人教B版（2019）必修第四册《11.1.3 多面体与棱柱》同步练习（含解析）

人教B版（2019）必修第四册《11.1.3 多面体与棱柱》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面
B. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若，则的夹角是钝角
3.（5分）下列四个命题中，正确的是
A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
4.（5分）在底面为等边三角形的三棱柱中，已知平面，，，是棱的中点，是四边形内的动点．若平面，则线段长的最小值为
A. B. C. D.
5.（5分）若直线与直线平行，则它们之间的距离为
A. B. C. D.
6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为
A. B. C. D.
7.（5分）不论为何值，直线恒过定点
A. B.
C. D.
8.（5分）在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知空间中三点，，，则
A. 与是共线向量
B. 的一个方向向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
10.（5分）已知直线：，：，则下列结论正确的有
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，在轴上的截距相等，则
D. 的倾斜角不可能是倾斜角的倍
11.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值
12.（5分）已知直线：，，，则下列结论正确的是
A. 直线恒过定点 B. 当时，直线的倾斜角为
C. 当时，直线的斜率不存在 D. 当时，直线与直线垂直
13.（5分）如图，在直三棱柱中，，，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有
A. 平面 B. 平面
C. 存在点，满足 D. 的最小值为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在空间直角坐标系中，点到轴的距离为 ______.
15.（5分）已知，则的最大值是 ．
16.（5分）如图，夹角为的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则的长为 ______.
17.（5分）平面的一个法向量，平面的一个法向量，则平面、平面夹角的余弦值是 ______.
18.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）求出满足下列条件的直线方程．
经过点且与直线垂直；
经过点且在两条坐标轴上的截距相等．
20.（12分）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，
求证：；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
21.（12分）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且
求直线与的交点坐标；
已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求的方程.
22.（12分）已知矩形，，，设是边上的点，且，现将沿者直线翻折至
当为何值吋，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值；
设二面角的大小为，求的最大值．
23.（12分）如图，在四棱锥中，，且

当时，证明：平面平面；
当四棱锥的体积为，且二面角为钝角时，求直线与平面所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：直线的斜率为，设它的倾斜角为，
则，它的倾斜角为，
故选：
由直线的方程求出斜率，可得它的倾斜角．
此题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：对于：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故错误；
对于：根据空间向量的基本定理，，
由选项可知，、、一定共面，则不能构成基底，故错误；
对于：根据空间向量的基本定理有，
，则，
又，
，，，四点共面，故正确；
对于：，，且，，
当，时，，故错误，
故选：
根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案．
此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误；
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确；
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误；
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误．
故选：
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
4.【答案】D;
【解析】解：取、的中点、，连接，，，如图，

、分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
同理可得：平面，
，
平面平面，
平面，
平面，即平面，
是四边形内的动点，
，
过点，作，此时值最小，
，，

故选：
取、的中点、，连接，，，证得平面平面，则平面，在上，则线段长的最小值为到的垂线的距离．
此题主要考查点到直线的距离，是中档题．
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查直线平行的判断以及平行线间的距离计算，关键是求出的值，属于基础题．
根据题意，由直线平行的判断方法可得的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案．

解：根据题意，直线与直线平行，
则有，，
则两直线的方程为与直线，
则它们之间的距离，
故选：
6.【答案】B;
【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为，
又为直线外一点，且直线过点，，
，，
点到直线的距离为
故选：
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
7.【答案】D;
【解析】解：因为直线方程为，
所以，
令，且，
得，且，
所以直线恒过定点
故选：
把直线方程化为，令，且，求出直线所过的定点坐标．
此题主要考查了直线恒过定点的应用问题，是基础题．
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题.
解：如图所示：

取的中点，连接，
，分别是，的中点，
，，且，
又，，为与所成的角或其补角
，，，为等腰直角三角形，
，即与所成的角为
9.【答案】BCD;
【解析】解：空间中三点，，，
对于，，，，与不是共线向量，故错误；
对于，，则直线的一个方向向量是，故正确；
对于，，则，，故正确；
对于，由选项知，向量，不共线，令，
则，，，
是平面的一个法向量，故正确．
故选：
根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算，能求出结果．
此题主要考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AB;
【解析】解：对于，，
，解得，故正确，
对于，，
，解得，故正确，
对于，直线：在轴上的截距为，
直线：在轴上的截距为，
若，在轴上的截距相等，则，故错误，
对于，当时，直线的斜率不存在，即倾斜角为，
直线：的倾斜角为，故错误．
故选：
对于，结合两直线平行的性质，即可求解，对于，结合两直线垂直的性质，即可求解，对于，分别求出两直线的截距，即可求解，对于，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
此题主要考查两直线平行、垂直的性质，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
11.【答案】ABC;
【解析】解：对于，在正方体中，
直线，平面，平面，所以直线平面，
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确；
对于，由于，而为定值，
在正方体中，
，平面，平面，所以平面，
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故正确；
对于，在正方体中，，，，
所以平面，而平面，所以，
故这两条异面直线所成的角为，故正确；
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变，
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定，
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误．
故选：
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解．
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．
12.【答案】BD;
【解析】解：直线：，令，解得，可得直线恒过定点，因此不正确；
B.当时，设直线的倾斜角为，则，，因此正确；
C.当时，直线的方程化为：，其斜率，因此不正确；
D.当时，直线：，由，，可得，，直线与直线垂直，因此正确．
故选：
A.直线：，令，解得直线恒过定点即可判断出正误；
B.当时，设直线的倾斜角为，可得，解得即可判断出正误；
C.当时，直线的方程化为：，可得斜率存在，即可判断出正误；
D.当时，直线：，可得由，，可得，进而判断出直线与直线是否垂直．
此题主要考查了直线经过定点问题、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】AD;
【解析】解：对于，连接，，，分别是棱，，的中点，且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面在平面内，所以平面，故正确；
对于，易知，所以，，，四点共面，又点，所以，，，四点共面，平面，
而平面，直线平面，故不正确；
对于，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
，
若，则，
在线段延长线上，而不在线段上，故不正确；
对于，把图的正面和上底面展开如图所示，连接即为所求，

过做垂直于且与其相交于，与相交于，易得，
，
在中，，，故正确．
故选：
对于，在平面找一条直线，使其与平行即可；
对于，先由证明，，，四点共面，再证，，，四点共面，进而能判断直线与平面的位置关系；
对于，以为正交基底，建立空间直角坐标系，用坐标运算即可；
对于，把三棱锥的正面和上底面展开，即能找到的最小值，构造直角三角形求解即可．
此题主要考查了立体几何的综合运用，属于中档题．
14.【答案】;
【解析】解：根据题意，设在平面上的射影为，过点作轴，交轴与点，
则有轴，就是点到轴的距离，
点，则，，
则；
故答案为：
根据题意，设在平面上的射影为，过点作轴，交轴与点，分析可得就是点到轴的距离，计算可得答案．
此题主要考查空间点的坐标，涉及空间点到直线的距离，属于基础题．
15.【答案】 ;
【解析】
试题分析

的几何意义可以看做点到点和点距离之差的最大值而
所以
考点：函数的最值 两点的距离公式
点评：本题的关键是根据函数的几何意义将代数问题转化成几何问题属中档题．
16.【答案】;
【解析】解：因为，，所以，
因为二面角为，所以，即，
所以

，
所以，即的长为
故答案为：
根据式子即可求出的长．
此题主要考查空间向量的应用，空间中的距离的求解等知识，属于中等题．
17.【答案】;
【解析】解：平面的一个法向量，平面的一个法向量，
，
设平面与平面夹角为，
，
故答案为：
根据向量与的坐标，分别算出的模和与的数量积，然后用向量的夹角公式算出它们夹角的余弦值，再根据两个平面所成角与它们法向量夹角之间的关系即可求解．
此题主要考查了二面角的计算，属于中档题．
18.【答案】;
【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为，
设点关于：的对称点为，
则，解得，即点的坐标为，
由对称性可知，，
所以的周长为，
即的周长的最小值为
故答案为：
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解．
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）与直线x+2y-3=0垂直的直线可设为2x-y+m=0，
把A（-1，2）代入，可得-2-2+m=0，解得m=4，
故所求直线方程为2x-y+4=0．
（2）①当直线过原点时，直线方程为y=x，
②当直线不过原点时，设直线的方程为，
把B（2，2）代入，得，解得a=4，
此时直线方程为x+y=4，
综上所述，所求直线方程为x-y=0或x+y-4=0．;
【解析】
根据直线垂直的性质，先设出所求直线，再将点代入所设直线，即可求解．
根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解．
此题主要考查直线方程的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．
20.【答案】解：（1）证明：∵平面PAC⊥底面ABCD，且平面PAC∩底面ABCD=AC，
又AD⊥AC，AD 底面ABCD，
∴AD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
∴PC⊥AD；
（2）如图，连接BD交AC于点F，则F为BD的中点，取PD中点为E，再连接EF，
则BP∥EF，又BP 平面ACE，EF 平面ACE，
∴BP∥平面ACE，
故存在PD的中点E，使得BP∥平面ACE．;
【解析】
根据面面垂直的性质定理，线面垂直的性质即可证明；
连接交于点，则为的中点，取中点为，再连接，则，从而看证得平面
此题主要考查面面垂直的判定定理，线面垂直的性质，线面平行的判定定理，属基础题．
21.【答案】解：设的方程为，
因为在轴上的截距为，
所以，，
即：
联立得
直线与的交点坐标为
当过原点时，的方程为
当不过原点时，设的方程为，
又直线经过与的交点，
所以，得，
的方程为
综上，的方程为或
;
【解析】此题主要考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用，可得斜率利用点斜式可得直线的方程，与直线和的交点坐标为
当直线经过原点时，可得方程．当直线不经过过原点时，设在轴上截距为，则在轴上的截距的倍，其方程为：，把交点坐标代入可得
22.【答案】解：（1）当A1C为时，可以使面A1BE⊥面BED．证明如下：
取BE中点F，则AF⊥BE，A1F⊥BE．
在△BCF中，，
∴，此时．
又A1F⊥BE，∴A1F⊥平面BCD，A1F 平面A1BE，
∴面A1BE⊥面BCD，
此时A1F⊥面BCD，∴CF为A1C在面BCD上的射影，∴∠A1CF是A1C与面BCD所成角，
在△A1CF中，，
即直线A1C与平面BCD所成角的正切值是．

（2）作A1G⊥AF，垂足为G，且BE⊥面A1FG，则A1G⊥BE，∴A1G⊥面BCD，
作GH⊥CD，垂足为H，则A1H⊥CD，∴∠A1HG=θ，设∠A1FA=α，α∈（0，π），

则，
=，
当且仅当时，取到等号，
∴，
故sinθ的最大值为．;
【解析】
取中点，连接，，，根据面面垂直的性质可得面，再结合余弦定理可得，，进而根据线面角的定义求解直线与平面所成角的正切值即可；
作，垂足为，作，垂足为，根据线面垂直的判定与性质可得，设，，根据三角形中的关系可得，再根据二倍角公式化简求解最值即可．
此题主要考查线面角的相关计算，面面角的相关计算，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
23.【答案】证明：如图，取的中点，连接，
为正三角形，
，
，

，
，
四边形为矩形，

在中，，，，
所以，则
，，平面，
平面，
又平面，
平面平面

解：如图，取的中点，连接，，
，，，平面，
所以平面，且为二面角的平面角，则为钝角，
因为平面，
平面平面，
所以过点作平面，垂足一定落在平面与平面的交线上.
四棱锥的体积为，
，

，
以为坐标原点，，所在直线为轴、轴，
在平面内过点作垂直于的直线为轴，
建立空间直角坐标系
由题意可知，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为;
【解析】此题主要考查面面垂直的判定及空间向量求线面所成角问题，属于一般题.
利用线面垂直证明面面垂直；
利用体积求出线段长度，建立空间直角坐标系解决问题 .