人教B版（2019）必修第四册《11.3.3 平面与平面平行》同步练习（含解析）

人教B版（2019）必修第四册《11.3.3 平面与平面平行》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，且，，，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.（5分）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是
A. 若与所成的角等于与所成的角，则
B. 若与所成的角等于与所成的角，则
C. 若，，则与所成的角等于与所成的角
D. 若，则与所成的角不可能等于与所成的角
3.（5分）下列叙述中正确的是
A. 若，，，则“”的充分条件是“”
B. 若，，，则“”的充要条件是“”
C. 命题“对任意，有”的否定是“存在，有”
D. 是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则
4.（5分）若平面平面，直线平面，则直线与平面的关系为
A. B. C. 或 D. 相交
5.（5分）已知直线，，平面，，下列命题正确的是

A. ，
B. ，，，，
C. ，，
D. ，，，，
6.（5分）设为不重合的平面，为不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是
①，，则； ②若，，，，则；
③若，，则； ④若相交都在外，，，，，则
A. B. C. D.
7.（5分）不同的直线和，不同的平面，，，下列条件中能推出的是
A. ，， B. ，
C. ，， D. ，，
8.（5分）如下命题中，正确的命题个数是
①若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行。
②若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.
③若，，则
④若，，则
⑤若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一平面.
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列各条件，可以判断的是
A. ，，且，，，交于一点
B. ，，且，
C. ，，且
D. ，，，，且，互为异面直线
10.（5分）如图，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，过的平面与棱，分别交于点，设，下列结论正确的是
A. 四边形一定是菱形
B. 平面
C. 四棱锥的体积为定值
D. 四边形的面积在区间上单调递增
11.（5分）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点和点到平面的距离相等
12.（5分）已知，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是
A. 若，，则直线平行于平面内的无数条直线
B. 若，，则
C. 若，，，则与是异面直线
D. 若，，则，一定相交
13.（5分）在正方体中，，，分别是，，的中点，给出下列四个推断：
其中推断正确的序号是
A. 平面；
B. 平面；
C. 平面；
D. 平面平面
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图，在棱长为的正方体中，，分别是的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为_________.
15.（5分）如图，是所在平面外一点，平面平面，分别交线段，，于，，。若，则________

16.（5分）已知体积为的正方体中，，，分别为，，的中点，在平面内，且平面，则线段的最小值为__________.
17.（5分）一个圆锥母线长为，母线与轴的夹角为，则该圆锥轴截面面积为__________.
18.（5分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，分别是，的中点，平面平面，平面，与相交于点，则__________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）直棱柱中，底面是直角梯形，，为的中点，
求证：平面．
求证：平面平面．
20.（12分）已知正方体，求证：平面平面．
21.（12分）已知为所在平面外一点，、、分别是、、的重心；、、分别是、、的中点．
求证：平面平面；
求： ______ ．

22.（12分）已知正方体的棱长为．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求正方体夹在平面与平面之间的几何体的体积．
23.（12分）如图，在正方体中，，分别为，的中点，与交于点求证：
；
平面平面
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面平行的判定及性质是解决本题的关键．属于基础题.
根据面面平行的判断定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断．

解：当，，，，若，则或与相交，即充分性不成立，
当，，，，若，则或与异面，即必要性不成立，
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选
2.【答案】C;
【解析】解：，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，
对于，若与所成的角等于与所成的角，则与平行、相交或异面，故A错误；
对于，若与所成的角等于与所成的角，则与相交或平行，故B错误；
对于，若，，则由面面平行的性质定理得与所成的角等于与所成的角，故C正确；
对于，若，则与所成的角有可能等于与所成的角，故D错误．
故选：．
对于，与平行、相交或异面；对于，与相交或平行；对于，由面面平行的性质定理得与所成的角等于与所成的角；对于，与所成的角有可能等于与所成的角．
该题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称量词命题、存在量词命题的否定，不等式的恒成立问题和性质，以及面面平行的判定定理，属于中档题．
本题先用不等式的知识对选项、中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．

解：、若，，，当“”对于任意的恒成立时，则有：
①当时，要使恒成立，需要，，此时，符合；
②当时，要使恒成立，必须且，
若，，，“”是“”充分不必要条件，
“”是“”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件，故错误；
、当时，，且，
“”是“”的充分条件．
反之，当时，若，则，不等式不成立，
“”是“”的必要不充分条件，故错误；
、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，
命题“对任意，有”的否定应该是“存在，有”，故错误；
、命题“是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则”是两个平面平行的一个判定定理，故正确．
故选
4.【答案】C;
【解析】此题主要考查线面、面面之间的位置关系，面面平行的性质，线面平行的判定与性质，属于基础题目.
设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，直线平面，直线可能与平面平行，也可能在平面内，所以或，故得结论.
解：设平面为长方体的上底面，平面为长方体的下底面，
因为直线平面，所以直线可能与平面平行，也可能在平面内，
所以或故选
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查面面平行的判定定理，属中档题根据判定定理作出选择即可.

解：此题主要考查面面平行的判定定理，
对，，，，， 就是判定定理，正确；
对，缺少两条相交直线分别与平面平行，故错误；
对，缺少两条直线相交，故错误；
对，缺少两条相交直线分别与平面平行，故错误；
故选
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.
由平行于同一直线的两平面的位置关系判断由面面平行的判定判断由面面平行及线面平行的定义判断解：对于，若，，则或与相交，故错误
对于，若，，，，若与相交，则；
若，不一定有，故错误
对于，若，，由面面平行及线面平行的定义可得，故正确
对于，若、相交，则与确定平面，又，都在、外，，，，，
则，可得，故正确.
综上所述，真命题的个数是
故选
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查空间中面面，线面间的位置关系，面面平行的判定，是基础题．
利用空间中面面，线面间的位置关系，逐个选项分析判断即可．

解：由不同的直线和，不同的平面，，，知：
若，，，则与相交或平行，故不正确；
若，，则与相交或平行，故不正确；
若，，则，又，故，故正确；
若，，，则与相交或平行，故不正确．
故选

8.【答案】D;
【解析】
此题主要考查线面、面面平行的判断，考查面面平行的性质，属于基础题.
根据线面、面面平行的判断及面面平行的性质，逐一判断即可.

解：①若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，
当这无数条直线都平行时，这两个平面平行或相交，所以①不正确；
②若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，
根据面面平行的判断定理，这两个平面平行，所以②正确；
③若，，则，所以③正确；
④若，，则，所以④正确；
⑤若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一平面，所以⑤正确.
正确的命题个数是
故选
9.【答案】AD;
【解析】解：若，，且，，，交于一点，由平面与平面平行的判定可知，故正确；
若，，且，，可得或与相交，故错误；
若，，且，则或与相交，故错误；
过直线作一平面，设，，，，则，，；
过直线作一平面，设，，，，则，，
与是异面直线，与必定相交，故正确．
故选：
利用直线与平面平行的性质判断；利用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理即可判断
此题主要考查平面与平面平行的判定，考查直线与平面平行的性质，属于中档题．
10.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查空间中的面面位置关系以及空间几何体的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
由面面平行的性质定理和四边形全等，即可判断；运用线面平行的判定定理，可判断；计算四棱锥的体积为为常数，可判断；由四边形的对角线是固定的，根据对称性，可得四边形的面积在上的单调性判断

解：对于，由面面平行的性质定理可得，，

可得四边形为平行四边形，
又直角梯形和直角梯形全等，可得，
即有四边形为菱形，故正确；
对于，由四边形为平行四边形，
可得，平面，平面，
可得平面，故正确；
对于，四棱锥的体积为：
为常数，故正确；
对于，由菱形可得，四边形的对角线是固定的，根据对称性，
可得四边形的面积在上单调递减，在上单调递增，故不正确．
故选：
11.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查的是正方体的几何特征，考查空间中线线及线面位置关系，考查空间中点到直线的距离，属于中档题，可结合正方体的几何特征依次进行判断即可.

解：，若.
因为正方体，
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为，平面，
所以平面，
而平面，
所以，而，
因此，与已知条件矛盾，故选项错误；
，如图所示，取的中点，连接，
因为分别为的中点
所以，，
又因为，，
，平面，且，平面，
所以平面平面，
而平面，
所以平面，故选项正确
，如图所示，连接.

因为是的中点，是棱长为的正方体，
所以延长与的延长线交于，
则，
又因为是的中点，是棱长为的正方体，
所以延长与的延长线交于，
则，
又因为，所以与重合，即，
因此四点共面.
又因为，，
所以、分别是、的中点，
因此，
所以截面为上、下底分别为、，
腰长为的等腰梯形，
所以梯形的面积为，故选项正确
，由选项知，平面截正方体的截面为梯形，
连接交于，则为的中点，
因此点和点到平面的距离相等，
即点和点到平面的距离相等，因此选项正确.
故选
12.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查了空间直线与直线的位置关系和面面平行的性质，属于基础题.
对各个选项逐一验证即可得出答案.
解：对于，由已知在内有无数条直线和平行，根据平行公理直线平行于平面内的无数条直线，故正确；
对于，若，，根据面面平行的性质可以得出，故正确；
对于，若，，，则与是异面直线或是平行，故错误；
对于，若，，则，，可能相交或平行，故错误.
故选
13.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查空间中直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
由，，得，从而平面，平面；由，与平面相交，从而与平面相交，进而平面与平面相交．

解：在正方体中，，，分别是，，的中点，，
，，
平面，平面，平面，故正确；
，与平面相交，与平面相交，故错误；
，，分别是，，的中点，，
平面，平面，平面，故正确；
与平面相交，平面与平面相交，故错误．
故选
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查面面平行的判定和性质，空间几何体的截面问题，确定截面图形是关键，属于中档题.
画出图示，截面为等腰梯形，即可求出平面截该正方体所得截面的面积．

解：由面面平行的判定和性质确定截面，如图所示，

为中点，为中点，
在棱长为的正方体中，易得四边形为平行四边形，则，
，
根据线面平行的判定易证平面，平面，，，平面，
则平面平面，则截面为等腰梯形，
，，，
故等腰梯形的高为，
故截面的面积为
故答案为
15.【答案】;
【解析】
本题通过面面平行证明线面平行到线线平面的转化，利用相似于三角形的面积之比等于边长的平方之比来求解．属于中档题通过平面平面，证明，，，转化为与相似，利用相似于三角形的面积之比等于边长的平方之比，即可得答案．

解：由题意：平面平面，
，，，
三角相似于三角形，三角形相似于三角形，三角形相似于三角形，
：：：，：：：，
：：：，
：：：，
故得：∽
：：
又：：，
：：， ：：，
所以得：：：
故答案为：
16.【答案】
;
【解析】
此题主要考查空间线面的位置关系，考查空间想象能力，属中档题.
由平面，而平面平面，易知点在直线上运动，可得线段的最小值.

解：依题意，正方体的棱长为
如图，连接，、、，

，，分别为，，的中点，
，，
平面，平面，
平面，同理可得平面，
又，、平面，
平面平面，
平面，平面，
平面，则点在直线上运动，
故线段的最小值即为点到直线的距离
故答案为
17.【答案】;
【解析】母线与轴的夹角为，圆锥轴截面为正三角形，又圆锥母线长为，正三角形的边长为，故面积
18.【答案】;
【解析】此题主要考查面面平行的性质定理的应用利用面平面、是的中点判定是的中点，再利用面平面、是的中点判定是的中点，最后利用三角形的中位线的性质，可得，即可得出结论．本题的关键是利用面面平行的性质定理判定、分别是、的中点.
解： 由是平行四边形，
得，且，
又，分别是，的中点，
，
又，
，
，
平面平面，
又平面平面，
平面平面，
，
则是的中点．
，
，
，
故答案为
19.【答案】证明：直棱柱中，底面是直角梯形，
，，为的中点，
，四边形是平行四边形，，
平面，平面．
平面．
由知，
直棱柱，由直棱柱性质得，
，，
，平面，，平面，
平面平面．;
【解析】这道题主要考查直线与平面平行、面面平行的证明，考查空间想象能力、运算求解能力，
考查数形结合思想，是中档题．
推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．
推导出，，由此能证明平面平面．
20.【答案】证明：在正方体中，连结AD1，AB1，B1D1，BC1，DC1，BD，

则根据正方体的性质可知BD∥B1D1，BD 平面C1BD，B1D1 平面C1BD，
所以B1D1∥平面C1BD．
同理可证AD1∥平面C1BD．
又因为AD1∩D1B1=D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD．;
【解析】
利用正方体的性质可知，由线面平行的判定定理可得平面，同理平面，进而由面面平行的判定定理，可得答案
这道题主要考查了面面平行的判定定理的应用，要求熟练掌握相应的判定定理
21.【答案】：;
【解析】
要证“面面平行”，只要证“线面平行”，只要证“线线平行”，故问题最终转化为证线与线的平行．
利用三角形重心的性质，结合线面平行的判定定理，证明平面，平面，再证明平面平面；
证明∽，其相似比为：，可得结论．

证明：如图所示，连接、、并延长分别与边、、交于点、、，
连接、、，则有：：，：：，．
又平面，平面，
平面．
同理平面．
又因为，、平面，
平面平面．
解：由知，．
又，．
同理，．
∽，其相似比为：，
：：．
故答案为：：．
22.【答案】（I）证明：∵BC∥A1D1，BC=A1D1，
∴四边形BCD1A1是平行四边形，
∴A1B∥D1C，
同理可得：A1C1∥AC，
又A1B 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，
D1C 平面AD1C，AC 平面AD1C，AC∩D1C=C，A1B∩A1C1=A1，
∴平面A1BC1∥平面AD1C．
（II）解：V=V==，
∴V=V正方体-V-V=--=．;
【解析】
证明四边形，为平行四边形即可得出，，从而得出平面平面；
用正方体的体积减去两个小三棱锥的体积即为夹在平面与平面之间的几何体的体积．
该题考查了面面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
23.【答案】证明：（Ⅰ）在正方形CDD1C1中，E，F分别为DD1，CC1的中点，
可得CF=ED1，CF∥ED1，
则四边形CFD1E为平行四边形，
则CE∥∥FD1；
（Ⅱ）由CE∥FD1，CE 平面BFD1，FD1 平面BFD1，
可得CE∥平面BFD1，
在△DBD1中，O为BD的中点，E为DD1的中点，
可得OE∥BD1，
又OE 平面BFD1，BD1 平面BFD1，
所以OE∥平面BFD1，
又OE∩CE=E，OE 平面AEC，CE 平面ACE，
所以平面ACE∥平面BFD1．;
【解析】
由平行四边形的判定和性质可得结论；
由面面平行的判定定理可得结论．
此题主要考查空间中线线、面面平行的证明，考查转化思想和推理能力，属于基础题．