人教A版（2019）高中数学必修第二册 6.1平面向量的概念 导学案（含答案）

6.1 平面向量的概念
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
1．(1)向量：既有 ，又有 的量叫做向量．
(2)数量：只有 ，没有 的量称为数量．
2．向量的几何表示
(1) 的线段叫做有向线段．它包含三个要素： 、 、 ．
(2)向量可以用 表示．向量的大小，也就是向量 的 (或称 )，记作 ．向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，.
3.向量的有关概念
零向量 长度为 的向量，记作
单位向量 长度等于 个单位的向量
平行向量 (共线向量) 方向 的非零向量 向量a、b平行，记作 规定： 与任一向量平行
相等向量 长度 且方向 的向量 向量a与b相等，记作
一、探索新知
（一）向量的实际背景与概念
1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？
2.（1）向量与数量的定义：
既有 ，又有 的量叫做向量(物理学中称为矢量);
只有 ，没有 的量叫做数量(物理学中称为标量).
注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.
练习1：下列量不是向量的是（ ）
质量 （2） 速度 （3） 位移 （4）力 （5）加速度
（6）面积 （7）年龄 （8） 身高
（二）向量的几何表示
探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？
1.有向线段的定义
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有 的线段叫做有向线段.
如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作 .
线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 .
思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？
向量的几何表示
画图时，我们常用有向线段来表示向量 ，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.
向量的表示方法：
一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。
若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示）.
注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置. 数学中的向量也叫自由向量.
（2）.有向线段与向量的区别：
有向线段：三要素：起点、大小、方向。
向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。
4.向量的模
向量的大小，就是向量的长度（或模），记作 或记作 。
思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？
5.零向量：长度为0的向量，记作.
单位向量：长度等于1个单位的向量.
说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向.
故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.
（2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.
例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）
（三）.相等向量与共线向量
思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量 ，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？
1.平行向量定义：[来源: XK]
①方向 或 的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量 .
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
2.相等向量定义：
长度 且方向 的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
3.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
练习2;
填空：
（1）平行向量是否一定方向相同？（ ）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（ ）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（ ）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（ ）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（ ）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（ ）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（ ）
例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与向量、、相等的向量.
1．下列说法中正确的个数是(　　)
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是(　　)
A．e1＝e2 B．e1∥e2 C．|e1|＝|e2| D．以上都不对
3.（多选题）在下列判断中，正确的是(　　)
A.长度为0的向量都是零向量；
B.零向量的方向都是相同的；
C.单位向量的长度都相等；
D.单位向量都是同方向；
E.任意向量与零向量都共线．
4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．
5.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量相等的向量．
这节课你的收获是什么？
参考答案：
（一）1.不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。
2.练习：（1）（6） （7） （8）
（二）1.思考：三个要素：起点、方向、长度.
4.可以为0,1，不能为负数。
例1.
（三）思考：模相等，方向相同； 模相等，方向不相同；
模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同；
牛刀小试：（1）不一定 （2）不一定 (3零向量
（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同
（7）不一定
例2，
达标检测
1.【解析】　只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．
【答案】　B
2.【解析】　单位向量的模都等于1个单位，故C正确．
【答案】　C
3.【解析】　由定义知A正确，B由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然C、E正确，D不正确，故选ACE．
【答案】　A、C、E
4.【解析】　由向量的相关概念可知④⑥正确．
【答案】　④⑥
5.【解】　由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
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