人教B版（2019）必修第四册《11.4 空间中的垂直关系》同步练习（含解析）

人教B版（2019）必修第四册《11.4 空间中的垂直关系》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）设，是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.（5分）已知三棱锥的棱长都相等， 分别是棱的中点，则所成的角是

A. B. C. D.
3.（5分）若三条直线，，两两垂直，则直线垂直于
A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面
4.（5分）如图，在正方体中，是底面的中心，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是
A. B. C. D.
5.（5分）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角为
A. B. C. D.
6.（5分）如图，平面为长方体的截面，为线段上异于的点，为线段上异于的点，，则四边形的形状是
A. 平行四边形 B. 梯形 C. 菱形 D. 矩形
7.（5分）已知点，，，在球的表面上，平面，，若，，与平面所成角的正弦值为， 则球表面上的动点到平面距离的最大值为
A. B. C. D.
8.（5分）在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线E、所成角的余弦值为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）如图所示，在正方体中，，分别是的中点．有下列结论，其中正确的是

A. 与垂直
B. 与平面垂直
C. 与所成的角为
D. 平面
10.（5分）如图，、分别为边长为的正方形的边、的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是
A. 平面
B. 异面直线与所成的角为定值
C. 存在某个位置，使得直线与直线垂直
D. 三棱锥体积的最大值为
11.（5分）下列命题不正确的有
A. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.
B. 平行于同一个平面的两条直线平行
C. 已知平面和平面外的两条直线，若，，则
D. 已知平面和平面外的两条直线，若，，则
12.（5分）如图所示，圆柱内有一个棱长为的正方体，正方体的顶点都在圆柱上下底面的圆周上，为上的动点，则下面选项正确的是
A. 面积的最小值为
B. 圆柱的侧面积为
C. 异面直线与所成的角为
D. 四面体的外接球的表面积为
13.（5分）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：其中正确的结论的有
A. 三棱锥的体积不变 B. 平面
C. D. 平面平面
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面现有以下四个结论：
①平面；
②；
③若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积；
④与平面所成的角为．
其中正确结论的序号是______．
15.（5分）如图，在四面体中，若截面是正方形，则在下列结论中正确的为________填序号
①；
②截面；
③；
④异面直线于所成角为
16.（5分）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列四个命题：①；②；③；④其中为真命题的是____写出所有真命题的序号
17.（5分）如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园游客坐在圆形的座舱中，面向外通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动年月日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点处，“大摆锤”启动后，主轴在平面内绕点左右摆动，平面与水平地面垂直，摆动的过程中，点在平面内绕点作圆周运动，并且始终保持，已知，在“大摆锤”启动后，直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ______ ．
18.（5分）在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，且，，、分别为、的中点．求证：
Ⅰ平面；
Ⅱ；
Ⅲ平面．
20.（12分）如图，三棱锥中，平面，，，是的中点，是的中点，点在上，
证明：平面；
若，求点到平面的距离
21.（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱的中点．

求证：平面平面；
若，求三棱锥的体积．
22.（12分）如图所示，在长方体中，，，，为的中点
求证：平面平面；
求异面直线与所成的角．
23.（12分）在多面体中，平面，，
求证：平面平面；
设为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
此题主要考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力.
根据题意分别画出错误选项的反例图形即可.

解：，，的反例如图．
故选
2.【答案】B;
【解析】
此题主要考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．
设是的中点，连接、，则、，故，所以的大小就等于与所成的角的大小，由此能求出与所成的角的大小．

解：如图，

设是的中点，连接、，
、三角形的中位线平行于第三边的一半，
与在同一平面上，，
的大小就等于与所成的角的大小．
又三棱锥是棱长都相等的正三棱锥，所以，
、，，
；，三角形的中位线平行于第三边的一半
又棱长都相等，，
是等腰直角三角形，
，
与所成的角为
故选

3.【答案】C;
【解析】
此题主要考查线面垂直的判定，属基础题.

解：由题意有，，，
又，且都在平面内，
平面
故选
4.【答案】D;
【解析】
此题主要考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征，构造出异面直线与所成角是解答本题的关键．
由正方体的结构特征，取的中点，连接，，，可证得即为异面直线与所成角，解即可得到答案．

解：取的中点，连接，，，如图所示：

为的中点，，
故即为异面直线与所成角.
设正方体的棱长为，
则在中，，，
又根据正方体的几何特征可知，
故
故选
5.【答案】A;
【解析】
该题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面的位置关系等基础知识，是中档题．
取中点，连结，，证明即可得是与侧面所成的角，由此能求出与侧面所成的角．

解：取中点，连结，，
正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，
平面，
又平面，
，
因为为中点，
所以，
，
平面，
是与侧面所成的角，
，，
，
，
与侧面所成的角为．
故选：．
6.【答案】D;
【解析】
此题主要考查的知识点是棱柱的结构特征，线面平行和线面垂直的性质和判定，难度不大，属于基础题．由题意得四边形是平行四边形，，四边形为矩形，

解：，，
侧面，侧面，
侧面，又平面，平面侧面，
，又侧面侧面，平面侧面，平面侧面，
，所以四边形是平行四边形，
，侧面，
又侧面，
，四边形为矩形，
故选
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查球及多面体的几何结构特征，球的几何性质，考查了空间想像能力及计算能力，综合性较强，属于中档题.
根据题设条件，先表示出线面角，根据线面角的正弦值建立方程求出点到线的距离，然后再由直角三角形的性质求出斜边长，根据几何特征判断出球心及线段的中点，从而得出球的半径及点到面的距离.

解：如图，平面，可得，又，，由勾股定理得，，
又与平面所成角的正弦值为， 作，则面，即与平面所成角，
，解得，
又，在中可求得，
又，故有，即，解得，故是的中点，取中点，连接，
则，即平面，由于是斜边上的中点，点到、、三点的距离相等，故点到三点、、的距离相等，
又是中点，故即是点，是球的直径，所以面是过球心的大圆面，
所以球表面上的动点到平面距离的最大值为半径，
在中，，，由勾股定理求得斜边，
故球的半径为，即动点到平面距离的最大值为
故选
8.【答案】D;
【解析】解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为．
则，，，，
，，
设异面直线E、所成角为，
则．
故异面直线E、所成角的余弦值为．
故选：．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线E、所成角的余弦值．
该题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查棱柱的结构特征、空间直线与平面的位置关系、平面与平面的关系，属于中档题．
由棱柱的结构特征、空间直线，平面的位置关系可分析每项得答案．

解：取的中点，连接，，则，，，
又平面，平面，平面
又，平面，平面，平面
，，平面，平面平面
，，，，平面，平面，
平面，平面，，故正确；
又平面，故平面平面，平面，
所以平面，正确；
连接，则是三角形的中位线
显然不垂直平面故与平面不垂直，错误；
再连接，则是与所成的角，
显然是正三角形，，故错误；
故选
10.【答案】ABD;
【解析】解：选项，因为，平面，平面，
所以平面，故选项正确；
选项，取中点，连接，，

则，且，所以平面，所以，
异面直线与所成的角为，为定值，故选项正确；
选项，若直线与直线垂直，因为直线与直线也垂直，
则直线平面，所以直线直线，
又因为，所以平面，所以，
而是以和为腰长的等腰三角形，这显然不可能，故选项不正确；
选项，，当平面平面时取最大值，
此时，故选项正确．
故选：
由线面平行的判定，易得选项正确；
由线面垂直的性质可知平面，所以，选项正确；
假设直线与直线垂直，根据线面垂直的性质可知假设不成立，选项错误；
利用等体积法，，即可进行求解．
此题主要考查了空间中线面平行的判定，空间中线面垂直的判定，以及三棱锥体积的求解．
11.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查空间直线与直线及直线与平面的位置关系，考查线面垂直的性质及线面平行的判定，属于中档题.
利用长方体中的线面关系，线线关系，通过举例，即可判断，，错误，利用线面垂直的性质及线面平行的判定定理，即可证明正确.

解：对于，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可以与这个平面平行，也可以在这个平面内，如图：

故错误；
对于，平行于同一个平面的两条直线可以平行，可以相交，也可以为异面直线，

故错误；
对于，如图：

，，，设，过直线上除去点以外的任意一点作，
，，
过点与作平面，设，则，
又，则，
，又，
，又，，
则，故正确；
对于，在如图的长方体中，底面为平面，满足，，但不满足，故错误.

故选
12.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查圆柱的侧面积，异面直线所成的角，四面体外接球的表面积，主要考查学生的灵活应用能力，属于中档题对于，若点与点重合时，面积的最小对于，圆柱的底面圆的直径为正方形的对角线，母线为，即可求侧面积；对于，直线，所以为直线与所成的角，即可得解；对于，四面体的外接球和正方体的外接球是同一个球体，即可求解.解：对于，若点与点重合时，的边上的高最小，所以
面积的最小值为：，则正确；
对于，圆柱的底面圆的直径为正方形的对角线，母线为，所以圆柱
的侧面积为，所以错误；
对于，直线，所以为直线与所成的角，因为三角形为
等边三角形，所以异面直线与所成的角为，则正确；
对于，四面体的外接球和正方体的外接球是同一个球体，正方体的体对角线为就是球的直径，所以四面体的外接球的表面积为，则正确.
故选
13.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查空间中的点、线、面的位置关系的判断，考查了三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，面面垂直的判定，要注意使用转化的思想，属于中档题．
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系和三棱锥体积求法中的等体积法对每一项分析求解可判断得答案．

解：对于，由题意知，
平面，平面
从而平面，
故上任意一点到平面的距离均相等，
所以以为顶点，平面为底面的三棱锥的体积不变，
则三棱锥的体积不变，故①正确；
对于，连接，，
则，平面，平面，
所以平面，
由知平面，
，，
所以平面平面，，
所以平面，故正确；
对于，由，
可得为的中点，与为动点矛盾，故错误；
对于，连接，在正方体中易得且，
平面
可得平面，平面，
可得平面平面，故正确．
故选
14.【答案】①②④;
【解析】解：已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，
所以是正方形．所以，平面，所以平面；①正确；
因为，平面，，平面，平面，所以；②正确；
③若是底面圆周上的动点，当时，则的最大面积等于的面积；当时，的最大面积等于两条母线的夹角为的截面三角形的面积，所以③不正确；
因为，与平面所成的角就是与平面所成角，就是所以④正确；
故答案为：①②④．
利用直线与平面的性质判断直线与平面平行，直线与直线的平行，三角形的面积的最值的求法，直线与平面所成角判断选项的正误即可．
此题主要考查直线与平面的位置关系的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查．
15.【答案】①②④;
【解析】
此题主要考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于中档题．
利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可判定．
解：在四面体中，截面是正方形，，平面，平面，平面
平面平面，，可得平面
同理可得平面，，
由，是异面直线与所成的角，且为
由上面可知：，
而，，
综上可知：①②④都正确．
故答案为①②④．
16.【答案】①③;
【解析】
此题主要考查了立体几何中线面垂直的判定、面面平行的判定、线面平行的判定、面面垂直的判定.
【解析】
解：①选项结论符合面面平行的判定定理，故①正确；
②与的关系可以是平行、相交、垂直，故②错误；
③如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直，故③正确；
④不符合平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，故④不正确，除非满足。
故答案为①③.
17.【答案】;
【解析】解：当时，点到平面的距离最大，最大距离为长，
长度保持不变，
在“大摆锤”启动后，直线与平面所成角的正弦值的最大值为：
．
故答案为：．
当时，点到平面的距离最大，最大距离为长，长度保持不变，由此能求出在“大摆锤”启动后，直线与平面所成角的正弦值的最大值．
该题考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】;
【解析】解：在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，
使得平面平面，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
该题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19.【答案】证明：Ⅰ取中点，并连结、，

、分别为、的中点
且，且，
且，
四边形为平行四边形，
，
又在平面，在平面，
平面；
Ⅱ证明：四边形为矩形，
，
又，，，在平面内，
平面．
又在平面，
．
又，
；
Ⅲ，为中点，
，
又，，，在平面内，
平面．
又，
平面．;
【解析】该题考查线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键，为中档题．
Ⅰ取中点，并连结、，证明四边形为平行四边形，可得，即可证明平面；
Ⅱ证明平面，可得，又，即可证明；
Ⅲ证明平面，又，即可证明平面．
20.【答案】证明：如图，
过点作交于点，
取的中点，连接，
点为的中点，
又，，，
所以四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
解：平面，
又，，
平面
又平面，所以，
又，，
，，
记点到平面的距离为，则，
，
，
点到平面的距离为;
【解析】
本题考查直线与平面平行的判定，线面垂直的判定与性质，考查点到面的距离，考查三棱锥的体积，解题的关键是等体积法的应用.
过点作交于点，取的中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定定理可得结果；
记点到平面的距离为，则，利用三棱锥的体积公式，结合已知条件，通过体积相等可解得点到平面的距离.
21.【答案】证明：四棱锥的侧面都是等边三角形，
，
又为底面中心，底面是正方形，
，，
又，，平面，
平面，
平面，平面平面；
解：由题意可知，平面，为的中点，


．
故三棱锥的体积为．;
【解析】该题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，属于中档题．
由四棱锥的侧面都是等边三角形，可得，再由为底面中心，底面是正方形，可得，，由线面垂直的判定可得平面，从而得到平面平面；
由题意可知，平面，为的中点，则，则三棱锥的体积可求．
22.【答案】证明：在中，由，，
，，
又，，，面，面，
又面，所以平面平面
解：取的中点，连，则，

所以或其补角为异面直线与所成的角，
在中，，在中，，
所以故异面直线与所成的角为;
【解析】
此题主要考查直线与平面垂直的判定以及面面垂直的判定，考查异面直线所成的角，考查空间想象能力，属于基础题.
利用已知线面垂直的判定可得面，又面即可求证；
取的中点，连，则或其补角为异面直线与所成的角，在中即可求解.
23.【答案】解：证明：取、的中点、，连接，，，

则，且，，
，，
平面，，
平面，
又平面，
平面平面，
又平面平面，平面，
平面，平面
平面
平面平面
，，，



，
由题意可得，由平面，平面可得，
，，平面，
可得垂直平面，
设到平面的距离为，由垂直平面和，

解得，
设直线与平面所成角为，则;
【解析】
此题主要考查平面与平面垂直的判定，直线与平面所成角的求法，特别是利用等体积法求得到平面的距离是关键，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力．
通过平面与平面垂直的性质定理，证明平面，从而得到平面平面
利用体积法求出到平面的距离，再求出直线与平面所成角的正弦值．