人教B版（2019）必修第四册《11.1.4 棱锥与棱台》同步练习（含解析）

人教B版（2019）必修第四册《11.1.4 棱锥与棱台》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面
B. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若，则的夹角是钝角
3.（5分）下列四个命题中，正确的是
A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
4.（5分）在长方体中，，，点是底面内的动点，且满足，则线段长度的最小值为
A. B. C. D.
5.（5分）已知直线和互相平行，则它们之间的距离是
A. B. C. D.
6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为
A. B. C. D.
7.（5分）无论为何值，直线所过定点的坐标为
A. B. C. D.
8.（5分）如图，在三棱锥中，平面，是正三角形，，，是棱上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知空间中三点，，，则
A. 与是共线向量
B. 的一个方向向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
10.（5分）已知直线，其中，下列说法正确的是
A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线的倾斜角一定大于
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值
12.（5分）已知直线：，，，则下列结论正确的是
A. 直线恒过定点 B. 当时，直线的倾斜角为
C. 当时，直线的斜率不存在 D. 当时，直线与直线垂直
13.（5分）如图，在直三棱柱中，，，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有
A. 平面 B. 平面
C. 存在点，满足 D. 的最小值为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在空间直角坐标系中，记点关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，则______.
15.（5分）若点为直线上的动点，则的最小值为 ______.
16.（5分）已知正方形的边长为，，分别是边，的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，则，两点间的距离为 ______.
17.（5分）已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，试写出直线的一个方向向量为 ______，直线与平面所成角的余弦值为 ______.
18.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）求出满足下列条件的直线方程．
经过点且与直线垂直；
经过点且在两条坐标轴上的截距相等．
20.（12分）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于，求证：
求证：平面；
求证：平面；
求证：
21.（12分）中，顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为
求顶点的坐标；
求直线的方程．
22.（12分）已知矩形，，，设是边上的点，且，现将沿者直线翻折至
当为何值吋，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值；
设二面角的大小为，求的最大值．
23.（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点为棱的中点，点，分别为棱，上的动点与所在棱的端点不重合，且满足．
证明：平面平面；
当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：直线，即，
它的斜率为，
故它的倾斜角为，
故选：
把直线方程化为斜截式，求出斜率，可得它的倾斜角．
此题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：对于：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故错误；
对于：根据空间向量的基本定理，，
由选项可知，、、一定共面，则不能构成基底，故错误；
对于：根据空间向量的基本定理有，
，则，
又，
，，，四点共面，故正确；
对于：，，且，，
当，时，，故错误，
故选：
根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案．
此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误；
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确；
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误；
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误．
故选：
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
4.【答案】A;
【解析】解：设的中点为，
因为，所以点在以为直径的圆上，
因为平面，平面，
所以，
所以，又是定值，
所以欲使线段的长度最小，只需使最小即可，
又，当且仅当，，三点共线，且位于，之间时等号成立，
因为，
所以的最小值为，
所以线段长度的最小值为

故选：
由条件确定点的轨迹，结合图形确定线段最短时点的位置，再求线段长度的最小值．
此题主要考查了空间中两点间的长度计算，属于中档题．
5.【答案】D;
【解析】
通过直线的平行，利用斜率相等即可求出的值，通过平行线的距离公式求出距离即可.
本题是基础题，考查平行线的应用，平行线的距离的求法，注意平行线的字母的系数必须相同是
解答该题的关键.直线与相
互平行，所以，由平行线的距离公式可知

故答案为：

6.【答案】B;
【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为，
又为直线外一点，且直线过点，，
，，
点到直线的距离为
故选：
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
7.【答案】C;
【解析】解：直线，即，
令，解得，
所过定点的坐标为
故选：
令的系数为，即可得出定点．
此题主要考查了直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】解：由，
则，
即，
即，
在上取，使得，
则，
连接，
则异面直线与所成角为或其补角，
又在三棱锥中，平面，是正三角形，，，
则，
则，，
即，
则异面直线与所成角的余弦值是，
故选：
由题意可得，在上取，则，连接，则异面直线与所成角为或其补角，然后求解即可．
此题主要考查了异面直线所成角，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题．
9.【答案】BCD;
【解析】解：空间中三点，，，
对于，，，，与不是共线向量，故错误；
对于，，则直线的一个方向向量是，故正确；
对于，，则，，故正确；
对于，由选项知，向量，不共线，令，
则，，，
是平面的一个法向量，故正确．
故选：
根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算，能求出结果．
此题主要考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查两条直线平行，垂直时的斜率关系，考查直线的倾斜角与截距，属于基础题.
利用两直线平行、垂直以及直线的倾斜角与斜率的关系和在两轴上的截距逐项分析，得到结果.
解：对于项，当时，直线的方程为，显然与垂直，所以正确；
对于项，若直线与直线平行，可知，
解得或，经检验均符合题意，所以不正确；
对于项，直线的斜率为，所以直线的倾斜角一定大于，所以正确；
对于项，当时，直线的方程为，
在两坐标轴上的截距分别是，所以不正确；
故选：
11.【答案】ABC;
【解析】解：对于，在正方体中，
直线，平面，平面，所以直线平面，
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确；
对于，由于，而为定值，
在正方体中，
，平面，平面，所以平面，
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故正确；
对于，在正方体中，，，，
所以平面，而平面，所以，
故这两条异面直线所成的角为，故正确；
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变，
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定，
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误．
故选：
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解．
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．
12.【答案】BD;
【解析】解：直线：，令，解得，可得直线恒过定点，因此不正确；
B.当时，设直线的倾斜角为，则，，因此正确；
C.当时，直线的方程化为：，其斜率，因此不正确；
D.当时，直线：，由，，可得，，直线与直线垂直，因此正确．
故选：
A.直线：，令，解得直线恒过定点即可判断出正误；
B.当时，设直线的倾斜角为，可得，解得即可判断出正误；
C.当时，直线的方程化为：，可得斜率存在，即可判断出正误；
D.当时，直线：，可得由，，可得，进而判断出直线与直线是否垂直．
此题主要考查了直线经过定点问题、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线的倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13.【答案】AD;
【解析】解：对于，连接，，，分别是棱，，的中点，且，四边形为平行四边形，
，又平面，平面在平面内，所以平面，故正确；
对于，易知，所以，，，四点共面，又点，所以，，，四点共面，平面，
而平面，直线平面，故不正确；
对于，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
，
，
若，则，
在线段延长线上，而不在线段上，故不正确；
对于，把图的正面和上底面展开如图所示，连接即为所求，

过做垂直于且与其相交于，与相交于，易得，
，
在中，，，故正确．
故选：
对于，在平面找一条直线，使其与平行即可；
对于，先由证明，，，四点共面，再证，，，四点共面，进而能判断直线与平面的位置关系；
对于，以为正交基底，建立空间直角坐标系，用坐标运算即可；
对于，把三棱锥的正面和上底面展开，即能找到的最小值，构造直角三角形求解即可．
此题主要考查了立体几何的综合运用，属于中档题．
14.【答案】;
【解析】解：点关于轴的对称点为，
则，
关于平面的对称点为，
则，
故
故答案为：
根据已知条件，先求出点，，再结合空间两点之间的距离公式，即可求解．
此题主要考查空间两点之间的距离公式，属于基础题．
15.【答案】4;
【解析】解：可看成的平方，
点为直线上的动点，
点到直线的距离为，
故的最小值为
故答案为：
可看成的平方，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
此题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．
16.【答案】;
【解析】解：如图，取的中点，连接，，由题意，，
则是二面角的平面角，则，又，
则是正三角形，于是

根据，，可得：平面，
而平面，所以，
而，，则平面，
又平面，于是，，
又，所以
故答案为：
取的中点，然后证明是二面角的平面角，进而证明，最后通过勾股定理求得答案．
此题主要考查二面角的相关计算，空间中两点之间距离才计算等知识，属于中等题．
17.【答案】（2，2，1） ;
【解析】解：已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，
由平面的方程为，可得平面的法向量为，
平面的法向量为，的法向量为，
设直线的方向向量为，则，即，
令则取，
设直线与平面所成角，，
则，
故答案为：
由题意可得平面的法向量，同理可得平面的法向量以及的法向量，根据已知可知直线与这两个法向量垂直，可设直线的方向向量为，即得方程组，求得直线的一个方向向量；继而利用向量的夹角公式可求得直线与平面所成角的余弦值．
此题主要考查了线面角的计算，属于中档题．
18.【答案】;
【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为，
设点关于：的对称点为，
则，解得，即点的坐标为，
由对称性可知，，
所以的周长为，
即的周长的最小值为
故答案为：
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解．
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）与直线x+2y-3=0垂直的直线可设为2x-y+m=0，
把A（-1，2）代入，可得-2-2+m=0，解得m=4，
故所求直线方程为2x-y+4=0．
（2）①当直线过原点时，直线方程为y=x，
②当直线不过原点时，设直线的方程为，
把B（2，2）代入，得，解得a=4，
此时直线方程为x+y=4，
综上所述，所求直线方程为x-y=0或x+y-4=0．;
【解析】
根据直线垂直的性质，先设出所求直线，再将点代入所设直线，即可求解．
根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解．
此题主要考查直线方程的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．
20.【答案】（1）证明：因为四边形ABCD为平行四边形，则BC∥AD，
∵BC 平面PAD，AD 平面PAD，因此，BC∥平面PAD．
（2）证明：连接AC交BD于点N，连接MN，

因为四边形ABCD为平行四边形，AC∩BD=N，则N为AC的中点，
又因为M为PC的中点，则PA∥MN，
∵AP 平面BDM，MN 平面BDM，∴AP∥平面BDM．
（3）证明：∵AP∥平面BDM，AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM=GH，
∴AP∥GH．;
【解析】
由已知可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
连接交于点，连接，分析可知为的中点，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
利用线面平行的性质可证得结论成立．
此题主要考查了空间中的平行关系的证明，属于基础题．
21.【答案】解：（1）由题意可知，
∵BF为边AC的高，∴=-2，…（2分）
∴直线AC的方程为：y-1=-2（x-7），
整理，得2x+y-15=0，…（4分）
联立直线AC与CE的方程组，
得，解之，得，
∴点C的坐标为（5，5）；…（6分）
（2）设B点的坐标为（m，n），
∵E为AB中点，∴，
∵E在直线CE上，∴，
∴2m-n+3=0，…（8分）
又∵B在直线BF上，∴m-2n-5=0，
∴∴，
∴，…（10分）
∴，
∴直线BC的方程为，
即14x-13y-5=0．…（12分）;
【解析】
求出直线的斜率，求出的斜率，从而求出直线的方程，联立、的方程组，求出的坐标即可；
设出的坐标，求出的坐标，得到关于，法方程组，求出的坐标以及的斜率，从而求出直线方程即可．
此题主要考查了求直线方程以及直线的斜率问题，考查直线的垂直关系，是一道中档题．
22.【答案】解：（1）当A1C为时，可以使面A1BE⊥面BED．证明如下：
取BE中点F，则AF⊥BE，A1F⊥BE．
在△BCF中，，
∴，此时．
又A1F⊥BE，∴A1F⊥平面BCD，A1F 平面A1BE，
∴面A1BE⊥面BCD，
此时A1F⊥面BCD，∴CF为A1C在面BCD上的射影，∴∠A1CF是A1C与面BCD所成角，
在△A1CF中，，
即直线A1C与平面BCD所成角的正切值是．

（2）作A1G⊥AF，垂足为G，且BE⊥面A1FG，则A1G⊥BE，∴A1G⊥面BCD，
作GH⊥CD，垂足为H，则A1H⊥CD，∴∠A1HG=θ，设∠A1FA=α，α∈（0，π），

则，
=，
当且仅当时，取到等号，
∴，
故sinθ的最大值为．;
【解析】
取中点，连接，，，根据面面垂直的性质可得面，再结合余弦定理可得，，进而根据线面角的定义求解直线与平面所成角的正切值即可；
作，垂足为，作，垂足为，根据线面垂直的判定与性质可得，设，，根据三角形中的关系可得，再根据二倍角公式化简求解最值即可．
此题主要考查线面角的相关计算，面面角的相关计算，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
23.【答案】证明：连接交于，连接，
底面为正方形，，，
又，，
由底面知，底面，
又底面，，
又，，平面，平面，
在中，，，，即，
平面，又平面，
平面平面；
解：设，由题意，，又，

．
可知，当三棱锥的体积最大时，．
即此时，分别为棱，的中点．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，
则，取，得；
设是平面的一个法向量，
则，取，得．
，
即二面角的余弦值为
;
【解析】此题主要考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
连接交于，连接，由已知证明，由底面知，底面，得到，进一步证明平面，再由平行线截线段成比例得，得到平面，从而有平面平面；
设，利用等积法写出三棱锥的体积，可得当三棱锥的体积最大时，即此时，分别为棱，的中点．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．