人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.1 《平面向量的概念》教学设计

《平面向量的概念》教学设计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.向量的实际背景与概念 学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新 数学抽象直观想象逻辑推理数学运算 【考查内容】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；3.会区分平行向量、相等向量和共线向量；4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；5.不单独考查，主要考查与其他知识关联的综合命题.【考查题型】以填空题、选择题为主
2.向量的几何表示 数学抽象直观想象数学运算逻辑推理
3.相等向量与共线向量 数学抽象直观想象数学运算逻辑推理
一、本节内容分析
本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量.本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念.向量有着丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景.向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念.向量集数与形于一身，是数形结合的重要体现.
本节是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用.本节课重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题、解决问题的能力.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.向量的实际背景与概念2.向量的几何表示3.相等向量与共线向量 直观想象 数学抽象逻辑推理 数学运算 核心素养
二、学情整体分析
从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性.还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数的学习中已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备.
从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此从物理背景中抽象并概括岀向量的概念不是太难.学生在学习本节课内容过程中，主要理解向量的概念和向量的表示方法，学生可能会对向量的几何表示方法（有向线段）与平面向量混淆，因此在教学中应该对学生进行引导性的提问，让学生理解它们的区别.
学情补充_____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.向量的实际背景与概念
2.向量的几何表示
3.相等向量与共线向量
【教学目标设计】
1.通过对位移、力等实例的分析，抽象概括出平面向量的概念
2.理解平面向量的几何意义及几何表示
3.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念，并会区分平行向量与相等向量
【教学策略设计】
在学习向量概念之前，学生已经学习了物理中矢量的概念，通过对原有知识框架的整合，达到学习新概念的目的，自觉进行向量概念的知识架构，有利于学生对数学知识意义的理解、数学能力的提高、数学素质的养成
向量是一个抽象出来的概念，因此要通过具体的实际背景,如位移等具体的概念引入，再进一步得出向量的概念.只有当学生形成了一定的感性认识之后，才可能形成抽象的概念，达到具体与抽象相结合的目标
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法，还有__________________________________________
【教学重点难点】
重点 向量的概念及向量的表示方法
难点 向量的概念和平行向量、相等向量与共线向量的区别
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、_________________________________________
2.其他材料_____________________________________________________________
四、教学活动设计（课时建议:1课时）
教学导入
师:一辆摩托车在公路向东快速行驶了一段距离，产生了一段位移，距离和位移一样吗？
生:摩托车行驶的路线实际上是有方向、有长短的量，距离和位移不一样，位移既有大小，又有方向，距离只有大小.
师:质量、力、速度这三个物理量有什么区别？
生:质量只有大小，力、速度既有大小，又有方向.
师:我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量.本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示方法，通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征.
探究1 向量的实际背景与概念
师:本章引言中，小船位移的大小是两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向.又如图（1），物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；如图（2），物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大
【情景设置】
探究向量的实际背景与概念
【以学定教】
通过物理中的量引入向量概念，让学生明白向量是生活中实际存在的，是从实际背景中抽象出来的一个概念，明确向量本质，体会数学抽象的思想，提高学生的解决问题、分析问题的能力.
师:力、位移、速度等有各自的特性，它们的共同属性是什么？
生:共同属性是既有大小又有方向
师:我们知道，从一支笔、一棵树、一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象，形成一种新的量——向量
【要点知识】
向量与数量
在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量（在物理学中称为矢量）.而把只有大小没有方向的量叫做数量（在物理学中称为标量）.
师:数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小
【巩固练习】
向量的判断
下列量中不是向量的有哪些？
（1）质量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度
（6）面积（7）年龄（8）身高
生:（1）（6）（7）（8）
【自主学习】
通过巩固练习，学生对向量进行判断，进一步巩固向量的概念
探究2 向量的几何表示
问题1:由于实数与数轴上的点一一对应，数量可用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？
【学生分组交流，教师点拨】
师:我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B加上箭头表示小船行驶的方向，于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移，受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向
【要点知识】
有向线段
通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段
【概括理解能力】
通过探究，引入有向线段的概念，为引出向量的表示做铺垫，提高学生理解、概括问题的能力
师:如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作
师:一条有向线段由哪几个基本要素所确定？
生:三个要素:起点、方向、长度
师:向量可以用有向线段表示，那么向量的几何表示是什么？
【要点知识】
向量的几何表示
画图时，我们用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向
师:有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向，用有向线段表示向量，向量便有了直观形象.那么向量的代数表示是什么呢？
【要点知识】
向量的代数表示
一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如.若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母（书写时用）表示
【深度学习】
通过分析，引出向量的概念后，通过思考，进一步理解向量的表示，让学生深度学习研究向量有关问题时，要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究向量的重要方法
师:向量的位置与起点有关吗？
生:用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置，向量的位置与起点无关
师:有向线段与向量的区别是什么？
生:有向线段有三要素:起点、大小、方向，可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向
师:向量的大小怎么表示呢？
【要点知识】
向量的模
向量的大小，称为向量的长度（或模），记作.
师:向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
生:可以为0，1，不能为负数
师:什么是零向量和单位向量？
【要点知识】
零向量和单位向量
零向量:长度为0的向量，记做0
单位向量:长度等于1个单位长度的向量
【意义学习】
通过问题引入思考，引出特殊的向量:零向量和单位向量，增强对概念的理解，提高学生分析问题的能力
师:有两点需要注意:（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量的方向视具体而定
（2）向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的
师:下面我们根据所学进行解决问题
【典型例题】
向量的几何表示
例1 在图中，分别用向量表示地至两地的位移，并根据图中的比例尺，求出地至两地的实际距离（精确到1km）
【简单问题解决能力】
本题是实际应用问题，要求画出有向线段表示位移，目的在于巩固向量概念和几何表示
【学生思考、独立完成题目，教师巡视，给予肯定】
生解:表示地至地的位移，且≈_____________；表示地至地的位移，且≈_____________
≈96km（线段长度×8000000100000）；
≈160km（线段长度×800000100000）
探究3 相等向量与共线向量
问题2:向量由其模和方向所确定，对于两个向量，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？
【学生分组谈论，选一位代表总结发言】
生:模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同
师:根据向量的模和方向的不同，我们学习下面的特殊向量.
【要点知识】
平行向量（共线向量）
1.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，用有向线段表示的向量a与b是两个平行的量，向量a与b平行，记作a∥b
2.我们规定:零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.
【情境学习】
通过问题情境对向量的模和方向的不同情况的思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力，使学生明确向量的核心还是方向和长度
师:综合1和2才是平行向量的完整定义；向量平行，记作a∥b∥c.
师:思考一下是否若a∥b，b∥c，则a∥c？
生:若b=0时，则a∥c不成立
师:什么情况下a∥c成立呢？
【要点知识】
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如图，用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b.
【以学定教】
通过辨析让学生进一步理解共线向量、相等向量的区别与联系，加深对概念的理解，体现以学定教的策略
师:（1）向量a与b相等，记作a=b；（2）零向量与零向量相等，但是两个单位向量不定相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关
师:通过学习平行向量和共线向量，我们找出它们的关系是什么？
生:平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上
（与有向线段的起点无关）
师:（1）平行向量可以在同一条直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一条直线上的线段的位置关系
【要点知识】
共线向量与平行向量的关系
平行向量就是共线向量.
师:下面我们巩固练习
【巩固练面向量几何意义的理解与应用
填空:
（1）平行向量是否一定方向相同？ （ ）
（2）不相等的向量是否一定不平行？ （ ）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （ ）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （ ）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （ ）
（6）两个非零向量相等的条件是什么？ （ ）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？ （ ）
【推测解释能力】
零向量一直是向量概念中最易忽视的知识点，解题时往往成为判断命题的关键所在；而对平行向量的理解要注意与直线的平行区别开，通过做题加深推测解释能力
生:（1）不一定;（2）不一定;（3）零向量;（4）零向量;（5）平行向量;（6）长度相等且方向相同;（7）不一定
师:下面我们看一个例题
【典型例题】
平行向量与相等向量的应用
例2 如图，设是正六边形的中心
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与向量相等的向量
【简单问题解决能力】
借助图形研究向量间的特殊关系，进一步巩固所学向量的有关知识，理解共线向量的概念和满足相等向量的条件，提高学生简单问题解决的能力
生解:（1）是共线向量；是共线向量; 是共线向量
（2）；；
师:学完本节课的知识，我们进行一下巩固练习吧！
【巩固练面向量概念的应用
如图所示，4×3的矩形（每个小方格都是单位正方形），在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问
（1）与相等的向量共有几个？
（2）与方向相同且模为的向量共有几个？
【分析计算能力】
通过进行课堂巩固练习，学生理解和掌握共线向量、相等向量的定义，向量的模的概念，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识，提升学生的分析计算能力
【教师提示思路，学生独立做题，教师进行个别指导，并出示正确解答】
师:根据共线向量和相等向量的定义以及模的计算和正方形的对角线即可解题.
【巩固练面向量概念的应用
解:由题意可知，因为每个小方格都是单位正方形所以每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，则
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与相等的向量共有5个，如图（1）
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图（2）
【少教精教】
通过教师提供思路，学生独立做题，在少教精教的过程中使学生理解平面向量的概念，并灵活应用
师:这节课我们学到哪些知识？请同学们总结一下
【学生总结，教师补充】
【课堂小结】
平面向量的概念
1.向量的概念
2.向量的几何表示:代数表示、几何表示
3.研究向量的两个方面（相等向量与共线向量）
大小:零向量、单位向量
方向:共线向量、平行向量
大小与方向:相等向量、相反向量
4.数学思想方法:数形结合、分类讨论（注意对0的讨论）
【课后作业】教材P4练习题第1~4题
教学评价
节课是“平面向量及其应用”的起始课，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，因此在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情镜，使学生明白研究向量不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望.最后又通过物理问题如何用数学的方式加以解决，为学生理解向量的数量积以及向量在实际问题中的应用埋下伏笔.
应用所学知识，完成下面各题
1.下列判断中，正确的是
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线
A.①②③ B.②③④ C.①②⑤ D.①③⑤
解析：由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③，⑤正确，④不正确.答案D
2.以下说法正确的是
A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.零向量没有方向
C.共线向量又叫平行向量
D.若a和b都是单位向量，则a=b
解析：只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误；零向量的方向是任意的，B错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；若a，b都是单位向量，两向量的方向不定，D错误.答案C
3.如图，是正三角形的中心，四边形和四边形均为平行四边形，则（1）与向量相等的向量为___________；（2）与向量共线的向量为_________________；（3）与向量的模相等的向量为__________________（填图中所画出的向量）
解析：∵是正三角形的中心∴，∴四边形和四边形均为菱形，与相等的向量为；与共线的向量为；与的模相等的向量为
答案：（1）（2）（3）
【推测解释能力】
通过练习巩固本节所学知识，提高对零向量和单位向量的概念的运用能力感悟其中蕴含的数学思想增强学生的应用意识，提升推测解释能力
4.在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量
（1），使，点在点北偏东45°；
（2），使，点在点正东；
（3），使，点在点北偏东30°
解析：利用方向角和向量的概念综合解题
（1）由于点在点北偏东45°处，所以在坐标纸上点距点的横向小方格数与纵向小方格数相等.又，小方格边长为1，所以点距点的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点位置可以确定，画出向量如下图所
（2）由于点在点正东方向处，且，所以在坐标纸上点距点的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点的位置可以确定，画出向量如下图所示
（3）由于点在点北偏东30°处，且，依据勾股定理可得，在坐标纸上点距点的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点位置可以确定，画出向量如下图所示
【观察记忆能力】
借助图形研究向量间的特殊关系，让学生由线段间的关系自然过渡到向量间的关系的研究上来，使得关系的探究过程更加顺畅，提升学生的直观想象核心素养，锻炼观察记忆能力
【以学定教】
本节课是对新概念的学习，采用讲解法有利于保持知识的科学性和系统性，注意把握向量的物理意义和它的实际背景，有助于学生认同新概念的合理性，便于加深学生对向量内涵的理解，提高学生的抽象概括能力
教学反思
教师应根据本班的实际情况灵活安排教学步骤，切实把关注学生的发展放在首位来考虑，并依此制定合理而科学的教学计划，设置层层递进的问题教学可以降低知识难度，易于学生理解和接受，利用数形结合的教学方式进行授课.教学中我们关注了以下两个方面:（1）通过平面向量的概念形成，让学生体会平面向量具有集形与数于一身的特征；（2）引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完善概念.使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养了学生的创新意识.不足之处是学生的动手实践能力较差，需要教师引导和点拨.
【以学论教】
我们通过问题教学法引出本节的学习，建立了向量概念的理论体系，用向量的语言与方法解决现实生活中的数学和物理问题.课题教学效果较好，根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处，不足之处及改进方法.
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