《平面向量的概念》学考通关练
一、选择题
1.如图，在⊙O中，向量是（ ）
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
2.若a为任一非零向量，b是模为1的向量，给出下列式子：
①；②；③；④.
其中正确的是（ ）
A.①④
B.③
C.①②③
D.②③
3.给出下列四个命题：
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则。
其中正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.下列说法正确的是（ ）
A.方向相同或相反的向量是平行向量
B.单位向量的长度是1
C.长度相等的向量叫作相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
二、填空题
5.给出下列命题：
①若；②若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤若向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上。
其中不正确的有________。（填序号）
6.若把同一平面内所有模不小于2且不大于4的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形是________。
三、解答题
7.如图，△ABC的三边均不相等，分别是边的中点。
（1）写出与共线的向量（自身除外）；
（2）写出与的模相等的向量（自身除外）。
参考答案
1.
答案：C
解析：均等于⊙O的半径，大小相等。
2.
答案：B
解析：题中只指明了b的模的大小，而没有指明a的模的大小，因此①错误；题中没有说明的方向，故不能判断两向量是否平行，因此②错误；向量的模是一个长度，其值大于或等于0，已知a为非零向量，故，③正确；④，故④错误。
3.
答案：A
解析：由向量相等的概念可知①②错误，由向量共线的概念可知③错误。若两个向量的模不相等，则这两个向量一定不相等，故④正确。
4.
答案：B
解析：方向相同或相反的非零向量才是平行向量，所以A不正确；长度相等且方向相同的向量叫作相等向量，所以C不正确；共线向量也叫平行向量，它们不一定在同一条直线上，也可能在平行直线上，所以D不正确；单位向量的长度为1，所以B正确，故选B。
5.
答案：②④⑤
解析：①中，因为，所以a与b方向相同，且，此命题正确。②中，若a或b为零向量，满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，此命题错误。③中，由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，此命题正确。④由共线向量的定义知，若两个向量仅有相同的终点，它们不一定共线，此命题错误。⑤中，共线向量是方向相同或相反的非零向量，若方是共线向量，则四点不一定在一条直线上，此命题错误。故不正确的命题为②④⑤。
6.
答案：以O为圆心，2，4分别为半径的两圆夹成的圆环（包括边界）
解析：向量可以平移，由题意，符合条件的向量的模，故将起点平移到同一点后，终点所在的区域是一个圆环及其内部。
7.
答案：见解析
解析：（1）与共线的向量有球，（自身除外）。
（2）与的模相等的向量有：（自身除外）。
1 / 4《平面向量的概念》随堂检测
1.（2019·甘肃武威十八中期末）在下列结论中,正确的为 ( )
A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同
B.向量与向量的长度相等
C.向量就是有向线段
D.零向量是没有方向的
2.（2019·河南南阳一中月考）下列说法正确的是（）
A.若,则,的长度相等且方向相同或相反
B.若向量,满足且与同向,则
C.若,则与可能是共线向量
D.若非零向量与平行,则A,B,C,D四点共线
3.有下列四个命题：
①两个方向相反的两个向量模相等；②若向量与是共线向量,则点A,B,C必在同一条直线上；③若,则或.
其中正确结论的个数是 ( )
A.0 B.3 C.2 D.1
4.如图所示,在正中,D,E,F分别为AC,AB,BC的中点,则以下向量和相等的是 ( )
A. B. C. D.
5.给出下列命题：①零向量的长度为0,方向是任意的；②若,都是单位向量,则；③向量与相等.其中正确命题的序号是 ( )
A. ① B.③ C.①③ D.①②
答案解析
1. 解析：对于A选项,单位向量的方向是任意的,所以当起点相同时,终点在以起点为圆心的单位圆上,终点不定相同,所以该选项不正确；对于B选项,向量与向量的方向相反,长度相等,所以该选项正确；对于C选项,向量是既有大小,又有方向的,可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线段,所以该选项不正确；对于D选项,规定零向量的方向是任意的,而不是没有方向,所以该选项不正确.
答案：B
2. 解析：对于A选项,模相等的向量,方向不一定相同或者相反,故该选项错误；对于B选项,向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小,故该选项错误；对于C选项,不相等的向量可能共线,故该选项正确；对于D选项,平行向量对应的四点不一定是共线的,故该选项错误.
答案：C
3. 解析：方向相反,模相等的两个向量是相反向量,故①正确；因为向量与共线且共点,所以一定共线,故②正确；向量有方向,模相等时,向量方向不一定相同,故③错误.
答案：C
4. 解析：与向量的方向不同,与向量不相等.
向量与方向相同,长度相等,.
答案：D
5. 解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误；向量与长度相同,方向相反,故③错误.
答案：A
3 / 3《平面向量的概念》链接高考
1.设,是非零向量,则“”是成立的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.给出下列三个命题
①若,则；②若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若,,则其中正确命题的序号是 ( )
A.②③
B.①②
C.③④
D.①②③
3.（2019·江西玉山一中高一期中）下列命题中,正确的是 ( )
A.有相同起点的两个非零向量不共线
B.的充要条件是且
C.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
D.向量与不共线,则与都是非零向量
4.如图,某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈,他可按图中提供的向量行走,则将这些向量按顺序排列为______________.
答案解析
1. 解析：依题意,是非零向量,表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量.当时,,的方向和大小相同,所以.当时,,的方向相同,但不一定有.所以“”是“”成立的充分不必要条件.
答案：B
2.解析： ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确,,且,又A,B,C,D是不共线的四点, 四边形ABCD为平行四边形；反之,若四边形ABCD为平行四边形,则且,方向相同,因此；③正确. ,,的长度相等且方向相同,又,的长度相等且方向相同,,的长度相等且方向相同,故；综上所述,正确命题的序号是②③.
答案：A
3. 解析：对于A,有相同起点的两个非零向量可能共线,A错误；对于B,“”的充要条件是“且a,b方向相同”,故B错误；对于C,若,则a与c不一定共线,故C错误；对于D,若a与b中有一个是零向量,则a与b共线,故D正确.
答案：D
4. 解析：若按的方向行走,由于相等向量的长度和方向相同,则与此5个向量相等的向量依次为a,e,d,c,b.若按的方向行走,与图中提供的向量方向不同,不合题意.所以正确的排列顺序为a,e,d,c,b.
答案：a,e,d,c,b
1 / 2《平面向量的概念》高考达标练
一、选择题
1.（2019·常德模块统考）下列说法中正确的个数是（ ）
①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量。
A.0
B.1
C.2
D.3
2.（2019·安康高一调考）下列结论中，正确的是（ ）
A.2010cm长的有向线段不可能表示单位向量
B.若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得是单位向量
C.方向为北偏西50°的向量与方向为南偏东50°的向量不可能是共线向量
D.一个人从A点向东走500m到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
3.（2019·湛江高一调研）如图，在四边形ABCD中，O为两条对角线的交点，，则必有（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2019·大同高一期末）设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（原创）设为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则；②若a与平行，则；③若a与平行且，则。上述命题中，假命题的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题
6.（2019·长沙高一期末）如图，已知B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出_______个互不相等的非零向量。
7.（2019·九江高一调考）把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于_______。
8.（2019·启东模块统考）如图，分别为△ABC的边的中点，则与向量共线的向量有_______。（写出图中所有符合条件的向量，除外）
9.（2019·六安高一统考）如图，设O是正方形ABCD的中心，则①；②；③与共线；④。其中，所有正确结论的序号为________。
三、解答题
10.（2019·鹿泉一中单元测评）已知直线，点是直线l上的两点。
（1）若为零向量，求的值
（2）若为单位向量，求的值。
11.（2019·大理一中单元检测）如图，平行四边形ABCD中，O是两对角线的交点，设点集，向量集合，试求集合T中元素的个数。
参考答案
1.
答案：B
解析：身高只有大小，没有方向，故不是向量，①错误；同理③中温度不是向量，③错误；对于②，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量，②错误；④中加速度是向量，④正确。故选B。
2.
答案：B
解析：当单位长度取作2010cm时，2010cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；B正确；C中两向量为共线向量：D中表示这个人从A点到B点的位移。
3.
答案：D
解析：四边形ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，。
4.
答案：C
解析：因为是单位向量，所以，所以。故选C。
5.
答案：D
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与平行，则a与的方向相同或相反，反向时，故②③也是假命题。综上所述，假命题的个数是3。
6.
答案：6
解析：设线段AD的长度为3，则长度为1的向量有，共2个互不相等的非零向量；长度为2的向量有，共2个互不相等的非零向量；长度为3的向量有，共2个互不相等的向量。综上可知，最多可以写出6个互不相等的非零向量。
7.
答案：
解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为。
8.
答案：
解析：分别为△ABC的边AB，AC的中点，
符合条件的向量为。
9.
答案：①②③
解析：正方形的对角线互相平分，则，①正确；与的方向相同，所以，②正确；的方向相反，所以方共线，③正确；尽管，然而与的方向不相同，所以，④不正确。
10.
答案：见解析
解析：（1）当为零向量时，点B与点A重合，此时。
（2）当为单位向量时，，即两点间的距离为1，
所以，即，
将代入，得，
所以或。
11.
答案：见解析
解析：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即。由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即。又集合中元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个。
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