人教B版（2019）必修第四册《11.1.6 祖暅原理与几何体的体积》同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第四册《11.1.6 祖暅原理与几何体的体积》同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 252.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-22 16:31:48 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第四册《11.1.6 祖暅原理与几何体的体积》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
2.（5分）如图，在平行四边中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
3.（5分）已知球的体积为，圆柱内接于球，其中，分别是圆柱上、下底面的圆心，则圆柱的表面积的最大值为
A. B.
C. D.
4.（5分）四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，异面直线与所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
5.（5分）如图，在三棱锥中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为
A. B. C. D.
6.（5分）棱长为的正方体内有一个球与正方体的个面都相切，则球的表面积为
A. B. C. D.
7.（5分）在四面体中，，，两两垂直，，，则四面体内切球的半径为
A. B. C. D.
8.（5分）在正四棱柱中，，，点、、、在球上，球与的另一个交点为，与的另一个交点为，，则球表面积为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 圆锥的表面积最小
10.（5分）设一空心球是在一个大球称为外球的内部挖去一个有相同球心的小球称为内球，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为，若某正方体的所有顶点均在外球面上、所有面均与内球相切，则
A. 该正方体的棱长为 B. 该正方体的体对角线长为
C. 空心球的内球半径为 D. 空心球的外球表面积为
11.（5分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是
A. 圆柱的体积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为：：
12.（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是
A.
B. 鳖臑体积的最大值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 鳖臑内切球的半径为
13.（5分）已知三棱锥的体积为，其外接球的半径为，，是腰长为的等腰三角形，且，则
A. 球的体积为 B. 球的表面积为
C. 球的表面积为 D. 球的体积为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）正三棱锥中，，点在棱上，且正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．
15.（5分）各面均为等边三角形的四面体的外接球的表面积为，过棱作球的截面，则截面面积的最小值为______．
16.（5分）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______．
17.（5分）无穷符号在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为和的实心小球相交而成，球心距，则该标志的体积为 ______.
附：一个半径为的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高记为，球缺的体积公式为
18.（5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且有侧面底面，则四棱锥的外接球表面积为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为，高为将一个半径为的玻璃小球缓慢浸没与水中．
求圆柱体积；
求溢出水的体积．
20.（12分）已知过球面上、、三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，，，求球的表面积和体积．
21.（12分）一倒置圆锥体的母线长为，底面半径为
求圆锥体的高；
若有一球刚好放进该圆锥体球与圆锥的底面相切中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间的体积．
22.（12分）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，其中，，，，且高，
求三棱锥的体积和表面积；
求三棱锥外接球体积和内切球的半径．
23.（12分）图形由矩形和扇形拼接而成如图所示，，求将该图形沿旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：如图，
平面，，
，，，
又，把三棱锥补形为长方体，
则长方体对角线长为，
则三棱锥外接球的半径为，
三棱锥的外接球的表面积为
故选：
由题意画出图形，求出的长度，然后利用分割补形法求解．
此题主要考查多面体外接球表面积的求法，考查了“分割补形法”，是中档题．
2.【答案】A;
【解析】
此题主要考查球的表面积，考查学生的空间想象能力，解答该题的关键是确定三棱锥的外接球的直径，属于中档题．
确定三棱锥的外接球的直径为，根据，确定三棱锥的外接球的半径长，即可求得棱锥的外接球的表面积．
解：平行四边形中，，
沿折成直二面角，则平面
三棱锥的外接球的直径为，且，
三棱锥的外接球的半径为，
三棱锥的外接球的表面积是，
故选
3.【答案】B;
【解析】
此题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查空间想象能力以及数形结合思想．
解：设球的半径为，依题意，得，解得
根据题意画出图形，如下图所示．
设，，则圆柱底面半径为，圆柱的高为，
则圆柱的表面积，其中，
故圆柱的表面积的最大值为
故选
4.【答案】D;
【解析】解：将此四棱锥放在长方体中，连接，由题意知，所以与所成的角等于与所成的角，
所以，设，因为底面是边长为的正方形，
在中，由余弦定理可得，设外接球的半径为，则，
所以外接球的表面积为：，
故选：．
将该四棱锥放在长方体中，由异面直线的夹角的余弦值求出棱锥的高，再由外接球的直径等于长方体的对角线求出半径，进而求出外接球的表面积．
考查棱锥的外接球的半径与棱长的关系及球的表面积公式，属于中档题．
5.【答案】D;
【解析】
该题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象力，属于基础题．
利用已知条件说明三棱锥是长方体的一个角，扩展几何体为长方体，求出外接球的半径，然后求解球的体积．
解：在三棱锥中，，
可得，，，则三棱锥可看作是长方体的一个角，三棱锥的外接球即长方体的外接球，
外接球的半径为：．
外接球的体积为：．
故选：．
6.【答案】C;
【解析】
此题主要考查球的表面积的计算，考查正方体与球的切接问题，难度不大.
根据题意，正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，求出半径，计算面积.
解：根据题意，正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，所以球的半径，从而球的表面积
故选
7.【答案】C;
【解析】解：因为，，两两垂直，，，
所以，
取的中点，连接，则，
所以，的面积为，
所以四面体的表面积，
又四面体的体积，
设四面体内切球球心为，半径为，则，
即，
所以四面体内切球的半径，
故选：
由题意求得四面体的表面积，再求出四面体的体积，设出内切球球心和半径，根据即可求得答案．
此题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
8.【答案】B;
【解析】解：连结，，易证得是矩形，
则三棱柱是球的内接直三棱柱，
，，
，即，
又，，，
球的半径，
球表面积为：．
故选：．
连结，，说明三棱柱是球的内接直三棱柱，求出球的半径，即可求解球的表面积．
点评：此题主要考查球的表面积公式，以及球内接三棱柱的关系，考查空间想象能力以及计算能力．
9.【答案】CD;
【解析】解：对于，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径相等，
圆柱的侧面积为，故错误；
对于，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，
圆锥的侧面积为，故错误；
对于，圆柱的侧面积为，球面面积为，
圆柱的侧面积与球面面积相等，故正确；
对于，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，
球的表面积为，
圆锥的表面积最小，故正确．
故选：
分别求出圆柱、圆锥的侧面积和表面积，再求出球的表面积，由此能求出结果．
此题主要考查命题真假的判断，考查圆柱、圆锥的侧面积和表面积、球的表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了球的表面积，考查学生的计算和推理能力，属于中档题.
设出内外球半径分别为，，从而结合题意即可知和的关系，进而求得和，从而求解.
解：设内外球半径分别为，，则正方体的棱长为，体对角线长为，
，又由题知，
，，正方体棱长为，体对角线长为，
外球表面积为，故、正确．
故选
11.【答案】BD;
【解析】解：对于，圆柱的底面直径和高都等于，
所以圆柱的体积为，选项错误；
对于，圆锥的底面直径和高等于，
所以圆锥的侧面积为，选项正确；
对于，圆柱的侧面积为，
圆锥的表面积为，
所以圆柱的侧面积与圆锥的表面积不相等，选项错误；
对于，圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
球的体积为，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为：：：：，选项正确．
故选：
根据题意，分别求出圆柱、圆锥、球的表面积和体积，再判断选项中的命题是否正确．
此题主要考查了圆柱、圆锥、球的表面积及体积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
12.【答案】ACD;
【解析】解：在鳖臑中，四个面都为直角三角形，
可知的中点到四个顶点的距离都相等，
所以的中点是鳖臑外接球的球心，
因为外接球的体积为，得外接球的半径，
，设，，则，得，
，
当且仅当时，取得最大值，
故正确，错误；
中，，且，平面，
即为与平面所成角，正弦值为，故正确；
设鳖臑内切球的半径为，
则，
，
解得，故正确．
故选：
根据外接球的体积为，得外接球的半径，再根据基本不等式，即可求得当时，鳖臑体积的最大值为，由此判断，选项，由为与平面所成角，可以判断选项，
根据体积相等可以求出内切球的半径，可以判断选项．
此题主要考查了三棱锥的体积和内切球的体积计算，属于中档题．
13.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查外接球的表面积和体积，根据等三棱锥体积即可求出高，然后根据线面垂直求出外接球的半径，进而求出体积和表面积，属于中档题.
解：设三棱锥的高为，
由题知，，
则三棱锥的高，设为三角形的外接圆的圆心，连接，
则平面
因为，所以为的中点，所以，
在三角形中，，
所以，
所以
故球的表面积为，体积为
故选
14.【答案】;
【解析】解：设为正三棱锥底面的中心，球的半径为，
则，
三角形为直角三角形，
，
设球心为，连接，，，
则在直角三角形中，，，
由得：，
解得：．
取中点，连接，
因为，所以，
又因为，为的四等分点，
所以，，
所以，，
当垂直于过的截面时，此截面面积最小，设此时截面圆的半径为，
则，故此时截面圆的面积为．
故填：．
利用直角三角形的三边，利用勾股定理求出球的半径，再求出球心到点的距离，当截面圆面积最小时，球心到点的距离最远即，即可求出最小的截面圆面积．
此题主要考查了球的截面圆问题，对计算能力和空间想象能力都有较高的要求，属于难题．
15.【答案】;
【解析】解：将四面体放回一个正方体中，使正四面体的棱都是正方体的面对角线，
则正四面体和正方体的外接球是同一个球，
当是截面圆的直径时，截面面积最小，
外接球的表面积是，
则球的直径为，
则正方体的体对角线为，棱长为，面对角线为，
截面面积最小值为．
故答案为：．
将四面体放回一个正方体中，使正四面体的棱都是正方体的面对角线，则正四面体和正方体的外接球是同一个球，当是截面圆的直径时，截面面积最小，由此能求出截面面积的最小值．
此题主要考查截面面积的最小值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
16.【答案】;
【解析】解：在三棱锥中，平面，，
以，，为长宽高构建长方体，
则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，
三棱锥的外接球的半径，
三棱锥的外接球的体积为：
故答案为：．
以，，为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的体积．
该题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
17.【答案】14400π;
【解析】解：记两球面的交线为圆，其大圆截面如图所示，
则，且，
解得，，且圆的半径为，
两球体的公共部分可看作两个球缺，
小球中的球缺高为，，
大球中的球缺高为，，
故
故答案为：
作出大圆截图，利用弦心距、直角三角形得到两个球缺的高，再利用球的体积公式、球缺的体积公式进行求解．
此题主要考查球的几何性质，球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
18.【答案】;
【解析】解：设球心为，半径为，到底面的距离为，则
四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且有侧面底面，
四棱锥的高为，底面正方形外接圆半径为，
，
，
，
四棱锥的外接球表面积为．
故答案为：．
确定四棱锥的高为，底面正方形外接圆半径为，利用勾股定理计算出四棱锥的外接球的半径，即可求出四棱锥的外接球表面积．
此题主要考查四棱锥的外接球表面积，考查学生的计算能力，确定四棱锥的外接球的半径是关键．
19.【答案】解：（1）∵内壁底面半径为5，高为2，
∴圆柱体积V=π 52 2=50π；
（2）溢出水的体积==36π．;
【解析】
利用圆柱的体积公式求圆柱体积；
利用球的体积公式求溢出水的体积．
本题着重考查了球体积公式和圆柱体积公式等知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：设球心为O，△ABC外接圆的圆心为O′，设球的半径为2r，
则OO′=r，如图所示；
又AB=18，BC=24，AC=30，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形；
∴O′A=AC=15；
在Rt△OO′A中，（2r）2=152+，
解得r=5，
∴球的半径为R=2r=10；
∴球的表面积为S=4π =1200π，
体积为V==4000π．;
【解析】
设球心为，外接圆的圆心为，由勾股定理知是直角三角形，
由题意求出球的半径，再计算外接球的表面积和体积．
此题主要考查了球的表面积和体积的应用问题，涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面问题，是中档题．
21.【答案】
解：根据题意得，，表示圆锥底面半径
作出圆锥的轴截面，如图所示：
所以，，为球的半径，
所以∽，
所以，即，解得，
所以球的体积为，
圆锥的体积为，
所以圆锥体剩余的空间体积为
;
【解析】
此题主要考查圆锥的性质，以及球的体积.
利用勾股定理，即可计算；
利用圆锥的体积，与球的体积，即可得.
22.【答案】解：（1）∵三棱锥A-BCD是一鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，AC⊥CD，且高AB=3，BC=CD=，
∴三棱锥A-BCD的体积，
三棱锥A-BCD的表面积SA-BCD=S△BCD+S△ABC+S△ACD+S△ABD=，
（2）由条件知，可将三棱锥A-BCD补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，
因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球，即为三棱锥外接球的直径，
因为，所以三棱锥A-BCD外接球体积，
V外接球=π（）3=，
记内切球的球心为O，连结OA，OB，OC，OD，得到四个等高的三棱锥，
且该高为内切球的半径r，则VA-BCD=VO-ABD+VO-ACD+VO-ABC+VO-BCD，
得VA-BCD= SA-BCD表面积 r=（9） r=3，
所以，
故三棱锥A-BCD内切球的半径为．;
【解析】
直接代入表面积以及体积计算公式求解即可，
根据长方体的外接球也为三棱锥的外接球，以及等体积转化即可求解结论．
此题主要考查三棱锥的体积和表面积；外接球以及内切球的体积，属于中档题．
23.【答案】解：由题意知，该几何体是由一个圆柱和半球拼凑而成的组合体，
其中圆柱和半球的底面半径均为，圆柱的高为，
圆柱的底面积：，
圆柱的侧面积：，
半球球冠的表面积：，
则该几何体的表面积：
圆柱的体积：，
半球的体积：，
则该几何体的体积：
;
【解析】此题主要考查了圆柱和球的表面积和体积计算，属于基础题．
由题意知旋转后的几何体是由一个圆柱和半球拼凑而成的组合体，分别求圆柱和球的表面积和体积，相加即可．
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
2.（5分）如图，在平行四边中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
3.（5分）已知球的体积为，圆柱内接于球，其中，分别是圆柱上、下底面的圆心，则圆柱的表面积的最大值为
A. B.
C. D.
4.（5分）四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，异面直线与所成的角的余弦值为，则四棱锥外接球的表面积为
A. B. C. D.
5.（5分）如图，在三棱锥中，，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为
A. B. C. D.
6.（5分）棱长为的正方体内有一个球与正方体的个面都相切，则球的表面积为
A. B. C. D.
7.（5分）在四面体中，，，两两垂直，，，则四面体内切球的半径为
A. B. C. D.
8.（5分）在正四棱柱中，，，点、、、在球上，球与的另一个交点为，与的另一个交点为，，则球表面积为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 圆锥的表面积最小
10.（5分）设一空心球是在一个大球称为外球的内部挖去一个有相同球心的小球称为内球，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为，若某正方体的所有顶点均在外球面上、所有面均与内球相切，则
A. 该正方体的棱长为 B. 该正方体的体对角线长为
C. 空心球的内球半径为 D. 空心球的外球表面积为
11.（5分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是
A. 圆柱的体积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为：：
12.（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是
A.
B. 鳖臑体积的最大值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 鳖臑内切球的半径为
13.（5分）已知三棱锥的体积为，其外接球的半径为，，是腰长为的等腰三角形，且，则
A. 球的体积为 B. 球的表面积为
C. 球的表面积为 D. 球的体积为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）正三棱锥中，，点在棱上，且正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．
15.（5分）各面均为等边三角形的四面体的外接球的表面积为，过棱作球的截面，则截面面积的最小值为______．
16.（5分）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______．
17.（5分）无穷符号在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为和的实心小球相交而成，球心距，则该标志的体积为 ______.
附：一个半径为的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高记为，球缺的体积公式为
18.（5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且有侧面底面，则四棱锥的外接球表面积为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为，高为将一个半径为的玻璃小球缓慢浸没与水中．
求圆柱体积；
求溢出水的体积．
20.（12分）已知过球面上、、三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，，，求球的表面积和体积．
21.（12分）一倒置圆锥体的母线长为，底面半径为
求圆锥体的高；
若有一球刚好放进该圆锥体球与圆锥的底面相切中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间的体积．
22.（12分）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥是一鳖臑，其中，，，，且高，
求三棱锥的体积和表面积；
求三棱锥外接球体积和内切球的半径．
23.（12分）图形由矩形和扇形拼接而成如图所示，，求将该图形沿旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：如图，
平面，，
，，，
又，把三棱锥补形为长方体，
则长方体对角线长为，
则三棱锥外接球的半径为，
三棱锥的外接球的表面积为
故选：
由题意画出图形，求出的长度，然后利用分割补形法求解．
此题主要考查多面体外接球表面积的求法，考查了“分割补形法”，是中档题．
2.【答案】A;
【解析】
此题主要考查球的表面积，考查学生的空间想象能力，解答该题的关键是确定三棱锥的外接球的直径，属于中档题．
确定三棱锥的外接球的直径为，根据，确定三棱锥的外接球的半径长，即可求得棱锥的外接球的表面积．
解：平行四边形中，，
沿折成直二面角，则平面
三棱锥的外接球的直径为，且，
三棱锥的外接球的半径为，
三棱锥的外接球的表面积是，
故选
3.【答案】B;
【解析】
此题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查空间想象能力以及数形结合思想．
解：设球的半径为，依题意，得，解得
根据题意画出图形，如下图所示．
设，，则圆柱底面半径为，圆柱的高为，
则圆柱的表面积，其中，
故圆柱的表面积的最大值为
故选
4.【答案】D;
【解析】解：将此四棱锥放在长方体中，连接，由题意知，所以与所成的角等于与所成的角，
所以，设，因为底面是边长为的正方形，
在中，由余弦定理可得，设外接球的半径为，则，
所以外接球的表面积为：，
故选：．
将该四棱锥放在长方体中，由异面直线的夹角的余弦值求出棱锥的高，再由外接球的直径等于长方体的对角线求出半径，进而求出外接球的表面积．
考查棱锥的外接球的半径与棱长的关系及球的表面积公式，属于中档题．
5.【答案】D;
【解析】
该题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象力，属于基础题．
利用已知条件说明三棱锥是长方体的一个角，扩展几何体为长方体，求出外接球的半径，然后求解球的体积．
解：在三棱锥中，，
可得，，，则三棱锥可看作是长方体的一个角，三棱锥的外接球即长方体的外接球，
外接球的半径为：．
外接球的体积为：．
故选：．
6.【答案】C;
【解析】
此题主要考查球的表面积的计算，考查正方体与球的切接问题，难度不大.
根据题意，正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，求出半径，计算面积.
解：根据题意，正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，所以球的半径，从而球的表面积
故选
7.【答案】C;
【解析】解：因为，，两两垂直，，，
所以，
取的中点，连接，则，
所以，的面积为，
所以四面体的表面积，
又四面体的体积，
设四面体内切球球心为，半径为，则，
即，
所以四面体内切球的半径，
故选：
由题意求得四面体的表面积，再求出四面体的体积，设出内切球球心和半径，根据即可求得答案．
此题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
8.【答案】B;
【解析】解：连结，，易证得是矩形，
则三棱柱是球的内接直三棱柱，
，，
，即，
又，，，
球的半径，
球表面积为：．
故选：．
连结，，说明三棱柱是球的内接直三棱柱，求出球的半径，即可求解球的表面积．
点评：此题主要考查球的表面积公式，以及球内接三棱柱的关系，考查空间想象能力以及计算能力．
9.【答案】CD;
【解析】解：对于，圆柱的底面直径和高都与一个球的直径相等，
圆柱的侧面积为，故错误；
对于，圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，
圆锥的侧面积为，故错误；
对于，圆柱的侧面积为，球面面积为，
圆柱的侧面积与球面面积相等，故正确；
对于，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，
球的表面积为，
圆锥的表面积最小，故正确．
故选：
分别求出圆柱、圆锥的侧面积和表面积，再求出球的表面积，由此能求出结果．
此题主要考查命题真假的判断，考查圆柱、圆锥的侧面积和表面积、球的表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了球的表面积，考查学生的计算和推理能力，属于中档题.
设出内外球半径分别为，，从而结合题意即可知和的关系，进而求得和，从而求解.
解：设内外球半径分别为，，则正方体的棱长为，体对角线长为，
，又由题知，
，，正方体棱长为，体对角线长为，
外球表面积为，故、正确．
故选
11.【答案】BD;
【解析】解：对于，圆柱的底面直径和高都等于，
所以圆柱的体积为，选项错误；
对于，圆锥的底面直径和高等于，
所以圆锥的侧面积为，选项正确；
对于，圆柱的侧面积为，
圆锥的表面积为，
所以圆柱的侧面积与圆锥的表面积不相等，选项错误；
对于，圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
球的体积为，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为：：：：，选项正确．
故选：
根据题意，分别求出圆柱、圆锥、球的表面积和体积，再判断选项中的命题是否正确．
此题主要考查了圆柱、圆锥、球的表面积及体积计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
12.【答案】ACD;
【解析】解：在鳖臑中，四个面都为直角三角形，
可知的中点到四个顶点的距离都相等，
所以的中点是鳖臑外接球的球心，
因为外接球的体积为，得外接球的半径，
，设，，则，得，
，
当且仅当时，取得最大值，
故正确，错误；
中，，且，平面，
即为与平面所成角，正弦值为，故正确；
设鳖臑内切球的半径为，
则，
，
解得，故正确．
故选：
根据外接球的体积为，得外接球的半径，再根据基本不等式，即可求得当时，鳖臑体积的最大值为，由此判断，选项，由为与平面所成角，可以判断选项，
根据体积相等可以求出内切球的半径，可以判断选项．
此题主要考查了三棱锥的体积和内切球的体积计算，属于中档题．
13.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查外接球的表面积和体积，根据等三棱锥体积即可求出高，然后根据线面垂直求出外接球的半径，进而求出体积和表面积，属于中档题.
解：设三棱锥的高为，
由题知，，
则三棱锥的高，设为三角形的外接圆的圆心，连接，
则平面
因为，所以为的中点，所以，
在三角形中，，
所以，
所以
故球的表面积为，体积为
故选
14.【答案】;
【解析】解：设为正三棱锥底面的中心，球的半径为，
则，
三角形为直角三角形，
，
设球心为，连接，，，
则在直角三角形中，，，
由得：，
解得：．
取中点，连接，
因为，所以，
又因为，为的四等分点，
所以，，
所以，，
当垂直于过的截面时，此截面面积最小，设此时截面圆的半径为，
则，故此时截面圆的面积为．
故填：．
利用直角三角形的三边，利用勾股定理求出球的半径，再求出球心到点的距离，当截面圆面积最小时，球心到点的距离最远即，即可求出最小的截面圆面积．
此题主要考查了球的截面圆问题，对计算能力和空间想象能力都有较高的要求，属于难题．
15.【答案】;
【解析】解：将四面体放回一个正方体中，使正四面体的棱都是正方体的面对角线，
则正四面体和正方体的外接球是同一个球，
当是截面圆的直径时，截面面积最小，
外接球的表面积是，
则球的直径为，
则正方体的体对角线为，棱长为，面对角线为，
截面面积最小值为．
故答案为：．
将四面体放回一个正方体中，使正四面体的棱都是正方体的面对角线，则正四面体和正方体的外接球是同一个球，当是截面圆的直径时，截面面积最小，由此能求出截面面积的最小值．
此题主要考查截面面积的最小值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
16.【答案】;
【解析】解：在三棱锥中，平面，，
以，，为长宽高构建长方体，
则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，
三棱锥的外接球的半径，
三棱锥的外接球的体积为：
故答案为：．
以，，为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的体积．
该题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
17.【答案】14400π;
【解析】解：记两球面的交线为圆，其大圆截面如图所示，
则，且，
解得，，且圆的半径为，
两球体的公共部分可看作两个球缺，
小球中的球缺高为，，
大球中的球缺高为，，
故
故答案为：
作出大圆截图，利用弦心距、直角三角形得到两个球缺的高，再利用球的体积公式、球缺的体积公式进行求解．
此题主要考查球的几何性质，球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
18.【答案】;
【解析】解：设球心为，半径为，到底面的距离为，则
四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面是等边三角形，且有侧面底面，
四棱锥的高为，底面正方形外接圆半径为，
，
，
，
四棱锥的外接球表面积为．
故答案为：．
确定四棱锥的高为，底面正方形外接圆半径为，利用勾股定理计算出四棱锥的外接球的半径，即可求出四棱锥的外接球表面积．
此题主要考查四棱锥的外接球表面积，考查学生的计算能力，确定四棱锥的外接球的半径是关键．
19.【答案】解：（1）∵内壁底面半径为5，高为2，
∴圆柱体积V=π 52 2=50π；
（2）溢出水的体积==36π．;
【解析】
利用圆柱的体积公式求圆柱体积；
利用球的体积公式求溢出水的体积．
本题着重考查了球体积公式和圆柱体积公式等知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：设球心为O，△ABC外接圆的圆心为O′，设球的半径为2r，
则OO′=r，如图所示；
又AB=18，BC=24，AC=30，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形；
∴O′A=AC=15；
在Rt△OO′A中，（2r）2=152+，
解得r=5，
∴球的半径为R=2r=10；
∴球的表面积为S=4π =1200π，
体积为V==4000π．;
【解析】
设球心为，外接圆的圆心为，由勾股定理知是直角三角形，
由题意求出球的半径，再计算外接球的表面积和体积．
此题主要考查了球的表面积和体积的应用问题，涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面问题，是中档题．
21.【答案】
解：根据题意得，，表示圆锥底面半径
作出圆锥的轴截面，如图所示：
所以，，为球的半径，
所以∽，
所以，即，解得，
所以球的体积为，
圆锥的体积为，
所以圆锥体剩余的空间体积为
;
【解析】
此题主要考查圆锥的性质，以及球的体积.
利用勾股定理，即可计算；
利用圆锥的体积，与球的体积，即可得.
22.【答案】解：（1）∵三棱锥A-BCD是一鳖臑，其中AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，AC⊥CD，且高AB=3，BC=CD=，
∴三棱锥A-BCD的体积，
三棱锥A-BCD的表面积SA-BCD=S△BCD+S△ABC+S△ACD+S△ABD=，
（2）由条件知，可将三棱锥A-BCD补成一个长方体，则三棱锥的四个顶点也为长方体的顶点，
因此长方体的外接球也为三棱锥的外接球，即为三棱锥外接球的直径，
因为，所以三棱锥A-BCD外接球体积，
V外接球=π（）3=，
记内切球的球心为O，连结OA，OB，OC，OD，得到四个等高的三棱锥，
且该高为内切球的半径r，则VA-BCD=VO-ABD+VO-ACD+VO-ABC+VO-BCD，
得VA-BCD= SA-BCD表面积 r=（9） r=3，
所以，
故三棱锥A-BCD内切球的半径为．;
【解析】
直接代入表面积以及体积计算公式求解即可，
根据长方体的外接球也为三棱锥的外接球，以及等体积转化即可求解结论．
此题主要考查三棱锥的体积和表面积；外接球以及内切球的体积，属于中档题．
23.【答案】解：由题意知，该几何体是由一个圆柱和半球拼凑而成的组合体，
其中圆柱和半球的底面半径均为，圆柱的高为，
圆柱的底面积：，
圆柱的侧面积：，
半球球冠的表面积：，
则该几何体的表面积：
圆柱的体积：，
半球的体积：，
则该几何体的体积：
;
【解析】此题主要考查了圆柱和球的表面积和体积计算，属于基础题．
由题意知旋转后的几何体是由一个圆柱和半球拼凑而成的组合体，分别求圆柱和球的表面积和体积，相加即可．