人教B版（2019）必修第四册《11.1.5 旋转体》同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第四册《11.1.5 旋转体》同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 233.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-22 16:31:28 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第四册《11.1.5 旋转体》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在直角梯形中，，，，，，则梯形绕着旋转而成的几何体的体积为
A. B.
C. D.
2.（5分）已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为的正三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该圆柱的体积的最大值为
A. B. C. D.
3.（5分）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是
A. B.
C. D.
4.（5分）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，过点，，作正方体的截面，则截面面积是
A. B. C. D.
5.（5分）已知某圆台上下底面的面积之比为：，侧面积为，母线长为，则该圆台的高为
A. B. C. D.
6.（5分）下列几何体中不是旋转体的是
A. B. C. D.
7.（5分）己知一个圆锥的底面半径长为，圆锥的高为，则这个圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
8.（5分）如图，长方体中，，，点为的中点，点为棱上的动点．有下列结论：
①三棱锥的体积为定值；
②与一定垂直；
③与所成的角的范围是；
④的最小值是
其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是
A. 球 的表面积为 B. 球 的内接正方体的棱长为
C. 球 的外切正方体的棱长为 D. 球 的内接正四面体的棱长为
10.（5分）下列说法中正确的是
A. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫圆台
B. 棱台的侧棱延长后一定相交于一点
C. 以直角梯形的一条腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
D. 球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段
11.（5分）如图所示，在长方体中，是上的一动点，则下列选项正确的是
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12.（5分）已知为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
13.（5分）在棱长为的正方体中，是线段上的点．则下列结论正确的是
A. 直线与直线不垂直
B. 直线与直线垂直
C. 当为的中点时，
D. 当为的中点时，三棱锥的体积为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则这个正四棱台的体积为 ______.
15.（5分）如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，点，分别在侧面棱上运动，，为线段中点，当，运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于 ______ ．
16.（5分）半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为______．
17.（5分）将底面直径为，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为______.
18.（5分）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知圆台的上、下底面半径分别是、，且侧面面积等于两底面面积之和．
求该圆台母线的长；
求该圆台的体积．
20.（12分）如图，在底面半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积和体积.
21.（12分）如图，将圆心角为的扇形卷成一个底面半径为的圆锥的侧面.
求圆锥母线的长.
求过圆锥顶点所作截面的最大面积.
22.（12分）已知圆柱和圆柱的侧面展开图为两个全等的矩形，若该矩形的两边分别为和，设圆柱的高为，体积为，圆柱的高为，体积为，其中
求的值；
求的值.
23.（12分）如图，正方体的棱长为，点在棱上，过，，三点的正方体的截面与直线交于点
找到点的位置，作出截面保留作图痕迹，并说明理由；
已知，求将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：梯形绕着旋转而成的几何体是圆台，
圆台的高，上底面圆半径，下底面圆半径，
梯形绕着旋转而成的几何体的体积：
故选：
梯形绕着旋转而成的几何体是圆台，圆台的高，上底面圆半径，下底面圆半径，由此能求出梯形绕着旋转而成的几何体的体积．
此题主要考查旋转体的体积的求法，考查圆台的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
2.【答案】D;
【解析】解：由题意设圆柱的底面半径为，高为，
，解得，
圆柱的体积为，
，令，解得，
令，解得，令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
故选：
设圆柱的底面半径为，高为，利用相似比得出，再由圆柱的体积公式即可求解．
此题主要考查圆柱的体积的最大值的求法，考查圆锥、圆柱的性质、体积公式、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3.【答案】A;
【解析】解：设圆柱的底面半径为，母线长为，
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，
所以，
解得，，
所以圆柱的表面积是
故选：
利用圆柱与侧面展开图的关系，先求出圆柱的底面半径以及母线长，然后由圆柱的表面积公式求解即可．
此题主要考查了旋转体的应用，主要考查了圆柱的几何性质的运用，圆柱与侧面展开图之间关系的运用，圆柱的表面积公式的应用，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查截面问题，属于基础题.
分别取，，的中点，，，分析可知所求截面为正六边形，即可求其面积.
解：分别取，，的中点，，，并依次连接．
易知，所以，，，四点共面，记所确定的平面为，
同理，所以，同理，
所以过，，作正方体的截面，可得正六边形，
因为正六边形的边长为，
所以该截面面积是
故选
5.【答案】B;
【解析】解：设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，
圆台上下底面的面积之比为：，下底面的半径为，
又母线长为，圆台的侧面积为，
则，
解得，
则圆台的高
故选：
设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，由题意确定下底面的半径为，由圆台的侧面积公式求出，由此求解圆台的高．
此题主要考查了圆台的几何性质的应用，圆台的侧面积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于基础题．
6.【答案】D;
【解析】解：根据旋转体的概念可知：，，中三个几何体均为旋转体，
中几何体为多面体，
故选：
利用旋转体的概念直接进行判断，可得答案．
此题主要考查旋转体的定义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了圆锥的侧面积.
先求出其母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算得结论.
解： 因为圆锥的底面半径长为，圆锥的高为，
所以这个圆锥的母线长为，
因此其侧面积为
故选
8.【答案】C;
【解析】解：，故三棱锥的体积为定值，故①正确；
因为长方体，所以平面，
所以，又因为四边形是正方形，所以，
又因为，所以，
又平面，所以，
又因为，所以平面，所以，故②正确；
由题可得，当落在中点处时，与所成角最小，
因为，所以与所成角即为与所成角，所以，
当落在点处时，与所成角最大，
因为，所以与所成角即为与所成角，
此时，所以，所以，
所以与所成的角的范围是，故③正确；
画出长方体正面和上面的平面图，如图所示，因为两点间线段最短，
由图可得，当，，三点共线时，取最小值为，
所以故④错误．
综上所述：正确的为①②③．
故选：
利用空间几何体的性质，结合每个选项的条件进行判断或计算可判断每个选项的正确性．
此题主要考查空间几何体的表面积与体积，空间平面与平面的垂直的判定与性质以及空间直线与平面的垂直的判定与性质，属中档题．
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查球的内接正方体与球的外切正方体之间棱长与半径之间的关系，球的表面积公式，着重考查学生的直观想象能力与计算能力．
先通过题意求出球的半径，即可判断选项，再结合球的内接正方体和球的外切正方体的棱长与球半径之间的关系，即可判断选项，再利用球的内接正四面体判定解：设球的半径为，的外接圆圆心为，半径为，易得
因为球心到平面的距离等于球半径的，所以，得，即，
所以球的表面积，选项正确；
球的内接正方体的棱长满足，则，显然选项不正确；
球的外切正方体的棱长满足，显然选项不正确；
球的内接正四面体的棱长满足，选项正确．
故选：
10.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查圆锥，圆台，棱台，球的相关定义，性质和结构特征，属于基础题.
根据各选项涉及几何体结合对应的定义性质和结构特征逐一展开判断即可.
解：根据圆台的定义可知正确
根据棱台的定义可知正确
只有以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故错误
根据球的半径的定义可知正确.
故选
11.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查空间点、线、面的关系，考查最短距离求法，属于难题.
求的最小值，即求底边上的高；以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为的最小值，利用余弦定理即可求解.
解：求的最小值，即求底边上的高，
易知，，
所以边上的高为，
连接，，得，
以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则即为的最小值，
易知，，，，
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得，则，
则，
所以在三角形中，
故选
12.【答案】ABD;
【解析】解：由已知，圆锥侧面积为正确；
在圆周上，易得正确；
，又中，，所以，
所以，错误；
时，把和推平，如图，
的最小值是，此时，，
正确．
故选：
根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的体积判断，利用求得后可得其范围判断，把棱锥的两个面和推平，利用平面上的性质求的最小值判断
此题主要考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
13.【答案】ABD;
【解析】解：因为，不垂直于，故正确；
由正方体容易证明直线面，又平面，
所以，故正确；
以为原点《，，为坐标轴建立坐标系，
则，，，
所以显然与不共线，故错误；
当为的中点时，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
又三棱锥的体积与三棱锥的体积，
所以，故正确，
故选：
利用不垂直于，可判断，利用面可证，可判断，利用向量显然与不共线，可判断，利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，又三棱锥的体积与三棱锥的体积，可判断
此题主要考查线线垂直与线线平行，以及求几何体的体积，属中档题．
14.【答案】;
【解析】解：上底面的对角线长为，下底面的对角线长为，侧棱长为，
所以正四棱台的高为，
所以正四棱台的体积为
故答案为：
求得棱台的高，进而求得棱台的体积．
此题主要考查棱台的体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】;
【解析】解：三棱锥中，，，两两互相垂直，，
则棱锥的体积
又点，分别在侧面棱上运动，，为线段中点，
点的轨迹在以为球心以半径的球面上
则点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比为：
：：
故答案为：
由已知中三棱锥中，，，两两互相垂直，，我们易计算出三棱锥的体积，又由点，分别在侧面棱上运动，，为线段中点，我们可以判断的轨迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案．
该题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出的轨迹在以为球心以半径的球面上是解答本题的关键．
16.【答案】9π;
【解析】解：如图所示，半径为的半圆卷成一个圆锥，
则圆锥的母线长为，
设圆锥的底面半径为，
则，
即，
圆锥的高，
圆锥的体积为
故答案为：
根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的底面半径和高，即可求得圆锥的体积．
该题考查了圆锥的侧面展开图与侧面面积和锥体体积的计算问题，是基础题．
17.【答案】;
【解析】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为，底面半径为，由，解得可得，利用基本不等式的性质即可得出．
此题主要考查了旋转体的侧面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为，底面半径为，
则，解得
故，
当时，的最大值为
故答案为：
18.【答案】12π;
【解析】解：圆锥的轴截面如图，
由题意知，则，
所以，
由勾股定理得，
所以
故答案为：
作出圆锥的截面图，计算圆锥的高，代入体积公式可得结果．
此题主要考查空间想象能力与运算求解能力．属于基础题．
19.【答案】解：（1）设圆台的母线为l，则由题意得π（2+6）l=π 22+π 62，
∴8πl=40π，l=5．
∴该圆台的母线长为5；
（2）设圆台的高为h，由勾股定理可得，
∴圆台的体积 V=π×（22+62+2×6）×3=52π．;
【解析】
求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长；
利用勾股定理求得圆台的高，根据圆台的体积公式求出它的体积即可．
该题考查了圆台的侧面积和表面积公式、体积公式，考查计算能力，运算要细心．
20.【答案】解：设圆柱的底面半径为，表面积为，体积为，
因为底面半径为，母线长为的圆锥的高为，
所以高为的圆柱的上底面为圆锥的中截面，因此，
，，
因此，;
【解析】此题主要考查了旋转体圆柱、圆锥、圆台、球及其结构特征和圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积，属于基础题.
利用圆锥与其内接圆柱的几何结构特征得圆柱的底面半径，再利用圆柱的表面积和体积公式计算得结论.
21.【答案】解：（1）扇形的半径就是圆锥的母线长，
因为扇形的弧长为，
所以圆锥母线长l=5；
（2）过圆锥顶点O的截面OAB，如图所示，
截面OAB的面积为，
因为∠AOC＞90°，
所以当∠AOB=90°时，△AOB的面积最大为=．;
【解析】
扇形的半径就是圆锥的母线长，利用扇形的弧长等于底面圆的周长即可得到答案；
由三角形的面积公式，即可求解得到答案．
此题主要考查了旋转体圆锥的几何性质的应用，主要考查了圆锥的侧面展开图的应用，属于基础题．
22.【答案】解：（1）设圆柱Γ的底面半径为，圆柱Λ的底面半径为，
已知圆柱Γ的高为，圆柱Λ的高为，＞．
由圆柱Γ和圆柱Λ的侧面展开图为两个全等的矩形，
可得：，∴=；
（2）由（1）可得，=9，，=4，．
∴，．
∴=．;
【解析】
设圆柱的底面半径为，圆柱的底面半径为，由题意列式求得，的值，则的值可求；
由求得，，，的值，代入圆柱体积公式可得，，则答案可求．
此题主要考查圆柱的结构特征，考查圆柱体积的求法，考查计算能力，是中档题．
23.【答案】解：（1）∵D1 BF，∴BF与D1可确定平面α，
在平面α内过D1作D1E∥BF，且交AA1于E，连接EB，ED1，则四边形D1EBF就是要作的截面α．
理由：由题意，平面α∩平面AD1=D1E，平面α∩平面BC1=BF，
而平面AD1∥平面BC1，∴D1E∥BF，根据作图过程，D1E∥BF，则四边形D1EBF就是要作的截面．
（2）由题意，CF=a（0＜a＜1），
由（1）的过程可知A1E=a，连接D1B1，则平面α将正方体分割成的商半部分为四棱锥D1-A1EBB1
与四棱锥D1-B1BFC1的组合体．
==．
而正方体的体积为1，则，
故α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比为1．;
【解析】
过作，且交于，连接，，则四边形就是要作的截面，由平面与平面平行的性质证明；
求出两个四棱锥与四棱锥的体积，作和可得，由正方体的体积减去可得，作比得答案．
此题主要考查正方体的结构特征，考查空间几何体体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在直角梯形中，，，，，，则梯形绕着旋转而成的几何体的体积为
A. B.
C. D.
2.（5分）已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为的正三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该圆柱的体积的最大值为
A. B. C. D.
3.（5分）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是
A. B.
C. D.
4.（5分）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，过点，，作正方体的截面，则截面面积是
A. B. C. D.
5.（5分）已知某圆台上下底面的面积之比为：，侧面积为，母线长为，则该圆台的高为
A. B. C. D.
6.（5分）下列几何体中不是旋转体的是
A. B. C. D.
7.（5分）己知一个圆锥的底面半径长为，圆锥的高为，则这个圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
8.（5分）如图，长方体中，，，点为的中点，点为棱上的动点．有下列结论：
①三棱锥的体积为定值；
②与一定垂直；
③与所成的角的范围是；
④的最小值是
其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是
A. 球 的表面积为 B. 球 的内接正方体的棱长为
C. 球 的外切正方体的棱长为 D. 球 的内接正四面体的棱长为
10.（5分）下列说法中正确的是
A. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫圆台
B. 棱台的侧棱延长后一定相交于一点
C. 以直角梯形的一条腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
D. 球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段
11.（5分）如图所示，在长方体中，是上的一动点，则下列选项正确的是
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12.（5分）已知为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
13.（5分）在棱长为的正方体中，是线段上的点．则下列结论正确的是
A. 直线与直线不垂直
B. 直线与直线垂直
C. 当为的中点时，
D. 当为的中点时，三棱锥的体积为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若一个正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则这个正四棱台的体积为 ______.
15.（5分）如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，点，分别在侧面棱上运动，，为线段中点，当，运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于 ______ ．
16.（5分）半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为______．
17.（5分）将底面直径为，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为______.
18.（5分）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知圆台的上、下底面半径分别是、，且侧面面积等于两底面面积之和．
求该圆台母线的长；
求该圆台的体积．
20.（12分）如图，在底面半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积和体积.
21.（12分）如图，将圆心角为的扇形卷成一个底面半径为的圆锥的侧面.
求圆锥母线的长.
求过圆锥顶点所作截面的最大面积.
22.（12分）已知圆柱和圆柱的侧面展开图为两个全等的矩形，若该矩形的两边分别为和，设圆柱的高为，体积为，圆柱的高为，体积为，其中
求的值；
求的值.
23.（12分）如图，正方体的棱长为，点在棱上，过，，三点的正方体的截面与直线交于点
找到点的位置，作出截面保留作图痕迹，并说明理由；
已知，求将正方体分割所成的上半部分的体积与下半部分的体积之比.
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：梯形绕着旋转而成的几何体是圆台，
圆台的高，上底面圆半径，下底面圆半径，
梯形绕着旋转而成的几何体的体积：
故选：
梯形绕着旋转而成的几何体是圆台，圆台的高，上底面圆半径，下底面圆半径，由此能求出梯形绕着旋转而成的几何体的体积．
此题主要考查旋转体的体积的求法，考查圆台的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
2.【答案】D;
【解析】解：由题意设圆柱的底面半径为，高为，
，解得，
圆柱的体积为，
，令，解得，
令，解得，令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
故选：
设圆柱的底面半径为，高为，利用相似比得出，再由圆柱的体积公式即可求解．
此题主要考查圆柱的体积的最大值的求法，考查圆锥、圆柱的性质、体积公式、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3.【答案】A;
【解析】解：设圆柱的底面半径为，母线长为，
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，
所以，
解得，，
所以圆柱的表面积是
故选：
利用圆柱与侧面展开图的关系，先求出圆柱的底面半径以及母线长，然后由圆柱的表面积公式求解即可．
此题主要考查了旋转体的应用，主要考查了圆柱的几何性质的运用，圆柱与侧面展开图之间关系的运用，圆柱的表面积公式的应用，考查了空间想象能力与运算能力，属于基础题．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查截面问题，属于基础题.
分别取，，的中点，，，分析可知所求截面为正六边形，即可求其面积.
解：分别取，，的中点，，，并依次连接．
易知，所以，，，四点共面，记所确定的平面为，
同理，所以，同理，
所以过，，作正方体的截面，可得正六边形，
因为正六边形的边长为，
所以该截面面积是
故选
5.【答案】B;
【解析】解：设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，
圆台上下底面的面积之比为：，下底面的半径为，
又母线长为，圆台的侧面积为，
则，
解得，
则圆台的高
故选：
设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，由题意确定下底面的半径为，由圆台的侧面积公式求出，由此求解圆台的高．
此题主要考查了圆台的几何性质的应用，圆台的侧面积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于基础题．
6.【答案】D;
【解析】解：根据旋转体的概念可知：，，中三个几何体均为旋转体，
中几何体为多面体，
故选：
利用旋转体的概念直接进行判断，可得答案．
此题主要考查旋转体的定义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了圆锥的侧面积.
先求出其母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算得结论.
解： 因为圆锥的底面半径长为，圆锥的高为，
所以这个圆锥的母线长为，
因此其侧面积为
故选
8.【答案】C;
【解析】解：，故三棱锥的体积为定值，故①正确；
因为长方体，所以平面，
所以，又因为四边形是正方形，所以，
又因为，所以，
又平面，所以，
又因为，所以平面，所以，故②正确；
由题可得，当落在中点处时，与所成角最小，
因为，所以与所成角即为与所成角，所以，
当落在点处时，与所成角最大，
因为，所以与所成角即为与所成角，
此时，所以，所以，
所以与所成的角的范围是，故③正确；
画出长方体正面和上面的平面图，如图所示，因为两点间线段最短，
由图可得，当，，三点共线时，取最小值为，
所以故④错误．
综上所述：正确的为①②③．
故选：
利用空间几何体的性质，结合每个选项的条件进行判断或计算可判断每个选项的正确性．
此题主要考查空间几何体的表面积与体积，空间平面与平面的垂直的判定与性质以及空间直线与平面的垂直的判定与性质，属中档题．
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查球的内接正方体与球的外切正方体之间棱长与半径之间的关系，球的表面积公式，着重考查学生的直观想象能力与计算能力．
先通过题意求出球的半径，即可判断选项，再结合球的内接正方体和球的外切正方体的棱长与球半径之间的关系，即可判断选项，再利用球的内接正四面体判定解：设球的半径为，的外接圆圆心为，半径为，易得
因为球心到平面的距离等于球半径的，所以，得，即，
所以球的表面积，选项正确；
球的内接正方体的棱长满足，则，显然选项不正确；
球的外切正方体的棱长满足，显然选项不正确；
球的内接正四面体的棱长满足，选项正确．
故选：
10.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查圆锥，圆台，棱台，球的相关定义，性质和结构特征，属于基础题.
根据各选项涉及几何体结合对应的定义性质和结构特征逐一展开判断即可.
解：根据圆台的定义可知正确
根据棱台的定义可知正确
只有以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，故错误
根据球的半径的定义可知正确.
故选
11.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查空间点、线、面的关系，考查最短距离求法，属于难题.
求的最小值，即求底边上的高；以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，则即为的最小值，利用余弦定理即可求解.
解：求的最小值，即求底边上的高，
易知，，
所以边上的高为，
连接，，得，
以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则即为的最小值，
易知，，，，
在直角三角形中，，
在三角形中，由余弦定理得，则，
则，
所以在三角形中，
故选
12.【答案】ABD;
【解析】解：由已知，圆锥侧面积为正确；
在圆周上，易得正确；
，又中，，所以，
所以，错误；
时，把和推平，如图，
的最小值是，此时，，
正确．
故选：
根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的体积判断，利用求得后可得其范围判断，把棱锥的两个面和推平，利用平面上的性质求的最小值判断
此题主要考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
13.【答案】ABD;
【解析】解：因为，不垂直于，故正确；
由正方体容易证明直线面，又平面，
所以，故正确；
以为原点《，，为坐标轴建立坐标系，
则，，，
所以显然与不共线，故错误；
当为的中点时，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
又三棱锥的体积与三棱锥的体积，
所以，故正确，
故选：
利用不垂直于，可判断，利用面可证，可判断，利用向量显然与不共线，可判断，利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，又三棱锥的体积与三棱锥的体积，可判断
此题主要考查线线垂直与线线平行，以及求几何体的体积，属中档题．
14.【答案】;
【解析】解：上底面的对角线长为，下底面的对角线长为，侧棱长为，
所以正四棱台的高为，
所以正四棱台的体积为
故答案为：
求得棱台的高，进而求得棱台的体积．
此题主要考查棱台的体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】;
【解析】解：三棱锥中，，，两两互相垂直，，
则棱锥的体积
又点，分别在侧面棱上运动，，为线段中点，
点的轨迹在以为球心以半径的球面上
则点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比为：
：：
故答案为：
由已知中三棱锥中，，，两两互相垂直，，我们易计算出三棱锥的体积，又由点，分别在侧面棱上运动，，为线段中点，我们可以判断的轨迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案．
该题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出的轨迹在以为球心以半径的球面上是解答本题的关键．
16.【答案】9π;
【解析】解：如图所示，半径为的半圆卷成一个圆锥，
则圆锥的母线长为，
设圆锥的底面半径为，
则，
即，
圆锥的高，
圆锥的体积为
故答案为：
根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的底面半径和高，即可求得圆锥的体积．
该题考查了圆锥的侧面展开图与侧面面积和锥体体积的计算问题，是基础题．
17.【答案】;
【解析】
欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为，底面半径为，由，解得可得，利用基本不等式的性质即可得出．
此题主要考查了旋转体的侧面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为，底面半径为，
则，解得
故，
当时，的最大值为
故答案为：
18.【答案】12π;
【解析】解：圆锥的轴截面如图，
由题意知，则，
所以，
由勾股定理得，
所以
故答案为：
作出圆锥的截面图，计算圆锥的高，代入体积公式可得结果．
此题主要考查空间想象能力与运算求解能力．属于基础题．
19.【答案】解：（1）设圆台的母线为l，则由题意得π（2+6）l=π 22+π 62，
∴8πl=40π，l=5．
∴该圆台的母线长为5；
（2）设圆台的高为h，由勾股定理可得，
∴圆台的体积 V=π×（22+62+2×6）×3=52π．;
【解析】
求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长；
利用勾股定理求得圆台的高，根据圆台的体积公式求出它的体积即可．
该题考查了圆台的侧面积和表面积公式、体积公式，考查计算能力，运算要细心．
20.【答案】解：设圆柱的底面半径为，表面积为，体积为，
因为底面半径为，母线长为的圆锥的高为，
所以高为的圆柱的上底面为圆锥的中截面，因此，
，，
因此，;
【解析】此题主要考查了旋转体圆柱、圆锥、圆台、球及其结构特征和圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积，属于基础题.
利用圆锥与其内接圆柱的几何结构特征得圆柱的底面半径，再利用圆柱的表面积和体积公式计算得结论.
21.【答案】解：（1）扇形的半径就是圆锥的母线长，
因为扇形的弧长为，
所以圆锥母线长l=5；
（2）过圆锥顶点O的截面OAB，如图所示，
截面OAB的面积为，
因为∠AOC＞90°，
所以当∠AOB=90°时，△AOB的面积最大为=．;
【解析】
扇形的半径就是圆锥的母线长，利用扇形的弧长等于底面圆的周长即可得到答案；
由三角形的面积公式，即可求解得到答案．
此题主要考查了旋转体圆锥的几何性质的应用，主要考查了圆锥的侧面展开图的应用，属于基础题．
22.【答案】解：（1）设圆柱Γ的底面半径为，圆柱Λ的底面半径为，
已知圆柱Γ的高为，圆柱Λ的高为，＞．
由圆柱Γ和圆柱Λ的侧面展开图为两个全等的矩形，
可得：，∴=；
（2）由（1）可得，=9，，=4，．
∴，．
∴=．;
【解析】
设圆柱的底面半径为，圆柱的底面半径为，由题意列式求得，的值，则的值可求；
由求得，，，的值，代入圆柱体积公式可得，，则答案可求．
此题主要考查圆柱的结构特征，考查圆柱体积的求法，考查计算能力，是中档题．
23.【答案】解：（1）∵D1 BF，∴BF与D1可确定平面α，
在平面α内过D1作D1E∥BF，且交AA1于E，连接EB，ED1，则四边形D1EBF就是要作的截面α．
理由：由题意，平面α∩平面AD1=D1E，平面α∩平面BC1=BF，
而平面AD1∥平面BC1，∴D1E∥BF，根据作图过程，D1E∥BF，则四边形D1EBF就是要作的截面．
（2）由题意，CF=a（0＜a＜1），
由（1）的过程可知A1E=a，连接D1B1，则平面α将正方体分割成的商半部分为四棱锥D1-A1EBB1
与四棱锥D1-B1BFC1的组合体．
==．
而正方体的体积为1，则，
故α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比为1．;
【解析】
过作，且交于，连接，，则四边形就是要作的截面，由平面与平面平行的性质证明；
求出两个四棱锥与四棱锥的体积，作和可得，由正方体的体积减去可得，作比得答案．
此题主要考查正方体的结构特征，考查空间几何体体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．