已知函数，其中若，则函数的值域是______；若函数有且仅有个零点，则的取值范围是______．
已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且给出下列四个结论：
；
；
对任意的，都有；
存在常数，使得对任意的，都有．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知函数
Ⅰ求的最小正周期及值域；
Ⅱ求的单调递增区间．
本小题分
如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，，，分别是，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若侧面是正方形，
(ⅰ)求证：；
(ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
本小题分
在中，，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，并求
Ⅰ的值；
Ⅱ的面积．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
本小题分
已知公差大于的等差数列满足，，为数列的前项和．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ若，，成等比数列，求，的值．
本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若函数在处取得极小值，求的值；
Ⅲ若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围．
本小题分
已知集合，，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集．
Ⅰ若，写出的所有子集；
Ⅱ若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；
Ⅲ若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据复数的基本运算法则进行化简即可．
本题主要考查复数模长的计算，比较基础．
2.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是对数函数，在上单调递增，不符合题意；
对于，，是指数函数，上单调递减，符合题意；
对于，，在区间上为增函数，不符合题意；
对于，，是幂函数，在上递增，不符合题意；
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．
本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：当时，函数在上为增函数，，
当，时，满足，但不成立，
是的充分不必要条件，
故选：．
利用指数函数的单调性，充要条件的定义判定即可．
本题考查了指数函数的单调性，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：球的半径为，球心到平面的距离为，
设截面圆半径为，由球的性质可知：则截面圆的半径，
所以球被平面截得的截面面积为．
故选：．
根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解．
本题考查了球的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，
始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，
，
则，
故选：．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：为定义在上的函数，，且为奇函数，
，
即，
．
故选：．
依题意，可得出，即，代入即可求出的值．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查转化与化归思想及运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：连接，，交点为，如图，
，，则是公共边，
≌，，
由题意得≌，，，
，平面，又平面，
平面平面，
过点作平面，垂足为，连接，
，，
，平面，，，
由，是公共边，≌，
，，，三点在以为直径的圆周上，
，，，
，
，
．
故选：．
先证明，从而可证明平面平面，则顶点的射影在上，从而，则是直角三角形，再求出底面积和高，能求出该四棱锥的体积．
本题考查四棱锥的体积、线面垂直、面面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：分别作、、的高、、，由于与的面积相等，是等边三角形，则，
设的高为，由于，则，，所以，即为中点，于是，
所以，
故选：．
先根据条件得出点的位置，再将用已知向量表示，进行数量积运算即可．
本题考查平面向量的基本运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对：取，满足，此时，
其定义域为，关于原点对称，且，此时为偶函数，故A错误；
对：，令，，故若存在最小值，则有最小值，
因为，故，根据对勾函数的单调性可知，，有最小值，无最大值，
故当时，有最大值没有最小值，故B错误；
对：当，时，满足，又是单调减函数，是单调减函数，
故是单调减函数，故C错误；
对：令，即，则，
因为，故，解得，
故当，即为函数零点，故D正确．
故选：．
根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断．
本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是充分把握函数单调性和奇偶性的判断方法以及函数零点的求解过程，属综合中档题．
11.【答案】，且
【解析】解：要使函数有意义，须有，解得，且，
故函数的定义域为：，且，
故答案为：，且．
要使函数有意义，只需，解此不等式组即可．
本题考查函数定义域的求解，属基础题，若函数为偶次根式，被开放数须大于等于；若函数为分式，分母必不为．
12.【答案】
【解析】解：向量，，且，
，
解得．
故答案为：．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
则．
若为偶函数，则，．
令，可得的最小值为，
故答案为：；．
由题意，利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据三角函数的奇偶性，诱导公式，求得的最小值．
本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：时，，
当时，，当时，，
综上：，即函数的值域是．
，
当时，令，得，
故在上，函数有一个零点，
当时，设，
由题意可知：在上有且仅有一个零点，
所以或，解得或．
所以的取值范围是．
故答案为：；．
由分段函数分别求值域即可；
易知在和时，分别有一个零点，由二次函数的零点分布情况即可求解．
本题考查根据函数零点的个数求参数范围，分段函数的值域，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意知：，，
，，，，
，，
，，
，
随着的增大而增大，，
，
，即，随着的增大而减小，
为正项单调递减无穷数列，且，
，故正确；
，，
，
随着的增大而增大，
，，，
随着的增大而减小，
，，，
，
，，
，
，故正确；
，
要判断，即判断，
即判断，即判断，
而
，
当且仅当时，取等号，对任意的都成立，
对任意的，都有，故正确；
根据以上分析可以得出：
中，，是随着的增大而减小的递减函数，且随着的增大，
的值无限接近于，
存在常数，对任意的，当足够大时，总会有，，故错误．
故答案为：．
首选由题设条件分析出数列与的增减性，根据和随着的增大的变化情况判断；分析，得到，判断是否成立，可建立关于的代数式，通过对数代数式正负的判断，即可判断；将中的题设转化为判断是否成立，由的每一项都大于，而时，，即可判断；根据前面的分析，能判断．
本题考查数列递推关系、等差数列的通项公式、不等式性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ函数，
故它的最小正周期为，它的值域为．
Ⅱ对于，令，，
求得，，
可得函数的增区间为，．
【解析】Ⅰ由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和值域，得出结论．
Ⅱ由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和值域，正弦函数的单调性，属于基础题．
17.【答案】Ⅰ证明：取中点为，连接，，
因为点，分别为，的中点，故，
又点为的中点，且四边形为矩形，
所以，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又面，面，
所以平面；
Ⅱ因为为正方形，所以，
又因为面面，面面，
面，所以面，
又面，所以．
因为，
所以直线与平面所成角与直线与面所成角相等，
因为，，，，面，
所以面；
又因为，面，面，故可得面，
则点到平面的距离即为点到平面的距离，
根据所得，面，又面，故A，
又因为，所以，
则，
在中，，
又点为中点，所以，
在中，，
在中，，
故在中，，
则，
设点到平面的距离为，
由，
则，
即，解得，
设与面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ取中点为，连接，，证明四边形为平行四边形，进而，通过线线平行即可证明线面平行；
Ⅱ通过证明面，即可由线面垂直证明线线垂直；
根据等体积法求得点到平面的距离，再求线面角的正弦值即可．
本题考查了空间中平行关系和垂直关系的证明以及直线与平面所成的角的计算问题，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ选取条件：，，，
在中，由正弦定理得，即，解得，
或，
存在且唯一，条件不符合题意；
选取条件：，，，
在中，由正弦定理得，即，解得，
，则，
，
；
选取条件：，，，则，
，
，
综上所述，；
Ⅱ由Ⅰ得，，，
，
的面积为．
【解析】Ⅰ分别选取、、，利用正弦定理和余弦定理，即可得出答案；
Ⅱ由Ⅰ得，利用三角形面积公式，即可得出答案．
本题考查解三角形和正弦定理、三角形的面积公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
由，，得，
，解得，即，；
Ⅱ由知，，
，，成等比数列，
，
又，且数列是公差大于的等差数列，．
当时，，而，则；
当时，不存在，满足．
故，．
【解析】Ⅰ由已知列方程组求得，的值，进一步求得首项与公差，即可得到通项公式；
Ⅱ由等比数列的性质可得，然后分析的取值求解．
本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，是基础题．
20.【答案】解：Ⅰ由，，
由，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
所以曲线在点处的切线方程；
Ⅱ由函数，所以，此时，，
当时，，所以在区间上单调递增，
设，则，设，则，
所以，当，，所以在区间上单调递增，
又，，故存在使得，
所以当时，，即，
所以在区间上单调递减，故函数在时，取得极小值，所以，
所以的值为；
Ⅲ若时，当时，，所以，
由Ⅱ可知，在区间上单调递增，
所以，所以在区间上恒成立，
此时不存在正实数，使得对任意的都有，
所以当不合题意，
当时，，设，则，
所以当时，，所以在区间上单调递增，
而，，故存在，使得，
所以，当时，，，即在区间上单调递减，
所以，当时，，
所以符合题意，
综上所述，的取值范围为．
【解析】Ⅰ求导，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线方程；
Ⅱ由Ⅰ可知，，即，当时，根据导数与函数单调性，极值的关系，即可求得当时，在处取得极小值；
Ⅲ分与，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的取值范围．
本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值最值的关系，考查导数与三角函数的应用，考查函数思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于难题．
21.【答案】解：当时，，
则当时，，时，，满足条件，即，
故A的所有子集有，；
当时，取，，是的子集，此时，
若，设，，，且，
根据题意，，，，
，，，，
，，
，
，
，
，与矛盾，
综上，．
设，，，，，
，，，，，，，，，
设的元素个数为，
若不是的的子集，
则最多能包含，，，，中的一外元素以及，，，中的元素，
令，验证不是的子集，
当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的的子集，
的任意一个元素个数为的子集都是的子集，则，
当时，存在，使得中必有两个元素属于，
同时中两个元素之和为的某个正整数指数幂，
是的子集，的最小值为．
【解析】根据子集的定义的定义，即可容易求得．
取，求得，再利用反证法假设，推得与矛盾即可；
令，讨论时不满足题意，再验证时的情况满足题意，即可求得的最小值．
本题考查集合新定义，处理问题的关键是充分把握题中对子集的定义、同时要熟练元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
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