人教B版（2019）必修第四册《第十章 复数》章节练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第四册《第十章 复数》章节练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 46.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-22 16:37:09 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第四册《第十章 复数》章节练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）复数满足为虚数单位，则
A. B. C. D.
2.（5分）若复数是实数，则实数
A. B. C. D.
3.（5分）在复平面内，若复数满足，则在复平面内对应点的轨迹是
A. 直线 B. 圆
C. 椭圆 D. 抛物线
4.（5分）若，，则复数表示的点在
A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限
5.（5分）复数为虚数单位，在复平面内所对应的点在直线上，则
A. B. C. D.
6.（5分）若是纯虚数为虚数单位，则实数的值为
A. B. C. 或 D. 以上都不对
7.（5分）已知虚数是虚数单位的实部与虚部相等，则实数的值为
A. B. 或 C. D.
8.（5分）若复数满足，则
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是
A. B. 若，则
C. 若为纯虚数，则 D. 若，则的最大值为
10.（5分）若复数满足其中是虚数单位，则
A. 的虚部是 B.
C. D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
11.（5分）若，为复数，则
A. B.
C. D.
12.（5分）设复数满足是虚数单位，则
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
13.（5分）对于非零实数，，以下四个式子均恒成立，对于非零复数，，下列式子仍然恒成立的是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知是虚数单位，若复数满足，则__________.
15.（5分）已知复数，为虚数单位，若为纯虚数，则实数______．
16.（5分）复数满足，则复数的共轭复数______．
17.（5分）已知复数，且，则 ．
18.（5分）若复数满足，则的共轭复数为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）解答下面两个问题：
Ⅰ已知复数，其共轭复数为，求；
Ⅱ复数，，，若是实数，求的值．
20.（12分）已知复数
若复数为纯虚数，求实数的值；
若复数在复平面内的对应点在第四象限，求实数的取值范围．
21.（12分）设复数和它的共轭复数满足，求复数．
Ⅱ设复数满足，求复数对应的点的轨迹方程．
22.（12分）已知复平面内的点，对应的复数分别为，，设对应的复数为．
当实数取何值时，复数是纯虚数；
若复数在复平面上对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．
23.（12分）已知复数，为虚数单位．
求；
若复数满足，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
根据复数的模长公式以及复数的运算法则进行化简求解即可．
此题主要考查复数的计算，根据复数的模长公式以及复数的运算法则是解决本题的关键．
解：，
则，
故选：．
2.【答案】B;
【解析】解：，
复数是实数，
，则，
故选：
根据复数的概念，利用复数的四则运算进行化简即可得到结论．
此题主要考查复数的有关概念的应用，根据复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．比较基础．
3.【答案】A;
【解析】
该题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，属于基础题．
设，代入，求模后整理得答案．
解：设，
代入，
可得，
，
即．
在复平面内对应点的轨迹是直线．
故选：．
4.【答案】D;
【解析】解：配方可得
，
复数表示的点在第四象限，
故选：
配方可得，，可得结论．
该题考查复数的代数形式的几何意义，涉及配方法的应用，属基础题．
5.【答案】A;
【解析】解：因为复数在复平面内对应的点为，
则由已知可得，解得，
所以，所以，
故选：
复数在复平面内对应的点为，代入直线方程求出的值，再根据模的计算公式求解即可．
此题主要考查了复数的模和共轭复数，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：因为是纯虚数，
所以且，解得
故选：
由纯虚数的定义，列式求解即可．
此题主要考查了纯虚数的定义，考查了运算能力，属于基础题．
7.【答案】A;
【解析】解：虚数是虚数单位的实部与虚部相等，
，
解得实数或舍
故
故选：
由虚数是虚数单位的实部与虚部相等，列出方程能求出实数
此题主要考查实数值的求法，考查复数的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查复数的四则运算，属于基础题.
解：因为，
所以，
故选
9.【答案】ABD;
【解析】解：选项：因为，故正确，
选项：，
因为，所以，则，故正确，
选项：因为为纯虚数，
所以，即，故错误，
选项：由复数模的三角不等式可得，故正确，
故选：
利用复数的运算性质以及复数为实数，纯虚数的条件和模的运算性质对应各个选项即可求解．
此题主要考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数以及模的运算性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
10.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查复数的概念及复数运算，同时考查复数的几何意义及复数模的运算，属于基础题.
求出，然后由模的计算公式及复数的有关概念，复数的几何意义，逐一分析求解即可.
解：，虚部为，错误，
对应点在第一象限，故错误，
，正确，
又，正确.
故选
11.【答案】BD;
【解析】解：若，，则，
故选项错误；
由复数的性质知，，
故选项正确；
若，，则，
故选项错误；
由复数的性质知，，
故选项正确；
故选：
由复数的定义及性质依次判断即可．
题主要考查复数模长的计算及性质，比较基础．
12.【答案】BCD;
【解析】解：是虚数单位，
，
，
即该复数对应的点在第四象限，
故选：
求出，从而求出，求出其对应的点的位置．
此题主要考查了复数的运算，考查转化思想，是基础题．
13.【答案】CD;
【解析】解：对于，不妨设，则，，故错误，
对于，不妨设，，故错误，
对于，对于非零复数，，
，
，故正确，
对于，，
，故，故正确．
故选：
对于，结合特殊值法，即可求解，对于，结合复数的乘法法则，即可求解，对于，结合复数模公式，即可求解．
此题主要考查复数的运算，需要学生熟练掌握复数模公式，属于中档题．
14.【答案】;
【解析】此题主要考查复数的指数形式、复数的运算、共轭复数和复数的模，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
先求出，则，得
解：，，
，，
15.【答案】-1;
【解析】解：，，
，
由为纯虚数，得，解得．
故答案为：．
利用复数代数形式的加减运算化简，再由实部为且虚部不为求得值．
该题考查复数代数形式的加减运算，考查复数的基本概念，是基础题．
16.【答案】1-3i;
【解析】解：，．
共轭复数．
故答案为：
先将利用复数除法的运算法则，化成代数形式，再求其共轭复数．
该题考查复数除法的运算法则，共轭复数的概念及求解．复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．
17.【答案】 ;
【解析】
试题分析：，则 解得 即 ．
考点：复数的运算；复数的恒等．
18.【答案】;
【解析】解：复数满足，
，
的共轭复数为：．
故答案为：．
由题意得，由此利用复数的运算法则能求出，进而能求出的共轭复数．
该题考查复数的共轭复数的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：Ⅰ，．
．
，
；
Ⅱ
是实数，，解得，或，
故，或．;
【解析】
Ⅰ由复数，求出和，代入计算得答案；
Ⅱ把，代入化简，再结合已知条件即可求出的值．
该题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题．
20.【答案】解：（1）若复数z=（-7a+6）+（-5a-6）i（a∈R）为纯虚数，
则，
解得：a=1；
（2）若复数z在复平面内的对应点在第四象限，
则，
解①得：a＜1或a＞6，
解②得-1＜a＜6．
取交集得：-1＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（-1，1）．;
【解析】
由实部等于且虚部不为联立不等式组求解；
由实部大于且虚部小于联立不等式组得答案．
该题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，训练了不等式组的解法，是基础题．
21.【答案】解：（I）设，
由可得，
所以，
∴；
（ II）设复数z=x+yi，
由|Z+2|+|Z-2|=8，
得，
其轨迹是椭圆，
方程为．;
【解析】
Ⅰ设出复数，根据，求出，的值，求出即可；Ⅱ设复数，得到关于，的方程，整理判断即可．
该题考查了复数的运算以及共轭复数问题，考查圆的方程，是一道中档题．
22.【答案】解：因为z==（2-m-1）+（-2+m）i，
（Ⅰ）当复数是纯虚数时，有，
解可得，m=，
（Ⅱ）当复数在复平面上对应的点位于第四象限时，
则，
解可得，，
所以;
【解析】
直接由已知的复数得到，然后结合纯虚数的定义可求，
结合复数在第四象限的特点限制的范围，解不等式可求．
该题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题
23.【答案】解：（1）．……………………（6分）
（2）设z=x+yi，因为|z|=2，所以+=4，……………………（8分）
在复平面中，复数对应点A（2，-2），
复数z对应点的轨迹是以为O（0，0）圆心，2为半径的圆，……………………（10分）
因为AO=，所以|z-|的最大值为．……………………（14分）;
【解析】
根据复数的运算性质直接进行求解即可；
设，由已知可得，，然后结合圆的性质即可求解．
本题 主要考查了复数的运算，解的关键是圆的性质的灵活应用．
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）复数满足为虚数单位，则
A. B. C. D.
2.（5分）若复数是实数，则实数
A. B. C. D.
3.（5分）在复平面内，若复数满足，则在复平面内对应点的轨迹是
A. 直线 B. 圆
C. 椭圆 D. 抛物线
4.（5分）若，，则复数表示的点在
A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限
5.（5分）复数为虚数单位，在复平面内所对应的点在直线上，则
A. B. C. D.
6.（5分）若是纯虚数为虚数单位，则实数的值为
A. B. C. 或 D. 以上都不对
7.（5分）已知虚数是虚数单位的实部与虚部相等，则实数的值为
A. B. 或 C. D.
8.（5分）若复数满足，则
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是
A. B. 若，则
C. 若为纯虚数，则 D. 若，则的最大值为
10.（5分）若复数满足其中是虚数单位，则
A. 的虚部是 B.
C. D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
11.（5分）若，为复数，则
A. B.
C. D.
12.（5分）设复数满足是虚数单位，则
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点在第四象限
13.（5分）对于非零实数，，以下四个式子均恒成立，对于非零复数，，下列式子仍然恒成立的是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知是虚数单位，若复数满足，则__________.
15.（5分）已知复数，为虚数单位，若为纯虚数，则实数______．
16.（5分）复数满足，则复数的共轭复数______．
17.（5分）已知复数，且，则 ．
18.（5分）若复数满足，则的共轭复数为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）解答下面两个问题：
Ⅰ已知复数，其共轭复数为，求；
Ⅱ复数，，，若是实数，求的值．
20.（12分）已知复数
若复数为纯虚数，求实数的值；
若复数在复平面内的对应点在第四象限，求实数的取值范围．
21.（12分）设复数和它的共轭复数满足，求复数．
Ⅱ设复数满足，求复数对应的点的轨迹方程．
22.（12分）已知复平面内的点，对应的复数分别为，，设对应的复数为．
当实数取何值时，复数是纯虚数；
若复数在复平面上对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．
23.（12分）已知复数，为虚数单位．
求；
若复数满足，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
根据复数的模长公式以及复数的运算法则进行化简求解即可．
此题主要考查复数的计算，根据复数的模长公式以及复数的运算法则是解决本题的关键．
解：，
则，
故选：．
2.【答案】B;
【解析】解：，
复数是实数，
，则，
故选：
根据复数的概念，利用复数的四则运算进行化简即可得到结论．
此题主要考查复数的有关概念的应用，根据复数的四则运算进行化简是解决本题的关键．比较基础．
3.【答案】A;
【解析】
该题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，属于基础题．
设，代入，求模后整理得答案．
解：设，
代入，
可得，
，
即．
在复平面内对应点的轨迹是直线．
故选：．
4.【答案】D;
【解析】解：配方可得
，
复数表示的点在第四象限，
故选：
配方可得，，可得结论．
该题考查复数的代数形式的几何意义，涉及配方法的应用，属基础题．
5.【答案】A;
【解析】解：因为复数在复平面内对应的点为，
则由已知可得，解得，
所以，所以，
故选：
复数在复平面内对应的点为，代入直线方程求出的值，再根据模的计算公式求解即可．
此题主要考查了复数的模和共轭复数，考查了学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】B;
【解析】解：因为是纯虚数，
所以且，解得
故选：
由纯虚数的定义，列式求解即可．
此题主要考查了纯虚数的定义，考查了运算能力，属于基础题．
7.【答案】A;
【解析】解：虚数是虚数单位的实部与虚部相等，
，
解得实数或舍
故
故选：
由虚数是虚数单位的实部与虚部相等，列出方程能求出实数
此题主要考查实数值的求法，考查复数的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
8.【答案】A;
【解析】
此题主要考查复数的四则运算，属于基础题.
解：因为，
所以，
故选
9.【答案】ABD;
【解析】解：选项：因为，故正确，
选项：，
因为，所以，则，故正确，
选项：因为为纯虚数，
所以，即，故错误，
选项：由复数模的三角不等式可得，故正确，
故选：
利用复数的运算性质以及复数为实数，纯虚数的条件和模的运算性质对应各个选项即可求解．
此题主要考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数以及模的运算性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
10.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查复数的概念及复数运算，同时考查复数的几何意义及复数模的运算，属于基础题.
求出，然后由模的计算公式及复数的有关概念，复数的几何意义，逐一分析求解即可.
解：，虚部为，错误，
对应点在第一象限，故错误，
，正确，
又，正确.
故选
11.【答案】BD;
【解析】解：若，，则，
故选项错误；
由复数的性质知，，
故选项正确；
若，，则，
故选项错误；
由复数的性质知，，
故选项正确；
故选：
由复数的定义及性质依次判断即可．
题主要考查复数模长的计算及性质，比较基础．
12.【答案】BCD;
【解析】解：是虚数单位，
，
，
即该复数对应的点在第四象限，
故选：
求出，从而求出，求出其对应的点的位置．
此题主要考查了复数的运算，考查转化思想，是基础题．
13.【答案】CD;
【解析】解：对于，不妨设，则，，故错误，
对于，不妨设，，故错误，
对于，对于非零复数，，
，
，故正确，
对于，，
，故，故正确．
故选：
对于，结合特殊值法，即可求解，对于，结合复数的乘法法则，即可求解，对于，结合复数模公式，即可求解．
此题主要考查复数的运算，需要学生熟练掌握复数模公式，属于中档题．
14.【答案】;
【解析】此题主要考查复数的指数形式、复数的运算、共轭复数和复数的模，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
先求出，则，得
解：，，
，，
15.【答案】-1;
【解析】解：，，
，
由为纯虚数，得，解得．
故答案为：．
利用复数代数形式的加减运算化简，再由实部为且虚部不为求得值．
该题考查复数代数形式的加减运算，考查复数的基本概念，是基础题．
16.【答案】1-3i;
【解析】解：，．
共轭复数．
故答案为：
先将利用复数除法的运算法则，化成代数形式，再求其共轭复数．
该题考查复数除法的运算法则，共轭复数的概念及求解．复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．
17.【答案】 ;
【解析】
试题分析：，则 解得 即 ．
考点：复数的运算；复数的恒等．
18.【答案】;
【解析】解：复数满足，
，
的共轭复数为：．
故答案为：．
由题意得，由此利用复数的运算法则能求出，进而能求出的共轭复数．
该题考查复数的共轭复数的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：Ⅰ，．
．
，
；
Ⅱ
是实数，，解得，或，
故，或．;
【解析】
Ⅰ由复数，求出和，代入计算得答案；
Ⅱ把，代入化简，再结合已知条件即可求出的值．
该题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题．
20.【答案】解：（1）若复数z=（-7a+6）+（-5a-6）i（a∈R）为纯虚数，
则，
解得：a=1；
（2）若复数z在复平面内的对应点在第四象限，
则，
解①得：a＜1或a＞6，
解②得-1＜a＜6．
取交集得：-1＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（-1，1）．;
【解析】
由实部等于且虚部不为联立不等式组求解；
由实部大于且虚部小于联立不等式组得答案．
该题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，训练了不等式组的解法，是基础题．
21.【答案】解：（I）设，
由可得，
所以，
∴；
（ II）设复数z=x+yi，
由|Z+2|+|Z-2|=8，
得，
其轨迹是椭圆，
方程为．;
【解析】
Ⅰ设出复数，根据，求出，的值，求出即可；Ⅱ设复数，得到关于，的方程，整理判断即可．
该题考查了复数的运算以及共轭复数问题，考查圆的方程，是一道中档题．
22.【答案】解：因为z==（2-m-1）+（-2+m）i，
（Ⅰ）当复数是纯虚数时，有，
解可得，m=，
（Ⅱ）当复数在复平面上对应的点位于第四象限时，
则，
解可得，，
所以;
【解析】
直接由已知的复数得到，然后结合纯虚数的定义可求，
结合复数在第四象限的特点限制的范围，解不等式可求．
该题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题
23.【答案】解：（1）．……………………（6分）
（2）设z=x+yi，因为|z|=2，所以+=4，……………………（8分）
在复平面中，复数对应点A（2，-2），
复数z对应点的轨迹是以为O（0，0）圆心，2为半径的圆，……………………（10分）
因为AO=，所以|z-|的最大值为．……………………（14分）;
【解析】
根据复数的运算性质直接进行求解即可；
设，由已知可得，，然后结合圆的性质即可求解．
本题 主要考查了复数的运算，解的关键是圆的性质的灵活应用．