人教B版（2019）必修第四册《11.3.1 平行直线与异面直线》同步练习（含解析）

人教B版（2019）必修第四册《11.3.1 平行直线与异面直线》同步练习
一 、单选题（本大题共15小题，共75分）
1.（5分）下列结论正确的是
A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B. 若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直
C. 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线
D. 若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行
2.（5分）若，为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是
A. 至少与，中一条平行 B. 至少与，中一条相交
C. 至多与，中一条相交 D. 必与，中一条相交，与另一条平行
3.（5分）异面直线是指
A. 空间中两条不相交的直线 B. 分别位于两个不同平面内的两条直线
C. 不同在任何一个平面内的两条直线 D. 平面内的一条直线与平面外的一条直线
4.（5分）在正方体中，与其对角线异面的面对角线有
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
5.（5分）如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是
A. 与不可能平行 B. 与是异面直线
C. 点的轨迹是一条线段 D. 三棱锥的体积为定值
6.（5分）如图正方体中，与对角线异面的棱有
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
7.（5分）已知，是异面直线，直线直线，则与的位置关系是
A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线
C. 不可能是平行直线 D. 不可能是相交直线
8.（5分）已知直线，，，若，，则与的位置关系是
A. 异面直线 B. 相交直线
C. 平行直线 D. 相交直线或异面直线
9.（5分）如图所示，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的一个图是
A. B.
C. D.
10.（5分）设直线，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则与
A. 共面 B. 相交 C. 异面 D. 异面或相交
11.（5分）在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是
A. 点的轨迹是一条线段 B. 三棱锥的体积为定值
C. 与是异面直线 D. 与不可能平行
12.（5分）设四面体的六条棱的长分别为和，若长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是
A. B. C. D.
13.（5分）过直线外两点，作与平行的平面，则这样的平面
A. 不可能作出 B. 只能作出一个
C. 能作出无数个 D. 上述三种情况都存在
14.（5分）若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有
A. 对
B. 对
C. 对
D. 对
15.（5分）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共8小题，共40分）
16.（5分）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，有下列四个命题：①若，，则；②若，，那么；③若，，那么；④若，，那么与所成的角和与所成的角相等其中正确命题的序号是____________________.
17.（5分）从正方体的个顶点中任取个顶点连成一条直线，在所有的直线中能构成异面直线的有______对．用数字作答
18.（5分）如图，点，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形有________填序号
19.（5分）在图中，、、、分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线、是异面直线的图形有______填上所有正确答案的序号
20.（5分）在正方体中，棱与其余棱所在直线构成的异面直线共有 ______ 对；棱与各面对角线所在的直线构成的异面直线共有 ______ 对；面对角线与其余面对角线所在直线构成的异面直线共有 ______ 对．
21.（5分）正方体条棱所在直线中成异面直线的有 ______ 对．
22.（5分）在空间中，下列命题正确的序号为__________.
不相交的两条直线一定平行； 垂直于同一直线的两直线一定平行；
两组对边相等的四边形为平行四边形； 平行于同一直线的两直线一定平行；
已知、是两条异面直线，，那么与的位置关系是异面；
过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直．
23.（5分）在正方体中，与对角线异面的棱共有_________条．
三 、多选题（本大题共7小题，共35分）
24.（5分）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是
A. 与平行
B. 与是异面直线
C. 与是异面直线
D. 与是异面直线
25.（5分）如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：其中正确的结论为
A. 直线与是相交直线 B. 直线与是异面直线
C. 直线与是平行直线 D. 直线与是异面直线
26.（5分）如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形为
A. B. C. D.
27.（5分）给出下列命题，其中正确的命题是
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；
③直线平面，直线直线，则；
④，是异面直线，则存在唯一的平面，使它与，都平行且与，的距离相等．
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
28.（5分）下列命题中，错误的有
A. 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
B. 经过两条相交直线，有且只有一个平面
C. 没有公共点的两条直线是异面直线
D. 若，是两条直线，，是两个平面，且，，则，是异面直线
29.（5分）下列命题正确的是
A. 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
B. 如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
C. 若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面；
D. 若平面平面，直线，直线，则直线
30.（5分）如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是
A. 与平行 B. 与是异面直线
C. 与是异面直线 D. 与是异面直线
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面相交或重合，故错误；
若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直，故错误；
过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线，故正确；
若两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故错误．
故选：
由三个公共点是否共线，可判断；由线面垂直的判定定理可判断；由异面直线的判定定理可判断；由线面角的定义、以及两直线的位置关系，可判断
此题主要考查空间中线线、线面和面面的位置关系，考查推理能力和空间想象能力，属于基础题．
2.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了空间两条直线的位置关系异面，相交，平行，属中档题.
解：若直线与，均平行，由平行公理，可得，这与，异面矛盾，故选项错误；
可以与，两条直线都相交，有两个不同的交点，也可以只与，中的一条相交，再结合选项的分析，故选项正确；
可以与，两条直线都相交，有两个不同的交点，故选项错误；
可以与，中一条相交，与另一条平行，但是不一定，结合前三个选项的分析，故选项错误.
3.【答案】C;
【解析】解：因为空间中两条不相交的直线也可能平行，故选项错误；
分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交，故选项错误；
根据异面直线的定义，不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线，故选项正确；
因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交，故选项错误．
故选：
利用异面直线的定义对选项进行分析判断，也可通过举反例来进行排除选项，从而得到答案．
此题主要考查了异面直线的定义，涉及了异面直线的判定，判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理．
4.【答案】C;
【解析】根据判断定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线根据题意，画出如下图形：由图形可知，与其对角线异面的面对角线是：，，，，，故选
5.【答案】A;
【解析】解：设平面与直线交于，连接，，
则为的中点，分别取，的中点，，
连接，，，
如图，，平面，平面，
平面，同理可得平面，
又、是平面内的两条相交直线，
平面平面，而平面，平面，
得点的轨迹为一条线段，故正确；
并由此可知，当与重合时，与平行，故错误；
平面平面，和平面相交，与是异面直线，故正确；
，则点到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，故正确．
故选：
设平面与直线交于，连接，，则为的中点，分别取，的中点，，连接，，，证明平面平面，即可分析选项的正误；再由，得点到平面的距离为定值，可得三棱锥的体积为定值判断
此题主要考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．
6.【答案】C;
【解析】此题主要考查异面直线的定义和判定方法，由异面直线的定义即可求解.解：
与对角线异面的棱有

共条.
故选
7.【答案】C;
【解析】解：若，是异面直线，直线直线，则与不可能是平行直线．且可能相交，假设，则有，得出，是共面直线．与已知，是异面直线矛盾．
故选：．
通过反证法的思想，可以判断出C错误．
该题考查了直线和直线的位置关系，异面直线的概念．
8.【答案】D;
【解析】解：如图，，，与异面，
，，与相交，
若，，则与的位置关系：相交或异面．
故选
利用正方体的空间结构求解．
此题主要考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
9.【答案】C;
【解析】
此题主要考查异面直线的定义，正方体的性质，判断两条直线的位置关系，属于基础题．
利用异面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的条直线的位置关系，把
满足条件的选项找出来．

解：中的与是两条平行且相等的线段，故选项不满足条件．
中的与是两条平行且相等的线段，故选项也不满足条件．
中，由于平行且等于，故四边形为梯形，
故与是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项不满足条件．
中的与是两条既不平行，又不相交的直线，故选项满足条件．
故选


10.【答案】D;
【解析】解：如图，长方体中，

当所在直线为，所在直线为时，与相交；
当所在直线为，所在直线为时，与异面，
长方体相邻两面的对角线必相交或异面．
故选：
作出对应图形，可判断，直线的位置关系．
此题主要考查两直线位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
11.【答案】D;
【解析】解：如图，

取的中点，取的中点，连接，，可得，
连接，由正方体的结构特征可知，四边形为矩形，则，
，平面平面，
而是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则在线段上，故正确；
当与重合时，，故错误；
平面，则到平面的距离为定值，又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故正确；
平面，平面，，平面，由异面直线的定义可得与是异面直线，故正确．
故选：
证明面面平行，由平面与平面平行的性质判断；由直线与平面平行结合棱锥的体积公式判断；由异面直线的定义判断；举例说明错误．
此题主要考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】C;
【解析】此题主要考查三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论.先在三角形中求出的范围，再在三角形中求出的范围，二者相结合即可得到答案.解：设四面体的底面是，，，顶点为，，在三角形中，因为两边之和大于第三边可得：， ，
取中点，
因为是中点，直角三角形全等于直角，
所以在三角形中，，因为两边之和大于第三边，
所以解得，负值值舍，
由得
故选
13.【答案】D;
【解析】设直线外两点为、，若直线，则过、可作无数个平面与平行；若直线与异面，则只能作一个平面与平行；若直线与相交，则过、没有平面与平行．
14.【答案】C;
【解析】
此题主要考查异面直线相所成角，属于中档题．
正方体中，在连接正方体的各个顶点的所有直线中，若要出现所成角为的异面直线，则直线需为面对角线，由此能求出所求的黄金异面直线对共有多少对．
解：在正方体中，若要出现所成角为的异面直线，
则直线为面对角线，以为例，与之构成“黄金异面直线对”的直线有条，分别是，，，，
正方体的面对角线有条，所以所求的“黄金异面直线对”共有对
故选
15.【答案】C;
【解析】解：从三棱柱的六个顶点中任取两点作直线，可做直线条
从这条直线中任取两条，共种
其中成异面直线可分为以下几类：
侧棱与底面边：有对．
侧棱与侧面对角线：有对．
底面边与侧面对角线：有对．
底面边与底面边：有对．
侧面对角线与侧面对角线：对．
共对．
故选：．
先求出总共可以做多少直线，然后通过分类找出能成为异面直线的数量．
此题主要考查异面直线的判定，要求弄精确分类．分类较容易出错，每一类中比较容易重复或遗漏．要有较强的空间想象力和观察力．属较难题．
16.【答案】②③④
;
【解析】
此题主要考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，逐项分析即可得解.
解：①如果，，则可能，可能，可能与斜交，可能在内，故错误；
②如果，则存在直线，使，由，可得，那么，故正确；
③如果，，那么与无公共点，则，故正确；
④如果，，那么与所成的角和与所成的角相等，故正确.
故答案为②③④.
17.【答案】174;
【解析】解：由一个三棱锥有对异面直线，
又一组点不共面则可确定一个三棱锥，
又从正方体的个顶点中任取个点，则不共面的共有组，
故所有的直线中能构成异面直线的有对，
故答案为：．
由异面直线的判定及空间几何体的特征得：一个三棱锥有对异面直线，又一组点不共面则可确定一个三棱锥，又从正方体的个顶点中任取个点，则不共面的共有组，故所有的直线中能构成异面直线的有对，得解．
该题考查了异面直线的判定及空间几何体的特征，属中档题．
18.【答案】②④;
【解析】
此题主要考查直线的位置关系，涉及异面直线的判定，属基础题，分别由图可判①中与平行；图②中的与异面；图③中与相交；图④中与异面．
解：由题意可得图①中与平行，不合题意；
图②中的与异面，符合题意；
图③中与相交，不合题意；
图④中与异面，符合题意．
故答案为②④.


19.【答案】（2）、（4）;
【解析】解析：如题干图中，直线；
图中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；
图中，连接，，因此，与共面；
图中，、、共面，但面，与异面．
所以图、中与异面．
故答案为：、
图中，直线，图中面，图中，图中，面．
该题考查异面直线的定义和异面直线的判定方法，体现了数形结合的数学思想．
20.【答案】4；6；5;
【解析】解：在正方体中，棱与，，，所在直线构成的异面直线共有对；棱与各面对角线，，，，，所在的直线构成的异面直线共有对；面对角线与其余面对角线所在直线，，，，构成的异面直线共有对；
故答案为：，，
画出长方体，根据其性质以及异面直线的定义解答．
此题主要考查异面直线的判定方法，根据异面直线的定义解答．
21.【答案】;
【解析】
在正方体中，与棱异面的有，，，共对，正方体有条棱，由此能求出异面直线共有多少对．
此题主要考查异面直线的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意正方体的结构特征的合理运用．

解：如图，在正方体中，
与棱异面的有，，，共对，
正方体有条棱，
排除两棱的重复计算，
异面直线共有对．
故答案为：．

22.【答案】;
【解析】

此题主要考查空间中直线与直线的位置关系.
根据概念和定理逐项判断即可.

解：不相交的两条直线平行或异面，所以不正确；
垂直于同一直线的两直线可以相交、平行、异面，所以不正确；
必须强调出在同一个平面内，所以不正确；
根据平行公理，得出平行于同一直线的两直线一定平行，所以正确；
、是两条异面直线，，那么与的位置关系是异面或相交，所以不正确；
过直线上一点作任意两条与该直线垂直的直线，由这两条相交直线确定的平面是的垂面，平面上有无数条直线过点，且这些直线都垂直于直线，所以正确.
故答案为
23.【答案】;
【解析】
此题主要考查异面直线的判定方法，在每个面上找出和对角线异面的棱，是解题的难点，根据异面直线的定义，在每个面上找出和对角线异面的棱，可得结果，属基础题.

解：在正方体的每个面上都有一条棱和对角线异面，它们分别为：共有条，
故答案为
24.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，属于基础题.
将展开图还原成正方体后即可求解.
解：将正方体的展开图还原为正方体，如图所示，

可得与是异面直线；与平行；与是异面直线；与是异面直线．
故选
25.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查学生推理能力，属于基础题．
根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线．

解：、、、四点不共面
直线与是异面直线，故错误；
同理，直线与是异面直线，故正确；
同理，直线与也是异面直线，故错误．
同理，直线与是异面直线，故正确；
故选
26.【答案】BD;
【解析】解：异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．”
根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线、是异面直线；
在图中，由、均为棱的中点可知：；
在图中，、均为棱的中点，四边形为梯形，则与相交．
故选：
判定异面直线的方法：①根据它的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．”②定义法：不在同一个平面内的．两条直线称为异面直线；③反证法：既不平行又不相交的直线即为异面直线．
此题主要考查空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于基础题．
27.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查空间线线，线面位置关系，考查空间想象能力，属于基础题.
通过举反例可得错误；利用面面平行的性质定理与线面平行的判定定理可确定正确直线可能在平面内确定错误；作出图形可证明正确.

解：错误如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交.
正确平面，，，，且、分别为、的中点，过作交平面于，连接、

设是的中点，则，
平面，平面
平面平面平面
，
错误直线可能在平面内；
正确如图，设是异面直线、的公垂线段，为的中点，过作，，
则、确定的平面即为与、都平行且与、距离相等的平面， 并且它是唯一确定的.

故选。
28.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查平面的性质，异面直线的定义，属于基础题.
根据平面性质以及异面直线定义逐项判断即可.

解：对于，根据平面的基本性质，当两个平面相交时，三个公共点在交线上，故两个平面有三个公共点时，两个平面还可以相交，不一定重合，错误；
对于，经过两条相交直线，有且只有一个平面，正确；
对于，没有公共点的两条直线可能是异面直线也可能是平行直线，错误；
对于，分别在两个平面内的直线，不一定是异面直线，也可能是平行或相交直线，错误.
故选
29.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查命题真假的判断，是基础题.
解题时要注意空间思维能力的培养利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解即可.

解：若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故正确
若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交，平行或线在面内，故错；
若直线与平面平行，则由直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，故正确.
若平面平面，直线，直线，则直线或两直线异面，故错.
故答案为
30.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，属于基础题.
将展开图还原成正方体后即可求解.解：将正方体的展开图还原为正方体，如图所示，

可得与是异面直线；与平行；与是异面直线；与是异面直线．
故选