人教B版（2019）必修第四册《11.2 平面的基本事实与推论》同步练习（含解析）

人教B版（2019）必修第四册《11.2 平面的基本事实与推论》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列判断不正确的是
A. 若，，则
B. 若，都与相交且，则直线，，共面
C. 若，，，则
D. 若，，两两相交，且交于同一点，则直线，，共面
2.（5分）在棱长为的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，经过，，三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的周长为
A. B. C. D.
3.（5分）如图，已知四面体为正四面体，分别是中点若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为
A. B. C. D.
4.（5分）已知三个互不重合的平面，，，且，，，给出下列命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，则．
其中正确命题个数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.（5分）如图，在四面体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列说法中不正确的是

A. ，，，四点共面 B.
C. D. 四边形为梯形
6.（5分）已知正方体的棱长为，点为棱中点，则过点与垂直的平面截正方体所得的截面面积为
A. B. C. D.
7.（5分）用符号表示“点在直线上，直线在平面外”，正确的表示是
A. B. C. D.
8.（5分）下列四个命题：三点确定一个平面；一条直线和一个点确定一个平面；若四点不共面，则每三点一定不共线；三条平行直线确定三个平面．其中正确的有
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列四个命题中正确的是
A. 若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面
B. 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D. 两条异面直线不可能垂直于同一个平面
10.（5分）已知，为异面直线，平面，平面直线满足，，，，则下列说法不正确的是
A. 且 B. 且
C. 与相交，且交线垂直于 D. 与相交，且交线平行于
11.（5分）如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，有以下结论正确的是
A. 与平行；
B. 与共面；
C. 与的交点可能在直线上，也可能不在直线上；
D. 与的交点一定在直线上．
12.（5分）在四面体中，，，，，分别为，，，， 的中点， 则下列说法中正确的是
A. ， ， ， 四点共面 B.
C. ∽ D. 四边形为梯形
13.（5分）正方体的棱长为，已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是
A. 截面形状可能为正三角形
B. 截面形状可能为正方形
C. 截面形状可能为正六边形
D. 截面面积最大值为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图，，，，分别是正方体所在棱的中点，则这四个点共面的图是________填序号
15.（5分）如图所示，在正方体中，点是边的中点 动点在直线除两点上运动的过程中，平面可能经过的该正方体的顶点是________写出满足条件的所有顶点
16.（5分）共点的三条直线最多可确定______个平面．
17.（5分）如图，已知三棱锥，点是的中点，且，，过点作一个截面，使截面平行于和，则截面的周长为 ______ .
18.（5分）三条直线相交于一点，则它们最多能确定______个平面．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，在正方体中，，为所在棱的中点，求证：四点共面.
20.（12分）如图，是正方体的棱的延长线上的一点，、是棱、的中点，试分别画出：
过点、、的平面与正方体表面的交线；
过点、、的平面与正方体表面的交线．
21.（12分）如图所示，正方形，延长至，使得．
经过作正方体的截面图形；
求出截面为底面为顶点的多面体面积．
22.（12分）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，在上，在上，且有：：：，求证：、、交于一点．
23.（12分）
23-1.如图所示，正方体中，、分别是和的中点．
求证：、、、四点共面；
、、三线共点．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：由，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，得：
对于，若，，则由线面垂直的性质得，故正确；
对于，若，都与相交且，则，共面，且上有两个点在这个平面内，
故直线，，共面，故正确；
对于，若，，，则由面面平行的判定定理得，故正确；
对于，若，，两两相交，且交于同一点，则直线，，有可能不共面，
例如墙角相交的三条直线，故错误．
故选：
对于，由线面垂直的性质得；对于，，共面，且上有两个点在这个平面内，故直线，，共面；对于，由面面平行的判定定理得；对于，直线，，有可能不共面．
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
2.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了正方体的结构特征，考查了平面被正方体截得的图形问题，主要考查空间想象能力和计算能力，属于基础题．
根据题意，平面被此正方体所截得截面图形为正六边形，计算其周长即可．

解：设，，，分别为棱，，的中点，
则由题意可得，则平面被此正方体所截得截面图形为正六边形，
又正六边形的边长，
所以平面被此正方体所截得截面图形的周长为，
故选：

3.【答案】B;
【解析】

此题主要考查与棱锥截面有关的面积计算，属于较难题.
将已知图象补成正方体，得到截面为平行四边形，再运用基本不等式得到截面面积最大值.
【解析】
解：补成正方体，如图.
截面为平行四边形，
可得，
又 且
可得
当且仅当时取等号，
选
4.【答案】C;
【解析】解：三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，
当三条交线交于一点时，若，，则，夹角不确定，故①不正确，
若，，则，又，得到，故③正确，
综上可知三个命题正确，
故选：．
三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，当三条交线交于一点时，若，，则，夹角不确定，若，，则，又，得到，得到结论．
此题主要考查平面的基本性质即推论，本题解答该题的关键是正确理解线面之间的位置关系，不要漏掉某种位置关系．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查的是关于平行四边形的判定以及四点共面的判定，中位线定理及等角定理的应用，属于基础题.

解：因为、、、、分别是，，，，的中点，
所以有，，所以，
故、、、四点共线，正确；
因为，，由平行线性质定理知，，故正确；
因为，，，故与的内角对应相等，
所以有，与相似正确；
由上可知，，，
故四边形为平行四边形所以错误.
应选
6.【答案】C;
【解析】解：过点与垂直的平面被正方体截面是以
，，，，，中点，，，，，为顶点，
边长为的正六变形，
因为平面，平面平面，
所以平面，且面积为．
故选：．
作出截面图形，计算正六边形的面积，即可得出答案．
该题考查正方体中的截面面积问题，考查空间想象能力，运算求解能力，求解时注意平行性质的应用，属于中档题．
7.【答案】B;
【解析】点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合间的关系，直线与平面之间的关系是集合与集合之间的关系.
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了平面的公理与性质的应用问题，是基础题．
根据平面的公理与性质，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．

解：对于①，不在同一直线上的三点确定一个平面，①错误；
对于②，一条直线和这条直线外的一个点确定一个平面，②错误；
对于③，若四点不共面，则每三点一定不共线，
假设有三点共线，则这四点一定共面，
这与已知四点不共面矛盾，假设不成立，③正确；
对于④，三条平行直线可以确定一个或三个平面，④错误；
综上，其中正确的命题序号是③．
故选：
9.【答案】ABD;
【解析】此题主要考查点、线、面之间的性质关系，属于基础题.
根据点线面之间的关系逐个判断即可.解：对于，两条相互平行的直线可以确定一个平面，正确；
对于，如果有三点共线，因为直线及直线外一点确定一个平面，
所以这四个点必共面，与四点不共面矛盾，所以正确；
对于，两条平行直线可以确定一个平面，也没有公共点，选项错误；
对于，垂直于同一个平面的的两条直线一定平行，
所以两条异面直线不可能垂直同一平面，正确，
故选
10.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查线线，线面的位置关系的判断，是基础题.
根据题中条件得，，与相交，且交线平行于由选项可得结论.

解：根据所给的已知条件作图，如图所示．

因为平面，直线满足，且，所以，
又平面，，，所以
由直线，为异面直线，且平面，平面，则与相交，
否则，若则推出，与，异面矛盾．故与相交，且交线平行于故正确.
故选
11.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了平面的基本性质及应用，空间中两直线间的位置关系，属于基础题．
如图所示．连接，，依题意，可得，，即可得出，，，共面，又，，可得与必相交，设交点为，可得点在平面与平面的交线上，又是这两个平面的交线，即可得出点一定在直线上，从而可求解．
解：如图所示．连接，，



依题意，可得，，
所以，
所以共面，
因为，，
所以四边形是梯形，与必相交，设交点为，
因为点在上，故点在平面上，
同理，点在平面上，
所以点在平面与平面的交线上，
又是这两个平面的交线，
所以点一定在直线上．
故选
12.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查空间四点共面的判断，空间等角定理，空间三角形的相似问题，
利用空间点，线，面的位置关系，及等角定理 逐项判断

解：由于，为，的中点，所以，且，
由于，是，的中点，所以，
所以，平行且相等，故为平行四边形，故对，错
由，，，，分别为，，，，的中点，
可得：，
，
，
由平行关系，及等角定理可判断对.
由长度关系可判断对.
故选
13.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查了平面与正方体相交的截面问题，需要一定的空间想象能力，属于中档题．
画出图形，根据题意逐个加以判断即可．
解：如图，结合正方体体对角线的相关性质可知，成立，
下面说明成立，
如图截得正六边形，面积最大，，，
，
所以，故成立．
故选、、
14.【答案】①②④;
【解析】

此题主要考查四点是否共面的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．
判断，，，构成的直线为平行还是异面可得结论，逐一判断即可.
解：①
从图中可以看出，，故，四点共线；
②
从图中可看出，确定一平面，而在面内，故与共面，四点共面；
③
从图中可看出，确定一平面，而不在面内，故与异面，四点不共面；
④
从图中可看出，，则，即四点共面；
故答案为①④.
15.【答案】;
【解析】
该题考查正方体的结构特征及平面的基本性质，取的中点，取的中点，，在平面的两侧，可得结论．
解： 取的中点，则，，，四点共面，，在平面的两侧，故与平面相交，满足题意；
取的中点，则，，，四点共面，，在平面的两侧，故与平面相交，满足题意；
显然满足，
所以动点在直线除，两点上运动的过程中，平面可能经过的该正方体的顶点是，，．
故答案为．
16.【答案】;
【解析】
该题考查的是平面的确定，属容易题．
利用两条相交线确定一个平面，可得最多情况为每两条直线都能确定一个平面．
解：
如图，
，确定一个平面，
同理，和，也分别确定一个平面，
故最多为个．
故答案为．

17.【答案】6;
【解析】解：如图所示，过点作，交于点，过点作，交于点，过点作，交于点，
由平行公理可得，所以四边形是平行四边形，
所以，，
所以截面四边形的周长为
故答案为：
过点作，交于点，过点作，交于点，过点作，交于点，由平行公理可证四边形是平行四边形，从而得到四边形的边长，利用周长公式计算即可．
此题主要考查了截面周长的求解，主要考查了截面的作法，解答该题的关键是是准确作出截面，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
18.【答案】3;
【解析】解：当三条直线共面时，显然这三条直线只确定个平面，
当三条直线不共面时，以三棱锥的三条侧棱为例，任意两条侧棱都确定一个侧面，
而三棱锥有三个侧面，
故相交于一点的三条直线最多可确定个平面，
故答案为：．
根据任意相交直线都可确定一个平面来计算．
该题考查了平面的基本性质，属于基础题．
19.【答案】证明：如图所示，

在上取中点，则，连接，
因为是正方体，所以且
所以且 ，
所以四边形是平行四边形，
所以
同理可得且，
所以且，
所以四边形是平行四边形．
所以，，，四点共面．;
【解析】要证，，，四点共面，只要证四边形是平行四边形．即证一组对边平行且相等，在上取中点，利用正方体的性质，即证明。
20.【答案】解：如图，过点A、C、G的平面为平面AC1H，
过点G、A、C的平面与正方体表面的交线分别为：
AH，HI，IC，AC．

（2）如图，过点E、F、D1的平面为平面EFRD1O，
过点E、F、D1的平面与正方体表面的交线分别为：
D1O，OE，EF，FR．RD1．
;
【解析】
作出平面图形，依据图形寻找平面与正方体表面的交线．
此题主要考查平面与正方体表面的交线的画法，是基础题，解题时要认真审题．
21.【答案】解：（1）如图截面MNC1A1，即为所求．
（2）由（1）知，M，N为中点，设正方体棱长为1，
所以三角形DNC1，DMA1，面积相等为=，
△DMN面积为=，△DA1C1面积为×（）2=，
MNC1A1为等腰梯形，面积为[（+）×]=，
所以多面体的面积为．;
【解析】
由题意判断各面形状求面积．
该题考查立体几何截面问题，属于中档题．
22.【答案】证明：连接AC，
∵E，H分别为BC，AB的中点，F在CD上，G在AD上，
且有DF：FC=DG：GA=2：3，
∴HE∥AC，GF∥AC，∴HE∥GF，
则E，F，G，H四点共面，而HG与EF不平行，
不妨设EF，HG交于点P，
∴P∈面BCD，且P∈面ABD，而面BCD∩面ABD=BD，∴P∈BD，
∴EF、GH、BD交于一点．;
【解析】
连接推导出，则，，，四点共面，不妨设，交于点，求出，由此、、交于一点．
该题考查三线共点的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
23.【答案】证明：连接，，，
，分别是，的中点，
，，
，
由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．
分别延长，，交于点，
，面，
面
是的中点，，
是的中点，
连接，，
，
，，三线共点于
;
【解析】由三角形中位线定理和平行公式，得到，再由两条平行线确定一个平面，得到，，，四点共面．
分别延长，，交于点，由，面，知面再由三角形中位线定理证明，，三线共点于