人教B版（2019）必修第四册《9.2 正弦定理和余弦定理的应用》同步练习（含解析）

人教B版（2019）必修第四册《9.2 正弦定理和余弦定理的应用》同步练习
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）设为实数，且，则下列不等式正确的是
A. B. C. D.
2.（5分）下列关系式一定正确的是
A. B.
C. D.
3.（5分）在中，，，，则
A. B. C. D.
4.（5分）已知数列为单调递增的等比数列，为其前项和，且，若，则
A. B. C. D.
5.（5分）若实数a，b满足0＜a＜b，且a+b=1.则下列四个数中最大的是（ ）
A. B. C. 2ab D. a
6.（5分）已知数列满足，，则
A. B. C. D.
7.（5分）正项等比数列中，存在两项、使得，且，则的最小值是
A. B. C. D.
8.（5分）在中，，则一定是
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
9.（5分）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为，则该建筑物的高度为
A. B.
C. D.
10.（5分）给出下列命题：
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
若，则．
其中正确的命题有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.（5分）已知实数满足，则函数的最大值为
A. B. C. D.
12.（5分）已知数列满足，，设的前项和为，则的值为
A. B. C. D.
13.（5分）向量，，满足：，，，则最大值为
A. B. C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知，满足约束条件，则的最大值为______．
15.（5分）如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为______．
16.（5分）非班作答已知，且，是方程的两个根，则的值为______
17.（5分）在钝角中，已知，，则最大边的取值范围是_________。
18.（5分）对于给定的正整数，设集合，，且记为集合中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的所有的和记为，则______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知：在中，三个内角，，的对边分别为，，，且，
当时，求的面积；
当为锐角三角形时，求的取值范围．
20.（12分）已知函数．
求不等式的解集；
若对于一切，均有成立，求实数的取值范围
21.（12分）已知为等比数列的前项和，其公比为，且，，成等差数列．
求的值；
若数列为递增数列，，且，又，数列的前项和为，求．
22.（12分）设数列满足：对任意正整数，有…
求数列的通项公式；
，求数列的前项和
23.（12分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要，，三种主要原料，生产车皮甲种肥料和生产车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
肥料 原料
甲
乙
现有种原料吨，种原料吨，种原料吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产车皮甲种肥料，产生的利润为万元；生产车皮乙种肥料，产生的利润为万元、分别用，表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
用，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：对于：，不正确；
对于：在时，不成立，不正确；
对于：，不正确．
故选：
：作差判断不成立；：时不成立；：作差判断不成立．
此题主要考查了不等式的基本性质，属基础题．
2.【答案】D;
【解析】解：对于，由于，可得，故错误；
对于，由于，可得，故错误；
对于，由于，故错误；
对于，由于，或，成立，故正确．
故选：．
对于，，由于，，利用正弦函数，余弦函数的图象即可判断错误；对于，由于，即可判断错误；对于，利用二倍角公式化简，即可证明正确．
这道题主要考查了正弦函数，余弦函数的图象，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：在中，，，，
由正定理得，
由余弦定理得，
故
故选：
由已知利用正弦定理可求的值，利用余弦定理可求的值，即可求解．
此题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】C;
【解析】

此题主要考查等比数列的通项公式及求和，考查数列的函数特征，属于中档题.
由条件可求得公比，再求得，根据数列为单调递增的等比数列，可得数列的通项公式，从而可得结果.

解：由可得，
即，解得
当时，由可得，
不符合数列为单调递增的等比数列；
当时，，解得，符合题意.
故数列的通项公式为，

故
故选
5.【答案】B;
【解析】略
6.【答案】A;
【解析】解：，，
可得，
，
，
可得数列是周期为的数列，
即有，
故选：．
计算数列的前几项，可得数列是周期为的数列，即可得到所求值．
此题主要考查数列的周期性和运用：求值，考查运算能力，属于中档题．
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，属于中档题．
由，求出公比，由，确定，的关系，然后利用基本不等式即可求出的最小值，注意等号成立的条件．

解：设正项等比数列的公比为，，
，
，
即，
解得或舍去，
，
，
，

，
当且仅当，即时等号成立，
，且和为正整数，
等号无法成立，
经检验，当，时，最小值为：，
故选C．
8.【答案】C;
【解析】解：，
，
即，
，即为钝角，则一定是钝角三角形．
故选：．
由两角差的余弦，诱导公式可判为钝角，从而得解．
该题考查三角形形状的判断，涉及两角差的余弦，诱导公式的应用，属基础题．
9.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了两角和差公式，正弦定理，属于基础题.
先求出的值，由正弦定理求出，建筑物的高度为，即为结果.

解：在中，，，，
，
由正弦定理，得，
所以建筑物的高度为
故选
10.【答案】D;
【解析】解：，，故不正确；
，，，故正确；
，，，故正确；
，，，，故正确；
，，，，故正确；
，，，当且仅当时取等号，故正确．
故选：．
利用不等式的基本性质和基本不等式逐一判断即可．
该题考查了不等式的基本性质和基本不等式，属中档题．
11.【答案】D;
【解析】解：由，，
，
当且仅当上式取等号．
故选：．
由，得到，则，当时取得等号，
此题主要考查了基本不等式的应用，解题时，注意的范围，本题属于基础题．
12.【答案】C;
【解析】解：由，
，
化为：，
化为：，，
数列是等比数列，公比为，首项为，
，
，，
的前项和为，
则，
故选：
由，化为：，变形利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．
此题主要考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】D;
【解析】解：设，，，如图：
，
，，
，
，
，
，，
，
四点，，，共圆，
的最大值为该圆的直径，也就是三角形 的外接圆的直径，
设该圆的直径为，由正弦定理得，
所以的最大值为．
故选：．
设，，，则，再根据得到，得到，得到 四点，，，共圆，再转化为求四边形外接圆的直径，即三角形的外接圆的直径，用正弦定理可求得．
此题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，属难题．
14.【答案】2;
【解析】解：，满足约束条件的对应的平面区域如图：阴影部分．
由得，平移直线，
由平移可知当直线，经过点时，
直线的截距最小，此时取得最大值，
由，解得代入得，
即的最大值是，
故答案为：．
作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由得，利用平移即可得到结论．
此题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
15.【答案】;
【解析】解：；
；
又；
；
，，三点共线；
；
．
故答案为：．
根据即可得出，代入即可得到，这样再根据，，三点共线即可得出，解出即可．
考查向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及三点共线的充要条件．
16.【答案】;
【解析】解：由，是方程的两个根，
可得①
；②
由①②可得：，
，
；
；
即；
代入①可得，
那么，

则，
故答案为：．
利用二次方程的韦达定理，结合二倍角，和与差的公式即可求解；
该题考查了二次方程的韦达定理，二倍角，和与差的公式的综合应用和计算能力．属于中档题．
17.【答案】;
【解析】
该题考查的是三角形的三边关系，合理的运用勾股定理确定第边的范围．
要求的范围，就要确定对应角的范围，当时，根据勾股定理计算的长度，根据钝角大于和三角形两边之和大于第三边，可以确定的范围．

解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
可以确定的范围为，
又因为当为直角时，，
而题目中给出的为钝角，所以，
整理得：最大边的范围为．
故答案为．
18.【答案】2017×22 018+1;
【解析】解：对于集合，满足的集合只有个，即；
满足的集合有个，即，；
满足的集合有个，即，，，；；
满足的集合有个，所以①
②，
由①②可得
，
，
故答案为：．
由题意可得：的最大元素为时，，，，，共有个．可得，利用错位相减法即可得出．
该题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、集合的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：，，，
，
当时，由，得，
又，，
由余弦定理得，，
，解得或
当时，的面积；
当时，的面积
由知为锐角三角形，，
，，
依题意得，
，

;
【解析】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，考查了运算能力，属于中档题．
首先利用正弦定理可推出，从而可得角的大小，利用余弦定理可求出的值，进而根据三角形面积公式求解即可；
由可知，则，则可求出的范围，从而利用三角恒等变换可得，由此可得结论 .
20.【答案】解：（1）∵f（x）＜0，∴-x-6＜0，∴（x+2）（x-3）＜0，∴f（x）＜0的解集为（-2，3）；
（2）∵f（x）=-x-6，
∴当对于一切x＞1，均有-x-6≥（m+3）x-m-10成立
∴x2-4x+4≥m（x-1），
∴对一切x＞1均有m≤成立，
又=（x-1）+-2≥2-2=0，
当且仅当x=2时，等号成立．
∴实数m的取值范围为（-∞，0]．;
【解析】
直接解一元二次不等式即可；
将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到的取值范围．
该题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应用，考查化简整理的运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）2S2=S1+S3 S2-S1=S3-S2 =
∴q=1．
（2）由已知条件，
∴，∴，
又，
∴．;
【解析】
利用已知条件推出关系式，求解数列的公比．
求出数列的通项公式，化简，利用裂项消项法求解数列的和即可．
此题主要考查数列的递推关系式以及数列的通项公式数列求和的方法，考查计算能力．
22.【答案】解：（1）数列{}满足：对任意正整数n,有+++…+=n,①，
当n=1时，=1；
当n≥2时，+++…+=n-1，②，
①-②得：，
所以，（首项符合通项），
所以．
（2）由于=n,
故，
设，故数列{}的前n项和Tn=，①，
故，②，
①-②得：，
解得，
故．;
【解析】
直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式；
利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．
此题主要考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
23.【答案】解：（1）由已知x，y满足不等式，则不等式对应的平面区域为图1中的阴影部分，
（2）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y，即y=-x+，
平移直线y=-x+，由图象得当直线经过点M时，直线的截距最大，此时z最大，
由得，即M（20，24），
此时z=40+72=112，
即分别生产甲肥料20车皮，乙肥料24车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112万元．
;
【解析】设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．
设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．
这道题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．