人教B版（2019）必修第四册《9.1.1 正弦定理》同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第四册《9.1.1 正弦定理》同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 62.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-22 16:36:06 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第四册《9.1.1 正弦定理》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在中，若，，，则
A. B. C. D.
2.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则
A. B.
C. D. 与的大小关系不确定
3.（5分）已知在中，，，，则的值为
A. B. C. D.
4.（5分）已知圆的半径为，为该圆的内接三角形的三边，若，则三角形的面积为
A. B. C. D.
5.（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，则与的关系为
A. B. C. D.
6.（5分）在中，三个内角分别是，，，若，则此一定是
A. 直角三角形 B. 正三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
7.（5分）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的面积为
A. B. C. D.
8.（5分）在中，，，点在边上，且，则
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.（5分）多选，，分别为内角，，的对边．已知， 且，则角的可能取值为
A. B. C. D.
11.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是
A. 若，则
B. 若，，，则为钝角三角形
C. 若，，，则符合条件的三角形不存在
D. 若，则一定是等腰三角形
12.（5分）在中，，则的面积可以是
A. B. C. D.
13.（5分）在中，，，，则角的值可以是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为 ______.
15.（5分）如图所示，在直角梯形中，为线段上一点，，，，，，则为 ______
16.（5分）已知中，角、、所对的边分别是、、，且，，当时，的周长为______．
17.（5分）在中，、、分别是内角、、的对边，且，，则面积的最大值为______．
18.（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，，，则的面积为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知的面积为，且．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，求的面积．
20.（12分）在中，边，，分别是内角，，所对的边，且满足
求证：；
设的最大值为，当，，，又，求的长．
21.（12分）中，是边上的点，满足，，．
求；
若，求的长．
22.（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，求角的大小．
23.（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，已知，．
若，求和的值；
若，求的面积．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：在中，，，，
由正弦定理，可得：，
可得：，可得：，，，
．
故选：．
由已知利用正弦定理可求的值，利用特殊角的三角函数值可求，进而可求，的值，根据勾股定理可求的值．
这道题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，勾股定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
2.【答案】A;
【解析】解：由题意得，，，
根据正弦定理得，，
所以，，
所以：，
所以：，
可得：．
故选：．
根据正弦定理和题意求出的值，进而可求，利用三角形内角和定理，诱导公式可求，根据正弦定理可求，即可得解．
该题考查正弦定理，角形内角和定理，诱导公式在解三角形中的应用，考查了三角形的边角关系，属于中档题．
3.【答案】A;
【解析】
解：，，，
由正弦定理可得：．
故选：．
由已知利用正弦定理即可计算得解．
这道题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】， ，
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查正弦定理，根据正弦定理得到，由此得到
解：因为，
所以正弦定理得，
在三角形中，大边对大角，
所以，
故选
6.【答案】C;
【解析】解：根据正弦定理：
余弦定理：
把代入得到：
化简得：
此一定是等腰三角形
故选：
首先把正弦定理及余弦定理代入题中的已知关系式进行化简即可得到结果．
该题考查的知识点：正弦定理及余弦定理，及相关的化简问题．
7.【答案】B;
【解析】
这道题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由正弦定理化简已知等式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
解：，
由正弦定理可得：，可得：，
．
故选B．
8.【答案】C;
【解析】解：如图所示，
中，，，
，；
中，由正弦定理得，
即，
由，得，
中，由正弦定理得，
即，
则得，，
解得．
故选：．
由题意知中，；中由正弦定理得，中，由正弦定理得，
两式相比即可求得的值．
该题考查了解三角形的应用问题，也考查了同角的三角函数关系应用问题，是中档题．
9.【答案】BC;
【解析】此题主要考查了正弦定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
直接根据正弦定理逐项判断即可得解．解：对于，，，此时不存在，即无解；
对于，，，，只有一解，
对于，，，，只有一解，
对于，，得，，有两个解，
故选
10.【答案】BC;
【解析】此题主要考查正弦定理，属于基础题由已知利用正弦定理可求，即可求出的值.
解：由正弦定理，
得，
，，则或
故选
11.【答案】AC;
【解析】解：对于：若，则，整理得，故正确；
对于：根据，，，可得，
所以最大角为锐角，故为锐角三角形，故错误；
对于：若，，，则，
这样符合条件的三角形内角不存在，故正确；
对于：若，则，可得，
所以或，所以是等腰或直角三角形，故不正确．
故选：
利用正弦定理和余弦定理结合各选项的条件分别判断即可．
此题主要考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查正弦定理和三角形的面积公式.
根据正弦定理先求角与，然后根据三角形的面积公式求解即可.
解：因为在中，，
由正弦定理得：，
，
又，
，
当时，，此时
当时，，此时
故选
13.【答案】AB;
【解析】此题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
由已知结合正弦定理可求，然后结合三角形的内角和定理可求．解：，，，
由正弦定理可得，，即，
所以，，
，
则或，
则角或
故选：
14.【答案】8;
【解析】解：，
，即，
则，
，，
，
在中，，
在中，，
，，
将两式相加可得，
即，
所以，
令，则，即，
解得，
，，当且仅当时取等号，
则的最大值为，
故答案为：
由正弦定理整理条件可得，在和中，利用余弦定理表示出，，可得，再用换元思想可求得的最大值．
此题主要考查正弦定理的应用，涉及余弦定理，不等式等知识点，考查换元思想，属于中档题．
15.【答案】6;
【解析】
该题考查了三角形中的角的关系以及正弦定理和解直角三角形，属于基础题．
根据三角形的角的关系求出，再根据正弦定理求出的长，然后解直角三角形即可．
解：，，，
，
，
由正弦定理可得，
，
在中，，
，
故答案为：
16.【答案】15;
【解析】解：由，，，可得，
由正弦定理可得，可得，
由，可得，
由，可得：，解得：，或舍去，
，可得，可得：，
可得：，，则，
故答案为：．
运用正弦定理可得，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长．
此题主要考查三角形的正弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】;
【解析】解：由正弦定理可得，
，，，
，
，
整理可得，，
即，
由余弦定理可得，，
，即，
，，
，
，
当且仅当时取等号，
即面积最大值，
故答案为：．
由已知结合正弦定理及余弦定理化简即可求解，然后结合基本不等式可求的范围，代入三角形的面积公式即可求解面积的最值．
这道题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用及利用基本不等式求解最值，属于中档试题．
18.【答案】;
【解析】解：因为，，
所以由正弦定理可得，即，
所以，
可得，
所以
故答案为：
利用正弦定理，将给的条件角化边，然后利用余弦定理求出的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式以及三角形中的边角互化，同时考查学生利用转化思想解决问题的意识和计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：（Ⅰ）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
∵，
∴，可得，
∴tanA=2，
∴．
（Ⅱ）由题意可得，
∵tanA=2，，
∴，．
∴，
由正弦定理知：，
．;
【解析】
Ⅰ由已知利用平面向量数量积的运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求，根据二倍角的正切函数公式即可求解．
Ⅱ根据已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，利用正弦定理可求的值，根据三角形的面积公式即可求解．
这道题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：（1）证明：由题设2sinB=sinA+sinC，
由正弦定理知，2b=a+c，
即b=．
由余弦定理知，=+-2accosB，
即cosB==≥=，
（2）cosB在（0，π）上单调递减，
∴B的最大值．
∵B=B0=，a=3，c=6，
由=，可得BD=c=4，
在△BCD中，由余弦定理得：
CD2=CB2+DB2-2CB DB cosB=9+16-2×3×4×=13，
则CD=．;
【解析】
运用正弦定理可得，再由余弦定理，结合基本不等式即可得证；
在上单调递减，求得的最大值，再由向量共线可得，在中，运用余弦定理，计算即可得到所求值．
此题主要考查正弦定理和余弦定理，以及基本不等式的运用，考查余弦函数的单调性和向量共线的运用，以及运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：中，是边上的点，
满足，，，
所以．
则．
设，，
由于，
所以，
又，，
整理得，
，，
解得，
．;
【解析】
直接利用三角形的面积建立等量关系，进一步利用正弦定理的应用求出结果．
利用三角形的面积公式的应用和勾股定理的应用求出结果．
该题考查了正弦定理、三角形面积计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：根据正弦定理可知，
，
，且，
或，
故角的大小为或;
【解析】
运用正弦定理，可得，结合，以及内角和定理，可得角
此题主要考查正弦定理的运用，同时考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
23.【答案】解：在中，由余弦定理，
得，
所以；
又；
由正弦定理，得；
所以的值为，的值为；
由余弦定理知；
由余弦定理知，
所以，
解得或舍去；
的面积．;
【解析】
由余弦定理和正弦定理求得、的值；
由余弦定理求得的值，再计算的面积．
该题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角函数面积计算问题，是基础题．
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在中，若，，，则
A. B. C. D.
2.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则
A. B.
C. D. 与的大小关系不确定
3.（5分）已知在中，，，，则的值为
A. B. C. D.
4.（5分）已知圆的半径为，为该圆的内接三角形的三边，若，则三角形的面积为
A. B. C. D.
5.（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，则与的关系为
A. B. C. D.
6.（5分）在中，三个内角分别是，，，若，则此一定是
A. 直角三角形 B. 正三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
7.（5分）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的面积为
A. B. C. D.
8.（5分）在中，，，点在边上，且，则
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10.（5分）多选，，分别为内角，，的对边．已知， 且，则角的可能取值为
A. B. C. D.
11.（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是
A. 若，则
B. 若，，，则为钝角三角形
C. 若，，，则符合条件的三角形不存在
D. 若，则一定是等腰三角形
12.（5分）在中，，则的面积可以是
A. B. C. D.
13.（5分）在中，，，，则角的值可以是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为 ______.
15.（5分）如图所示，在直角梯形中，为线段上一点，，，，，，则为 ______
16.（5分）已知中，角、、所对的边分别是、、，且，，当时，的周长为______．
17.（5分）在中，、、分别是内角、、的对边，且，，则面积的最大值为______．
18.（5分）在中，内角，，的对边分别为，，，，，则的面积为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知的面积为，且．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，求的面积．
20.（12分）在中，边，，分别是内角，，所对的边，且满足
求证：；
设的最大值为，当，，，又，求的长．
21.（12分）中，是边上的点，满足，，．
求；
若，求的长．
22.（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，求角的大小．
23.（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，已知，．
若，求和的值；
若，求的面积．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：在中，，，，
由正弦定理，可得：，
可得：，可得：，，，
．
故选：．
由已知利用正弦定理可求的值，利用特殊角的三角函数值可求，进而可求，的值，根据勾股定理可求的值．
这道题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，勾股定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
2.【答案】A;
【解析】解：由题意得，，，
根据正弦定理得，，
所以，，
所以：，
所以：，
可得：．
故选：．
根据正弦定理和题意求出的值，进而可求，利用三角形内角和定理，诱导公式可求，根据正弦定理可求，即可得解．
该题考查正弦定理，角形内角和定理，诱导公式在解三角形中的应用，考查了三角形的边角关系，属于中档题．
3.【答案】A;
【解析】
解：，，，
由正弦定理可得：．
故选：．
由已知利用正弦定理即可计算得解．
这道题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】， ，
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查正弦定理，根据正弦定理得到，由此得到
解：因为，
所以正弦定理得，
在三角形中，大边对大角，
所以，
故选
6.【答案】C;
【解析】解：根据正弦定理：
余弦定理：
把代入得到：
化简得：
此一定是等腰三角形
故选：
首先把正弦定理及余弦定理代入题中的已知关系式进行化简即可得到结果．
该题考查的知识点：正弦定理及余弦定理，及相关的化简问题．
7.【答案】B;
【解析】
这道题主要考查了正弦定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由正弦定理化简已知等式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
解：，
由正弦定理可得：，可得：，
．
故选B．
8.【答案】C;
【解析】解：如图所示，
中，，，
，；
中，由正弦定理得，
即，
由，得，
中，由正弦定理得，
即，
则得，，
解得．
故选：．
由题意知中，；中由正弦定理得，中，由正弦定理得，
两式相比即可求得的值．
该题考查了解三角形的应用问题，也考查了同角的三角函数关系应用问题，是中档题．
9.【答案】BC;
【解析】此题主要考查了正弦定理，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
直接根据正弦定理逐项判断即可得解．解：对于，，，此时不存在，即无解；
对于，，，，只有一解，
对于，，，，只有一解，
对于，，得，，有两个解，
故选
10.【答案】BC;
【解析】此题主要考查正弦定理，属于基础题由已知利用正弦定理可求，即可求出的值.
解：由正弦定理，
得，
，，则或
故选
11.【答案】AC;
【解析】解：对于：若，则，整理得，故正确；
对于：根据，，，可得，
所以最大角为锐角，故为锐角三角形，故错误；
对于：若，，，则，
这样符合条件的三角形内角不存在，故正确；
对于：若，则，可得，
所以或，所以是等腰或直角三角形，故不正确．
故选：
利用正弦定理和余弦定理结合各选项的条件分别判断即可．
此题主要考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查正弦定理和三角形的面积公式.
根据正弦定理先求角与，然后根据三角形的面积公式求解即可.
解：因为在中，，
由正弦定理得：，
，
又，
，
当时，，此时
当时，，此时
故选
13.【答案】AB;
【解析】此题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
由已知结合正弦定理可求，然后结合三角形的内角和定理可求．解：，，，
由正弦定理可得，，即，
所以，，
，
则或，
则角或
故选：
14.【答案】8;
【解析】解：，
，即，
则，
，，
，
在中，，
在中，，
，，
将两式相加可得，
即，
所以，
令，则，即，
解得，
，，当且仅当时取等号，
则的最大值为，
故答案为：
由正弦定理整理条件可得，在和中，利用余弦定理表示出，，可得，再用换元思想可求得的最大值．
此题主要考查正弦定理的应用，涉及余弦定理，不等式等知识点，考查换元思想，属于中档题．
15.【答案】6;
【解析】
该题考查了三角形中的角的关系以及正弦定理和解直角三角形，属于基础题．
根据三角形的角的关系求出，再根据正弦定理求出的长，然后解直角三角形即可．
解：，，，
，
，
由正弦定理可得，
，
在中，，
，
故答案为：
16.【答案】15;
【解析】解：由，，，可得，
由正弦定理可得，可得，
由，可得，
由，可得：，解得：，或舍去，
，可得，可得：，
可得：，，则，
故答案为：．
运用正弦定理可得，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长．
此题主要考查三角形的正弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】;
【解析】解：由正弦定理可得，
，，，
，
，
整理可得，，
即，
由余弦定理可得，，
，即，
，，
，
，
当且仅当时取等号，
即面积最大值，
故答案为：．
由已知结合正弦定理及余弦定理化简即可求解，然后结合基本不等式可求的范围，代入三角形的面积公式即可求解面积的最值．
这道题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用及利用基本不等式求解最值，属于中档试题．
18.【答案】;
【解析】解：因为，，
所以由正弦定理可得，即，
所以，
可得，
所以
故答案为：
利用正弦定理，将给的条件角化边，然后利用余弦定理求出的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式以及三角形中的边角互化，同时考查学生利用转化思想解决问题的意识和计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：（Ⅰ）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，
∵，
∴，可得，
∴tanA=2，
∴．
（Ⅱ）由题意可得，
∵tanA=2，，
∴，．
∴，
由正弦定理知：，
．;
【解析】
Ⅰ由已知利用平面向量数量积的运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求，根据二倍角的正切函数公式即可求解．
Ⅱ根据已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，利用正弦定理可求的值，根据三角形的面积公式即可求解．
这道题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：（1）证明：由题设2sinB=sinA+sinC，
由正弦定理知，2b=a+c，
即b=．
由余弦定理知，=+-2accosB，
即cosB==≥=，
（2）cosB在（0，π）上单调递减，
∴B的最大值．
∵B=B0=，a=3，c=6，
由=，可得BD=c=4，
在△BCD中，由余弦定理得：
CD2=CB2+DB2-2CB DB cosB=9+16-2×3×4×=13，
则CD=．;
【解析】
运用正弦定理可得，再由余弦定理，结合基本不等式即可得证；
在上单调递减，求得的最大值，再由向量共线可得，在中，运用余弦定理，计算即可得到所求值．
此题主要考查正弦定理和余弦定理，以及基本不等式的运用，考查余弦函数的单调性和向量共线的运用，以及运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：中，是边上的点，
满足，，，
所以．
则．
设，，
由于，
所以，
又，，
整理得，
，，
解得，
．;
【解析】
直接利用三角形的面积建立等量关系，进一步利用正弦定理的应用求出结果．
利用三角形的面积公式的应用和勾股定理的应用求出结果．
该题考查了正弦定理、三角形面积计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：根据正弦定理可知，
，
，且，
或，
故角的大小为或;
【解析】
运用正弦定理，可得，结合，以及内角和定理，可得角
此题主要考查正弦定理的运用，同时考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
23.【答案】解：在中，由余弦定理，
得，
所以；
又；
由正弦定理，得；
所以的值为，的值为；
由余弦定理知；
由余弦定理知，
所以，
解得或舍去；
的面积．;
【解析】
由余弦定理和正弦定理求得、的值；
由余弦定理求得的值，再计算的面积．
该题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角函数面积计算问题，是基础题．