人教B版（2019）必修第四册《9.1 正弦定理和余弦定理》同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第四册《9.1 正弦定理和余弦定理》同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 149.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-22 16:35:44 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第四册《9.1 正弦定理和余弦定理》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在中，角，所对的边长为，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.（5分）某海轮以的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东方向，向北航行后到达点，测得油井在南偏东方向，海轮改为北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离为
A. B. C. D.
3.（5分）某船在处测得灯塔在其南偏东方向上，该船继续向正南方向行驶海里到处，测得灯塔在其北偏东方向上，然后该船向东偏南方向行驶海里到处，此时船到灯塔的距离为多少海里
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
4.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则外接圆的半径为
A. B. C. D.
5.（5分）在中，若，，则的面积为
A. B. C. D.
6.（5分）在中，已知，，若该三角形有两解，则的取值范围是
A. B. C. D.
7.（5分）若的内角，，所对的边，，满足，且，则
A. B. C. D.
8.（5分）在中，若，则等于
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在中，，，的对边分别为，，，且记为的面积，下列命题正确的是
A. 若，则有最大值 B. 若，则有最小值
C. 若，则有最小值 D. 若，则有最大值
10.（5分）平面上三点不共线，设，则的面积等于
A.
B.
C.
D.
11.（5分）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
12.（5分）东汉末年的数学家赵爽在《周骳算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是
A. 这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍
13.（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，下列各组条件中使得有两个解的是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在中，角，，的对边分别为，，，已知的长度是底面半径为，侧面积为的圆锥的母线长，又，且为锐角，则面积的最大值为______．
15.（5分）中，，，若成等差数列，并且，则的三个内角中，最大的角的大小为______．
16.（5分）在 中，三个内角，，的对边分别是，，，若 ，，，则角______．
17.（5分）在中，已知：：：：，则此三角形的最大内角的度数等于______．
18.（5分）电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生____种不同的信息。
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知中，内角、、的对边分别为、、，为角平分线．
求证：；
若，且，求的大小．
20.（12分）在中，内角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
若，求面积的取值范围；
若，试确定实数的取值范围，使是锐角三角形．
21.（12分）如图所示，我艇在处发现一走私船在方位角且距离为海里的处正以每小时海里的速度向方位角的方向逃窜，我艇立即以海里小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．
22.（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且．
求的值；
若的面积为，且，求的值．
23.（12分）在锐角中，角，，的对应边分别为，，
若，，成等比数列，，求的值；
若角，，成等差数列，且，求周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：若
，，条件是充分的；
若
，，或，即或，故条件是不必要的．
故选：．
先看当时，判断出三角形为等腰三角形，可推断出，进而可求得，推断出充分性；再看若，利用正弦定理把边转化成角的正弦，利用二倍角公式求得或，推断出条件是不必要的，最后综合可得答案．
此题主要考查了充分条件，必要条件和充分必要条件的判定，正弦定理的应用．充分必要关系是两个命题之间的逻辑关系，是解题中实现命题变更转化的依据．两个命题之间有充分不必要，必要不充分、充分且必要、既不充分又不必要四类关系．
2.【答案】C;
【解析】此题主要考查解三角形的实际应用和正弦定理的实际应用，属于基础题.
在中，根据正弦定理，求，再利用余弦定理算出的长，即可算出、两地间的距离．
解：如图，
在中，，，，
根据正弦定理，得，即，得
在中，，
由已知得，
所以
即，间的距离为
故选
3.【答案】A;
【解析】
此题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属中档题.
根据题意，画出图形，根据已知的边角关系，根据余弦定理求解.
解：根据题意可画图形如图，
因为在处测得灯塔在其南偏东方向，即，
船继续向正南方向行驶海里到处，即，
在处测得灯塔在其北偏东方向上，即，
所以为一个等边三角形，即，
船向东偏南方向行驶海里到处，
根据图形可得：且，
在中，由余弦定理可得：
，
解得：
故选
4.【答案】C;
【解析】解：，，，
由余弦定理，得，解得，
设外接圆半径为，
由正弦定理，得，
解得．
故选：．
由已知利用余弦定理可求，再由正弦定理即可求得半径．
该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，属基础题，准确记忆公式并能灵活运用是解题关键．
5.【答案】C;
【解析】
该题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，确定出的度数，再由的值，利用三角形面积公式求出三角形面积即可．
解：中，，即，
，
，
，
，
故选：．
6.【答案】B;
【解析】解：在中，，，
由正弦定理得：，
，
，
要使三角形有两解，得到：，且，即，
，
解得：，即的取值范围是
故选：
利用正弦定理列出关系式，将，，的值代入表示出，根据的度数确定出的范围，要使三角形有两解确定出的具体范围，利用正弦函数的值域即可求出的范围．
此题主要考查了正弦定理，以及正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了三角形中余弦定理的应用，属于基础题．
将已知的等式展开，利用余弦定理表示出即可求出的值．
解：，
即，
由余弦定理得，
，则，
．
故选C．
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了正弦定理勾股定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
由已知结合正弦定理得到，进而可求
解：因为，
由正弦定理可得，，
则，
由，
所以，
故选
9.【答案】ABD;
【解析】解：对于，当，则由余弦定理可得，
可得，则，可得，
当且仅当时取得最大值，故A正确；
对于，当，由余弦定理，
即，解得，或，
则，故B正确；
对于，当，，
又由三角形的性质可得，所以当时，，故C错误；
对于，当，则由余弦定理可知，，
由，则，，，
当且仅当时取得最大值，故D正确．
故选：．
对于，由题意利用余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解；
对于，由已知利用余弦定理可得，解得的值，利用三角形的面积公式即可求；
对于，由余弦定理可得，又由三角形的性质可得，可得当时，，即可得解；
对于，由余弦定理可求，进而利用基本不等式即可求解．
此题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
10.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查了向量的数量积和三角形面积公式，属于中档题.
由向量的数量积和三角形面积公式可得结论.
解：
，故正确；
，故正确；
故选
11.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
根据正弦定理逐项判断即可.
解：由题意项条件不足，不确定；
项，，
，此时有一解
对于，由正弦定理可得，，此时有一解.
对于，由正弦定理可得：
，此时有两解.
故选
12.【答案】ABD;
【解析】解：对于选项：根据对称性，所以，
所以选项正确；
对于选项：在中，，而，所以，
由正弦定理得，解得，
又因为，所以，
所以正确；
对于选项：不妨设，，由余弦定理可得，
解得，所以，
故选项不正确；
对于选项：若是的中点，
所以，
故选：
对于选项：由，因此这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故正确；
对于选项：利用正弦定理求得，由，进而求得，故正确；
对于选项：根据题意，利用余弦定理即可求得，因此即可求得，因此错误；
对于选项：利用三角形的面积公式，表示出，故正确．
此题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
13.【答案】CD;
【解析】解：对于：，所以该三角形为钝角三角形，且，故三角形无解，故错误；
对于：由于，所以，由于，故三角形有一解，故错误；
对于：由于，满足，故三角形有两解，故正确；
对于：由于，满足，故三角形有两解，故正确．
故选：
直接利用三角形的解的情况的应用，判定、、、的结论．
此题主要考查的知识要点：三角形的解得情况的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14.【答案】;
【解析】解：的长度是底面半径为，侧面积为的圆锥的母线长，
，得，又，得，
而，
所以，当且仅当时等号成立，
即，即当时，
三角形面积最大值为．
故答案为：．
先求出的值，结合正弦定理，余弦定理以及基本不等式进行转化求解即可．
这道题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．
15.【答案】120°;
【解析】解：，，成等差数列，，
，又，
，，边最长，角最大，
，
角为，
故答案为：．
利用等差中项以及正弦定理得到，又因为，用表达出，，即可判断，，的大小关系，再利用余弦定理即可求出结果．
这道题主要考查了正弦定理和余弦定理，是基础题．
16.【答案】;
【解析】
该题考查了正弦定理以及特殊角的三角函数值应用问题，是基础题目．
根据正弦定理，求出的值，再根据大边对大角以及特殊角的三角函数值，即可求出的值．
解： 中，，，，
由正弦定理得，，
即，
解得，
又，，．
故答案为：．
17.【答案】;
【解析】解：：：：：，
由正弦定理可得：：：：：，
为最大角，，，
由余弦定理可得：，
，
．
故答案为：．
直接利用正弦定理，转化角为边的关系，利用大边对大角，余弦定理可求的值，结合的范围即可得解．
该题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的解法，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】256;
【解析】产生一种信息需分8步，每步有两种选择方法，由分步计数原理可得共可产生N=28=256(种)不同信息。
19.【答案】解：（1）证明：在△ABC中，∵BD为角∠B的角平分线，
∴∠CBD=∠ABD，设点B到AC的距离为h（即△ABC底边AC上的高为h），
∴==，
整理得，即；
（2）∵BD为角∠B的角平分线，
∴∠1=∠2，①
∵BD=b，c=2a，，
∴AD=，CD=，
在△BCD中，=+-2abcos∠1②，
在△ABD中，=（2a）2+-2 2abcos∠2③，
联立①②③，得=，
在△ABC中，cos∠ABC==．;
【解析】
利用，可证得结论成立；
依题意，利用余弦定理可求得，在中，利用余弦定理可求得答案．
此题主要考查余弦定理与三角形面积公式，考查转化与化归思想、数形结合思想，突出考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
，
由余弦定理可得，
，当且仅当时取等号，
，
面积的取值范围为，
，
，
为锐角三角形，，
，
，
，
即的范围为;
【解析】
由已知及三角函数中的恒等变换应用，从而可求，即可解得的值，
由余弦定理和基本不等式可得，再根据三角形的面积公式计算即可，
由题意可得，根据角的范围，即可求出．
这道题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．
21.【答案】解：设我艇追上走私船所需要的时间为小时，则，，
在中，，根据余弦定理知： ，
或舍去，
故我艇追上走私船所需要的时间为小时．;
【解析】该题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
设我艇追上走私船所需要的时间为小时，根据各自的速度表示出与，由，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
22.【答案】解：（1）因为acosC+（c-3b）cosA=0，
所以sinAcosC+（sinC-3sinB）cosA=0，
所以sinAcosC+sinCcosA=3sinBcosA，可得sin（A+C）=sinB=3sinBcosA，
因为sinB≠0，
可得cosA=．
（2）因为S=bcsinA=b×c×=，可得bc=3，
所以=+-2bccosA=（b-c）2+2bc-=4+×3=8，
解得：a=2．;
【解析】
利用诱导公式，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合，可求的值．
由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理即可求解的值．
此题主要考查了诱导公式，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
23.【答案】解：（1）∵cosB=，
∴sinB=，
∵a、b、c成等比数列，
∴=ac，
∴依据正弦定理得siB=sinAsinC，
∴+====．
（2）∵角A，B，C成等差数列，2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=，
由正弦定理，得=，
∴a=sinA，c=sinC．
∵A+C=，即C=，
∴△ABC周长为L=a+b+c=+2=4cos（A-）+2，
∵0＜A＜，
∴，
∴，
∴4＜4cos（A-）+2≤6，
∴当A=B=C=时，△ABC周长L取得最大值6．;
【解析】
首先求出的值，再依据正弦定理及、、成等比数列得出，对化简代入即可；
由等差数列的性质，三角形内角和定理可求，利用正弦定理表示出与，进而表示出三角形的周长，再结合三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，即可求解．
此题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，基本不等式在解三角形中的运用，考查等比数列，等差数列的性质，考查运算能力和转化思想，属于中档题．
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在中，角，所对的边长为，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.（5分）某海轮以的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东方向，向北航行后到达点，测得油井在南偏东方向，海轮改为北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离为
A. B. C. D.
3.（5分）某船在处测得灯塔在其南偏东方向上，该船继续向正南方向行驶海里到处，测得灯塔在其北偏东方向上，然后该船向东偏南方向行驶海里到处，此时船到灯塔的距离为多少海里
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
4.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则外接圆的半径为
A. B. C. D.
5.（5分）在中，若，，则的面积为
A. B. C. D.
6.（5分）在中，已知，，若该三角形有两解，则的取值范围是
A. B. C. D.
7.（5分）若的内角，，所对的边，，满足，且，则
A. B. C. D.
8.（5分）在中，若，则等于
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在中，，，的对边分别为，，，且记为的面积，下列命题正确的是
A. 若，则有最大值 B. 若，则有最小值
C. 若，则有最小值 D. 若，则有最大值
10.（5分）平面上三点不共线，设，则的面积等于
A.
B.
C.
D.
11.（5分）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
12.（5分）东汉末年的数学家赵爽在《周骳算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是
A. 这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍
13.（5分）在中，内角，，所对的边分别为，，下列各组条件中使得有两个解的是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在中，角，，的对边分别为，，，已知的长度是底面半径为，侧面积为的圆锥的母线长，又，且为锐角，则面积的最大值为______．
15.（5分）中，，，若成等差数列，并且，则的三个内角中，最大的角的大小为______．
16.（5分）在 中，三个内角，，的对边分别是，，，若 ，，，则角______．
17.（5分）在中，已知：：：：，则此三角形的最大内角的度数等于______．
18.（5分）电子计算机的输入纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产生____种不同的信息。
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知中，内角、、的对边分别为、、，为角平分线．
求证：；
若，且，求的大小．
20.（12分）在中，内角，，的对边分别为，，已知．
求角的大小；
若，求面积的取值范围；
若，试确定实数的取值范围，使是锐角三角形．
21.（12分）如图所示，我艇在处发现一走私船在方位角且距离为海里的处正以每小时海里的速度向方位角的方向逃窜，我艇立即以海里小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．
22.（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且．
求的值；
若的面积为，且，求的值．
23.（12分）在锐角中，角，，的对应边分别为，，
若，，成等比数列，，求的值；
若角，，成等差数列，且，求周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：若
，，条件是充分的；
若
，，或，即或，故条件是不必要的．
故选：．
先看当时，判断出三角形为等腰三角形，可推断出，进而可求得，推断出充分性；再看若，利用正弦定理把边转化成角的正弦，利用二倍角公式求得或，推断出条件是不必要的，最后综合可得答案．
此题主要考查了充分条件，必要条件和充分必要条件的判定，正弦定理的应用．充分必要关系是两个命题之间的逻辑关系，是解题中实现命题变更转化的依据．两个命题之间有充分不必要，必要不充分、充分且必要、既不充分又不必要四类关系．
2.【答案】C;
【解析】此题主要考查解三角形的实际应用和正弦定理的实际应用，属于基础题.
在中，根据正弦定理，求，再利用余弦定理算出的长，即可算出、两地间的距离．
解：如图，
在中，，，，
根据正弦定理，得，即，得
在中，，
由已知得，
所以
即，间的距离为
故选
3.【答案】A;
【解析】
此题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属中档题.
根据题意，画出图形，根据已知的边角关系，根据余弦定理求解.
解：根据题意可画图形如图，
因为在处测得灯塔在其南偏东方向，即，
船继续向正南方向行驶海里到处，即，
在处测得灯塔在其北偏东方向上，即，
所以为一个等边三角形，即，
船向东偏南方向行驶海里到处，
根据图形可得：且，
在中，由余弦定理可得：
，
解得：
故选
4.【答案】C;
【解析】解：，，，
由余弦定理，得，解得，
设外接圆半径为，
由正弦定理，得，
解得．
故选：．
由已知利用余弦定理可求，再由正弦定理即可求得半径．
该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，属基础题，准确记忆公式并能灵活运用是解题关键．
5.【答案】C;
【解析】
该题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，确定出的度数，再由的值，利用三角形面积公式求出三角形面积即可．
解：中，，即，
，
，
，
，
故选：．
6.【答案】B;
【解析】解：在中，，，
由正弦定理得：，
，
，
要使三角形有两解，得到：，且，即，
，
解得：，即的取值范围是
故选：
利用正弦定理列出关系式，将，，的值代入表示出，根据的度数确定出的范围，要使三角形有两解确定出的具体范围，利用正弦函数的值域即可求出的范围．
此题主要考查了正弦定理，以及正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了三角形中余弦定理的应用，属于基础题．
将已知的等式展开，利用余弦定理表示出即可求出的值．
解：，
即，
由余弦定理得，
，则，
．
故选C．
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了正弦定理勾股定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
由已知结合正弦定理得到，进而可求
解：因为，
由正弦定理可得，，
则，
由，
所以，
故选
9.【答案】ABD;
【解析】解：对于，当，则由余弦定理可得，
可得，则，可得，
当且仅当时取得最大值，故A正确；
对于，当，由余弦定理，
即，解得，或，
则，故B正确；
对于，当，，
又由三角形的性质可得，所以当时，，故C错误；
对于，当，则由余弦定理可知，，
由，则，，，
当且仅当时取得最大值，故D正确．
故选：．
对于，由题意利用余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解；
对于，由已知利用余弦定理可得，解得的值，利用三角形的面积公式即可求；
对于，由余弦定理可得，又由三角形的性质可得，可得当时，，即可得解；
对于，由余弦定理可求，进而利用基本不等式即可求解．
此题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
10.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查了向量的数量积和三角形面积公式，属于中档题.
由向量的数量积和三角形面积公式可得结论.
解：
，故正确；
，故正确；
故选
11.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
根据正弦定理逐项判断即可.
解：由题意项条件不足，不确定；
项，，
，此时有一解
对于，由正弦定理可得，，此时有一解.
对于，由正弦定理可得：
，此时有两解.
故选
12.【答案】ABD;
【解析】解：对于选项：根据对称性，所以，
所以选项正确；
对于选项：在中，，而，所以，
由正弦定理得，解得，
又因为，所以，
所以正确；
对于选项：不妨设，，由余弦定理可得，
解得，所以，
故选项不正确；
对于选项：若是的中点，
所以，
故选：
对于选项：由，因此这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故正确；
对于选项：利用正弦定理求得，由，进而求得，故正确；
对于选项：根据题意，利用余弦定理即可求得，因此即可求得，因此错误；
对于选项：利用三角形的面积公式，表示出，故正确．
此题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．
13.【答案】CD;
【解析】解：对于：，所以该三角形为钝角三角形，且，故三角形无解，故错误；
对于：由于，所以，由于，故三角形有一解，故错误；
对于：由于，满足，故三角形有两解，故正确；
对于：由于，满足，故三角形有两解，故正确．
故选：
直接利用三角形的解的情况的应用，判定、、、的结论．
此题主要考查的知识要点：三角形的解得情况的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14.【答案】;
【解析】解：的长度是底面半径为，侧面积为的圆锥的母线长，
，得，又，得，
而，
所以，当且仅当时等号成立，
即，即当时，
三角形面积最大值为．
故答案为：．
先求出的值，结合正弦定理，余弦定理以及基本不等式进行转化求解即可．
这道题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．
15.【答案】120°;
【解析】解：，，成等差数列，，
，又，
，，边最长，角最大，
，
角为，
故答案为：．
利用等差中项以及正弦定理得到，又因为，用表达出，，即可判断，，的大小关系，再利用余弦定理即可求出结果．
这道题主要考查了正弦定理和余弦定理，是基础题．
16.【答案】;
【解析】
该题考查了正弦定理以及特殊角的三角函数值应用问题，是基础题目．
根据正弦定理，求出的值，再根据大边对大角以及特殊角的三角函数值，即可求出的值．
解： 中，，，，
由正弦定理得，，
即，
解得，
又，，．
故答案为：．
17.【答案】;
【解析】解：：：：：，
由正弦定理可得：：：：：，
为最大角，，，
由余弦定理可得：，
，
．
故答案为：．
直接利用正弦定理，转化角为边的关系，利用大边对大角，余弦定理可求的值，结合的范围即可得解．
该题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的解法，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】256;
【解析】产生一种信息需分8步，每步有两种选择方法，由分步计数原理可得共可产生N=28=256(种)不同信息。
19.【答案】解：（1）证明：在△ABC中，∵BD为角∠B的角平分线，
∴∠CBD=∠ABD，设点B到AC的距离为h（即△ABC底边AC上的高为h），
∴==，
整理得，即；
（2）∵BD为角∠B的角平分线，
∴∠1=∠2，①
∵BD=b，c=2a，，
∴AD=，CD=，
在△BCD中，=+-2abcos∠1②，
在△ABD中，=（2a）2+-2 2abcos∠2③，
联立①②③，得=，
在△ABC中，cos∠ABC==．;
【解析】
利用，可证得结论成立；
依题意，利用余弦定理可求得，在中，利用余弦定理可求得答案．
此题主要考查余弦定理与三角形面积公式，考查转化与化归思想、数形结合思想，突出考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
，
由余弦定理可得，
，当且仅当时取等号，
，
面积的取值范围为，
，
，
为锐角三角形，，
，
，
，
即的范围为;
【解析】
由已知及三角函数中的恒等变换应用，从而可求，即可解得的值，
由余弦定理和基本不等式可得，再根据三角形的面积公式计算即可，
由题意可得，根据角的范围，即可求出．
这道题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．
21.【答案】解：设我艇追上走私船所需要的时间为小时，则，，
在中，，根据余弦定理知： ，
或舍去，
故我艇追上走私船所需要的时间为小时．;
【解析】该题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
设我艇追上走私船所需要的时间为小时，根据各自的速度表示出与，由，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值．
22.【答案】解：（1）因为acosC+（c-3b）cosA=0，
所以sinAcosC+（sinC-3sinB）cosA=0，
所以sinAcosC+sinCcosA=3sinBcosA，可得sin（A+C）=sinB=3sinBcosA，
因为sinB≠0，
可得cosA=．
（2）因为S=bcsinA=b×c×=，可得bc=3，
所以=+-2bccosA=（b-c）2+2bc-=4+×3=8，
解得：a=2．;
【解析】
利用诱导公式，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合，可求的值．
由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理即可求解的值．
此题主要考查了诱导公式，两角和的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
23.【答案】解：（1）∵cosB=，
∴sinB=，
∵a、b、c成等比数列，
∴=ac，
∴依据正弦定理得siB=sinAsinC，
∴+====．
（2）∵角A，B，C成等差数列，2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=，
由正弦定理，得=，
∴a=sinA，c=sinC．
∵A+C=，即C=，
∴△ABC周长为L=a+b+c=+2=4cos（A-）+2，
∵0＜A＜，
∴，
∴，
∴4＜4cos（A-）+2≤6，
∴当A=B=C=时，△ABC周长L取得最大值6．;
【解析】
首先求出的值，再依据正弦定理及、、成等比数列得出，对化简代入即可；
由等差数列的性质，三角形内角和定理可求，利用正弦定理表示出与，进而表示出三角形的周长，再结合三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，即可求解．
此题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，基本不等式在解三角形中的运用，考查等比数列，等差数列的性质，考查运算能力和转化思想，属于中档题．