人教B版（2019）必修第四册《11.4.1 直线与平面垂直》同步练习（含解析）

人教B版（2019）必修第四册《11.4.1 直线与平面垂直》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）如果，，两两垂直，那么点在平面内的投影一定是的
A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心
2.（5分）如图，、分别是三棱锥的棱、的中点，，，，则异面直线与所成的角为

A. B. C. D.
3.（5分）如图所示，垂直于圆所在的平面，是圆的直径，，是圆上的一点，分别是点在，上的投影，当三棱锥的体积最大时，与底面所成角的余弦值是



A. B. C. D.
4.（5分）如图是正方体的平面展开图．则在这个正方体中：
①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与是异面直线.
以上四个命题中，正确的命题序号是
A. ①③ B. ②④
C. ①④ D. ③④
5.（5分）已知正方体的棱长为，为的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为
A. B. C. D.
6.（5分）在所有棱长都相等的直三棱柱中，，分别为棱，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7.（5分）在正方体中，点，分别为棱，的中点，给出下列命题：①；②；③；④和成角为正确命题的个数是
A. B. C. D.
8.（5分）设是一条直线，，，是不同的平面，则在下列命题中，假命题是
A. 如果，那么内一定存在直线平行于
B. 如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于
C. 如果，，，那么
D. 如果，与，都相交，则与，所成的角互余
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中
A. B. C. D.
10.（5分）如图，四棱锥的底面为矩形，底面，，，点是的中点，过，，三点的平面与平面的交线为，则
A. 平面
B. 平面
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 平面截四棱锥所得的上，下两部分几何体的体积之比为
11.（5分）在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法中正确的是
A. 平面
B. 与平面所成角的正切值的最大值是
C. 的最小值为
D. 以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是
12.（5分）如图，已知在棱长为的正方体中，点，，分别是，，的中点，下列结论中正确的是


A. 平面
B. 平面
C. 三棱锥的体积为
D. 直线与所成的角为
13.（5分）如图，在三棱柱中，平面，，，，，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是
A. 平面
B. 若为上一点，且，则
C. 三棱柱的体积为
D. 与所成角的余弦值为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知正方体的棱长为，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是______．
15.（5分）在中，为的中点，，的面积为，且交于点，将沿翻折，翻折过程中，与所成角的余弦值取值范围是______．
16.（5分）直线垂直于平面内所有直线_________说明填“能”或者“不能”
17.（5分）在圆柱的一个底面上任取一点该点不在底面圆周上，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是_________.
18.（5分）如图所示，正方体中，与异面且与所成的角为的面对角线共有 ______ 条.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，且，，，，分别为，的中点．
求证：平面；
求证：平面．
20.（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点。
证明：平面；
若平面，求的值
在条件下，三棱锥的体积是，求点到平面的距离.
21.（12分）已知中，，平面，求证：
平面；
平面．
22.（12分）如图示，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，、分别、的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ设，求三棱锥的体积．
23.（12分）四棱锥底面是平行四边形，面面，，，，分别为，的中点．

求证：平面
求证：面
求三棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查空间中线面垂直的判定，线面垂直的性质，三角形的垂心.
根据线面垂直的判定得到平面，于是，同理，故点是的垂心 .

解：如图，设平面，垂足为，
由，，两两互相垂直，可得平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以，又因为，，平面，
所以平面，平面，
所以
同理可证，
所以点是的垂心 ，
故选
2.【答案】A;
【解析】
此题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，考查了运算求解能力，属于中档题．
先取的中点，连接，，则是异面直线，所成的角或其补角，利用余弦定理求解即可．

解：取的中点，连接，，

由中位线定理可得：，且，
是异面直线，所成的角或其补角，
在中由余弦定理可得：
，
，
异面直线，所成的角为，
故选：．
3.【答案】D;
【解析】
此题主要考查三棱锥体积最大时，角的正切值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
由题意平面，从而，由，，得，从而平面，，设，由此能求出当三棱锥体积最大时，即可．

解：为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且，
过点作平面，交，分别于，，
平面，又平面，，
又，，，
平面，平面，，
，平面，，面，
，
，，
设，在中，
则三棱锥的体积
当时，取最大值此时，
当三棱锥体积最大时，
故选


4.【答案】D;
【解析】
此题主要考查正方体的结构特征及空间中直线的位置关系，同时考查异面直线所成的角，属于基础题.
将正方体还原即可求得正确的选项.
解： 根据展开图，画出立体图形，
由图知与垂直，不平行，
与是平行直线，
与成，
与是异面直线，
故③④正确．
故选
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查简单多面体及其结构特征，考查三角形面积公式的应用，属于中档题.
取的中点为，易知，求出点的轨迹为线段，易知为直角三角形，当时，取得最小值，此时面积最小，进而得出结果.解：取的中点为，易知，
点为的中点，则在正方形中，
即，所以，点的轨迹为线段，
易知为直角三角形，当时，取最小值，
此时面积最小，最小值为
故选
6.【答案】C;
【解析】解：因为是所有棱长都相等的直三棱柱．
该棱柱的上下底面是正三角形，侧面都是正方形，设各棱长均为，
取的中点为原点，直线，分为，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，．
，，
设平面的法向量，
，，令，得．
且．
设所求角为，则，
．
故选：．
根据题意，建立空间直角坐标系，将所求的角转化为直线与平面的法向量的夹角来求，问题就容易多了．
该题考查了利用空间向量求线面角的问题，同时考查了学生的空间想象、数学运算以及逻辑推理等数学核心素养．本题容易将结果看成正弦值，属于易错题．
7.【答案】C;
【解析】解：如图：

对于①，连接，，则，
而平面，所以；故①正确；
对于②，取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，
，因此不正确；
③由于与不垂直，，
与不垂直，因此平面不成立．
④，和所角为，
和成角为，正确．
正确命题的个数是
故选：
如图
对于①，连接，，可得，又平面，即可判断出正误．
对于②，取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，进而判断出正误；
③由于与不垂直，，可得与不垂直，即可判断出正误．
④由于，和所角为即可判断出正误．
此题主要考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】D;
【解析】解：：若，那么内平行于交线的直线平行于，故A为真命题
：根据线面面垂直的判定定理可知，若内存在直线垂直于，则，与已知矛盾，故B为真命题
对于，如果，，设、的交线为，、的交线为，在内取、外的一点，作于，于，
，，，
，同理
、，
，故C正确；
：只要当与两面的交线垂直时，该结论才成立，故D不对
故选D
内平行于交线的直线平行于可得A正确；根据面面垂直的性质定理，反证法可得B正确；根据面面垂直的性质与判定，结合线面垂直的判定定理，得到C正确；只要当与两面的交线垂直时，该结论才成立
本题以命题的真假判断为载体，考查了平面与平面垂直、平面与平面平行的性质与判定，同时还考查了空间的平行与垂直之间的联系，属于中档题．
9.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查了简单多面体的结构特征，直线与直线的位置关系，线面垂直的判定与性质，属于中档题.
由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.
解：由正方体的平面展开图还原正方体如图，
由图形可知，，故错误；
由，四边形为平行四边形，所以，故正确；
因为，，平面，
所以平面，平面，所以，故正确；
因为，而，所以，故正确.
故选：
10.【答案】ACD;
【解析】此题主要考查了直线与平面平行的判定定理与性质定理、直线与平面垂直的判定定理与性质定理、异面直线所成的角与棱锥的体积公式，属于一道中档题选项，通过作的中位线找到平面与与平面的交线直线，再根据直线与平面平行的判定定理即得；选项，由与相交得出与平面相交；选项，由得直线与直线所成的角即，在直角三角形中求出即可；选项，由平面及四边形为直角梯形可求出，再求出，得到两个体积的比值，进一步就得到平面截四棱锥所得上、下两部分几何体的体积之比.

解：取中点，连接、

A.由为中位线得，又，所以，所以点、、、四点共面，故平面即平面，故交线即直线，由，平面，平面，得平面，故选项正确；
B.由知四边形为梯形，直线与直线相交，平面，所以直线与平面相交，故选项错误；
C.因为，所以直线与所成的角即直线与直线所成的角，即，易知，为直角三角形，，，所以，所以，故选项正确；
D.易知，为等腰直角三角形，由为底边的中点知，又易知平面，平面，所以，又，所以，由与为平面内两相交直线，知平面，且易得四边形为直角梯形，故，，所以，所以平面截四棱锥所得上、下两部分几何体的体积之比为，故选项正确.
故选
11.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查命题的真假的判断与应用，空间直线与平面，平面与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
利用棱柱的结构特征，通过平面与平面平行，推出直线与平面平行，判断选项；利用直线与平面所成角判断；判断的最小值，判断；通过交线的轨迹，判断

解：对于，由于平面平面，平面，
所以平面，所以正确；

对于，当时，与平面所成角的正切值最大，最大值是，所以正确
对于，将沿翻折与在同一个平面，且点，在直线的异侧，此时
，则，所以的最小值为，所以不正确

对于，由于平面，所以交线为以为圆心，半径为的四分之一圆周，所以交线长为，所以正确．
故选：
12.【答案】ABD;
【解析】

此题主要考查了直线和平面的位置关系，包括线面平行、线面垂直和三棱锥的体积以及异面直线所成的角，是一般题.
对各个选项逐一验证可以得出答案.

解：如图所示，由题易得，平面，平面，所以平面，
故正确；
建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，
所以，，
所以，，，，平面，
所以平面，故正确；
三棱锥的体积为，故错误；
易得，，
所以，，
所以与所成的角是，
故正确.
13.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查线面平行判断，线面垂直判定，考查锥体体积，以及异面直线夹角，属中档题，
显然与平面不平行 ，判定，证明 平面 判定， 判定，如图，连接 ，则 ，在 中，由余弦定理可得 ，判定

解：选项，连接，因为与平行且相等，
故四边形是平行四边形，，
平面，平面，
所以平面，
若平面，，，平面，
则平面平面，
上下底面是两个平行平面，平面， 平面和上下底面分别交于，，
这两个交线并不平行，故假设平面错误，，错误；
选项，在 中， ， ，平面 ，平面 ，
所以 平面 ，因为平面 ，
所以，故正确；
选项中，因为平面，，
又平面，所以，则
故正确；
选项中，如图，连接，，，则 ，
所以与所成角为，
所以，
因为，在中，，
所以是等边三角形，所以，
同理在中，，
则，
在 中，由余弦定理可得 ，故错误，
故选
14.【答案】4;
【解析】解：连接，，，则可证平面，
且与平面的交点为等边三角形的中心，
故三棱锥为正三棱锥，
，，与平面所成的角相等，
故正方体的所有棱与平面所成的角相等，
正方体棱长为，，，
设与平面所成角为，则，
设在平面上的正投影为，则，
，
同理可得，，
，
正方体在平面内的正投影面积为，
故答案为：．
作出符合条件的平面，计算棱长与平面所成角的大小，再计算正投影的面积．
该题考查了直线与平面所成角的计算，考查正方体的结构特征，属于中档题．
15.【答案】;
【解析】
该题考查平面图形的翻折问题，考查异面直线的夹角的范围，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
根据题意，过作的垂线，垂足为，由题意解得，设的夹角为，由，能求出与所成角的余弦值的取值范围．

解：如图所示，根据题意，过作的垂线，垂足为，

由题意得，的面积为，
，
，
设，的夹角为，
则，
即，
因为在翻折过程中，夹角范围在
，
解得．
与所成角的余弦值取值范围是
故答案为：
16.【答案】能;
【解析】
此题主要考查了线面垂直的判定，是基础题.

解：根据线面垂直的概念可知，
直线垂直于平面内所有直线能说明，
故答案为能.

17.【答案】平行;
【解析】
此题主要考查了线面垂直的性质定理，由垂直于同一平面的两条直线平行可得答案.

解：由于这条垂线和圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行.
故答案为平行.

18.【答案】1;
【解析】解：正方体中，
与异面且与所成的角为的面对角线有，共条．
故答案为：
正方体中，与异面且与所成的角为的面对角线共有
此题主要考查异面垂直直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是基础题．
19.【答案】证明：（1）因为M、N分别为PC、PB的中点，
所以MN∥BC，…（1分）
又因为AD∥BC，所以MN∥AD…（2分）
又AD 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD…（4分）
（2）因为AN为等腰△ABP底边PB上的中线，所以AN⊥PN…（5分）
因为PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以AD⊥PA．
又因为AD⊥AB，且AB∩AP=A，所以AD⊥平面PAB．
又PN 平面PAB，所以AD⊥PN…（6分）
因为AN⊥PN，AD⊥PN，且AN∩AD=A，
所以PN⊥平面ADMN…（7分）;
【解析】
欲证平面，根据线面平行的判定定理知，只须证明，结合中点条件即可证明得；
欲证平面，根据线面垂直的性质定理，只须证明及，而这此垂直关系的证明较为明显，从而即可证得结论．
本小题主要考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质，考查了运算求解能力，考查了空间想象力及推理论证能力，属于中档题．
20.【答案】证明：由已知条件可知，
所以
因为平面，，
所以
又因为，，
所以平面
因为底面是平行四边形，
所以，
所以平面
解：连接交于点，连接，

则是平面与平面的交线．
因为平面，所以
又因为是的中点，
所以是的中点，
所以；
解：由知点到平面的距离等于，
因为平面，
所以，，
所以，
则，即
又因为，，
所以，，
所以是等边三角形，
则，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，
解得，
所以点到平面的距离为;
【解析】此题主要考查线面垂直、线面平行和点到平面的距离，属中档题.
利用平面和，证明平面；
利用平面推出，得到；
利用可求得点到平面的距离．
21.【答案】证明：，．
又平面，平面，
．
又，
平面．
平面，平面，
．
又，，
平面，平面，
平面．;
【解析】
根据线面垂直，得到线线垂直，从而求出线面垂直即可；
要证线面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，先由线面垂直得线线垂直，然后利用线面垂直的判定得线面垂直继而得到线线垂直，问题从而得证．
该题考查了线面垂直的判定和线面垂直的定义的应用，考查了学生灵活进行垂直关系的转化，是个基础题．
22.【答案】证明：（Ⅰ）取PA的中点G，连FG，由题可知：BF=FP，则FG∥AB
FG=AB，又CE=ED，可得：DE∥AB 且DE=AB，
∴FG∥DE 且FG=DE，∴四边形DEFG为平行四边形，则EF∥DG
且EF=DG，DG 平面PAD；EF 平面PAD，∴EF∥平面PAD………（4分）
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，PD 平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
且交线为AD，又底面ABCD是矩形，∴BA⊥AD，∴BA⊥平面PAD，
∴平面PAB⊥平面PAD，其交线为PA，
又PD=AD，G为PA的中点，∴DG⊥PA，
∴DG⊥平面PAB，由（Ⅰ）知：EF∥DG，
∴EF⊥平面PAB………（8分）
解：（Ⅲ）由AB=BC=得：BC=1，AB=，AD=PD=1，
F 为PB的中点，
∴VP-AEF====．…………（12分）;
【解析】
Ⅰ取的中点，连，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．
Ⅱ推导出平面平面，，平面，从而平面平面，推导出，从而平面，由，能证明平面．
Ⅲ，由此能求出三棱锥的体积．
该题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.【答案】证明：取中点，连接，，

又分别为的中点．
是的中位线，即，，
又四边形底面是平行四边形，为的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
证明：是等边三角形，是中点，
①，
中，，，，
面面，面面，，平面，
面，且面，
②，
由①②可知，，，，，平面，
面，
又，面；
解：取中点，连接，则
是等边三角形，是中点，
，
面面，面面，平面，
面，
为的中点，
到平面的距离等于的一半，
，
;
【解析】此题主要考查空间几何体中直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，三棱锥体积的计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
取中点，连接，，利用已知条件证明平行四边形，即可求证面；
利用已知条件通过直线与平面垂直的判定定理证明面，利用，证明面
取中点，连接，证明到平面的距离等于的一半，即可求出三棱锥的体积．