人教B版（2019）必修第四册《10.1 复数及其意义》同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第四册《10.1 复数及其意义》同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 55.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-22 16:37:35 | ||
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文档简介
人教B版（2019）必修第四册《10.1 复数及其意义》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知复数，则复平面内对应的点的坐标为
A. B. C. D.
2.（5分）为虚数单位，若复数满足，则
A. B. C. D.
3.（5分）已知，则的取值范围为
A. B. C. D.
4.（5分）欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数和完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的．设复数，则根据欧拉公式的虚部为
A. B. C. D.
5.（5分）复平面内复数对应的向量为，且，则等于
A. B. C. D.
6.（5分）若，则复数在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.（5分）若复数，则复数的模等于
A. B. C. D.
8.（5分）复数的虚部是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）设，是虚数单位，复数则下列说法正确的是
A. 若为实数，则
B. 若为纯虚数，则
C. 当时，在复平面内对应的点为
D. 的最小值为
10.（5分）设，为复数，且，下列命题中正确的有
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若复数满足，则的最大值为
11.（5分）下列命题错误的是
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
12.（5分）设为复数，则下列说法正确的有
A. 实数集与虚数集的交集为 B.
C. 若，则为纯虚数 D. 若，则
13.（5分）已知复数满足，则可能为
A. B. C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在复平面内，复数，对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是______．
15.（5分）若复数是纯虚数，则______．
16.（5分）设为关于的方程的一个虚根，若复数满足，则的最大值是 ______.
17.（5分）已知是实数，方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若三角形是等腰直角三角形，则______
18.（5分）已知，则对应的点位于复平面的第 ______ 象限.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知复数，其中．
若，求 ；
若为纯虚数，求实数的值．
20.（12分）求虚数，使之同时满足以下两个条件：
；
是实数．
21.（12分）已知复数，则当实数为何值时，复数是：
实数； ； 对应的点在第三象限．
22.（12分）已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位.
求
若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
23.（12分）在复平面内，，，分别对应复数，，，以，为邻边作一个平行四边形，求点对应的复数及的长.
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义.
利用复数的代数表示法的几何意义得结论
解： 因为复数在复平面内所对应点的坐标为，
故选
2.【答案】B;
【解析】解：因为，
所以，
故
故选：
利用复数模的运算性质求解即可．
此题主要考查了复数模的求解，解答该题的关键是掌握复数模的运算性质，考查了运算能力，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：．
根据题意可得，由，推出的范围．
此题主要考查复数的模，解题中注意三角函数的值域，属于中档题．
4.【答案】A;
【解析】解：，
根据欧拉公式的虚部为
故选：
根据已知条件，结合欧拉公式，以及复数虚部的定义，即可求解．
此题主要考查欧拉公式，以及复数虚部的定义，属于基础题．
5.【答案】A;
【解析】解：复平面内复数对应的向量为，且，
，
，
故选：
根据已知条件，求出，再结合复数的性质，即可求解．
此题主要考查复数的性质，属于基础题．
6.【答案】C;
【解析】解：，
，
，解得，．
则复数，即在复平面内所对应的点位于第三象限．
故选：．
根据，利用复数相等，得到关于，的方程，再判断在复平面内所对应的点所在的象限．
此题主要考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】A;
【解析】解：，
，
故选：．
利用复数模的计算公式即可得出．
此题主要考查了复数模的计算公式，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】解：复数的虚部是；
故选
利用复数的基本概念：复数的实部为，虚部为，解得．
此题主要考查了复数的基本概念；复数的实部为，虚部为
9.【答案】ABD;
【解析】解：若为实数，则虚部为，即，故正确，
若为纯虚数，则实部为，即，故正确，
当时，，则在复平面内对应的点为，故错误，
当且仅当时取等号，故正确．
故选：
对于，结合实数和纯虚数的定义，即可求解；对于，结合复数的几何意义，即可求解；对于，结合复数模公式，即可求解．
此题主要考查实数和纯虚数的定义，复数的几何意义，复数模公式，属于基础题．
10.【答案】BCD;
【解析】解：对于，当时，不一定有，和，所以选项错误；
对于，当时，有，所以，选项正确；
对于，当时，，所以，选项正确；
对于，当时，，所以选项正确．
故选：
根据复数的定义与模长公式，分析判断选项中命题的正误即可．
此题主要考查了复数的定义与模长公式的应用问题，也考查了分析与判断能力，是基础题．
11.【答案】BCD;
【解析】解：，故选项正确；
，故选项错误；
虚数无法比较大小，故选项错误；
若，则，故选项错误．
故选：
根据复数的运算和反例判断选项，，的正误，虚数无法比较大小即可判断选项
此题主要考查了复数相关命题真假的判断，主要考查了复数基本概念的理解，属于基础题．
12.【答案】BD;
【解析】解：实数集与虚数集的交集为空集，故选项错误；
设，，，则，
所以，故选项正确；
设，，，则，
因为，则，解得，则，
当时，为纯虚数，
当时，为实数，故选项错误；
设，，，所以，
故①，
则，
由①可知，，解得，
则，所以，故选项正确．
故选：
利用实数与虚数的定义即可判断选项，由复数模的定义以及共轭复数的定义即可判断选项，利用共轭复数的定义以及复数的加法运算即可判断选项，由复数模的定义即可判断选项
此题主要考查了复数基本概念的理解与应用，复数模的计算公式的应用，共轭复数定义的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
13.【答案】ACD;
【解析】解：令，代入，得，
则，解得或或，
所以或或，
故选：
令，可得，解得即可．
此题主要考查了复数的定义和复数的模，属于基础题．
14.【答案】2+4i;
【解析】解：由题意，，，
则线段的中点，
点对应的复数是．
故答案为：．
由题意求得，的坐标，进一步得到的中点的坐标得答案．
该题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查中点坐标公式的应用，是基础题．
15.【答案】;
【解析】
根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于，得到的值，把所求的的值代入要求的复数的算式中，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果．该题考查复数基本概念和复数的意义，解答该题的关键是对于复数的概念的认识，纯虚数的条件是实部等于，而虚部不等于．
解：复数是纯虚数
，
，
，
故答案为
16.【答案】6;
【解析】解：为关于的方程的一个虚根，
为关于的方程的另一个虚根，
，解得，
，
设，，，
，
，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
表示圆心的点到原点的距离，
的最大值是
故答案为：
根据已知条件，结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，求出，再结合复数的几何意义，即可求解．
此题主要考查一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，以及复数的几何意义，属于中档题．
17.【答案】2;
【解析】解：根据题意设方程的两复根为，，为实数，
方程的两根在复平面上对应的点分别为和，三角形是等腰直角三角形，
，，
，，
的值为．
故答案为：．
设方程的两复根为，，根据条件可得，然后列方程求解即可．
此题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义和向量的数量积与垂直的关系，属基础题．
18.【答案】四;
【解析】解：因为，
所以对应的点的坐标为，
因为，所以，，
所以对应的点位于复平面的第四象限．
故答案为：四．
由题意，表示出对应的点的坐标，然后确定对应的点所在的象限即可．
此题主要考查了复数的新定义和复数的几何意义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵m=2，∴ z=-3-i．
,,
所以.
(2)令-2m-3=0，解得m=-1或3，
若m=3，则z的虚部为零，与已知不符，
所以m=-1.
故z为纯虚数时，m的值为-1.;
【解析】
这道题主要考查了复数的概念和复数的模及共轭复数的应用问题．
直接将代入求出复数，然后求出的模和的共轭复数即可；
如果复数的实数为，而虚部不等于时，则复数表示一个纯虚数．
由此建立关于的关系式，解出实数的值，即可得到本题答案．
20.【答案】解：设，
由，得
①
由是实数，得，②
联立①和②，得或
或;
【解析】设，分别代入，，化简即可得出．
此题主要考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：z=（-3m）+（-m-6）i
①令-m-6=0 m=3或m=-2，即m=3或m=-2时，z为 实数；
②；所以z=4+6i．
③若z所对应点在第三象限则．;
【解析】
复数是实数，就是复数的虚部为求出的值；
，求出的值，即可得到复数；
对应的点在第三象限．就是实部和虚部都是小于，求出的范围即可．
本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的分类，常考题型，送分题．
22.【答案】解：因为为实数，
所以设，所以，
所以，
又因为为纯虚数，所以，所以，
所以
由知，
所以，
因为复数在复平面上对应的点在第二象限，
所以，
所以，所以;
【解析】此题主要考查复数模长计算，考查复数意义，属于基础题.
23.【答案】解：如图，由复数加减法的几何意义，
对应复数，
对应复数，
对应复数
由复数加、减运算的几何意义，得
故的长为
;
【解析】此题主要考查的是复数的代数表示法及其几何意义根据已知条件作图，结合复数的运算即可求出和的长.
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知复数，则复平面内对应的点的坐标为
A. B. C. D.
2.（5分）为虚数单位，若复数满足，则
A. B. C. D.
3.（5分）已知，则的取值范围为
A. B. C. D.
4.（5分）欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数和完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的．设复数，则根据欧拉公式的虚部为
A. B. C. D.
5.（5分）复平面内复数对应的向量为，且，则等于
A. B. C. D.
6.（5分）若，则复数在复平面内所对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.（5分）若复数，则复数的模等于
A. B. C. D.
8.（5分）复数的虚部是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）设，是虚数单位，复数则下列说法正确的是
A. 若为实数，则
B. 若为纯虚数，则
C. 当时，在复平面内对应的点为
D. 的最小值为
10.（5分）设，为复数，且，下列命题中正确的有
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若复数满足，则的最大值为
11.（5分）下列命题错误的是
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
12.（5分）设为复数，则下列说法正确的有
A. 实数集与虚数集的交集为 B.
C. 若，则为纯虚数 D. 若，则
13.（5分）已知复数满足，则可能为
A. B. C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在复平面内，复数，对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是______．
15.（5分）若复数是纯虚数，则______．
16.（5分）设为关于的方程的一个虚根，若复数满足，则的最大值是 ______.
17.（5分）已知是实数，方程的两根在复平面上对应的点分别为和，若三角形是等腰直角三角形，则______
18.（5分）已知，则对应的点位于复平面的第 ______ 象限.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知复数，其中．
若，求 ；
若为纯虚数，求实数的值．
20.（12分）求虚数，使之同时满足以下两个条件：
；
是实数．
21.（12分）已知复数，则当实数为何值时，复数是：
实数； ； 对应的点在第三象限．
22.（12分）已知为复数，为实数，且为纯虚数，其中是虚数单位.
求
若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
23.（12分）在复平面内，，，分别对应复数，，，以，为邻边作一个平行四边形，求点对应的复数及的长.
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义.
利用复数的代数表示法的几何意义得结论
解： 因为复数在复平面内所对应点的坐标为，
故选
2.【答案】B;
【解析】解：因为，
所以，
故
故选：
利用复数模的运算性质求解即可．
此题主要考查了复数模的求解，解答该题的关键是掌握复数模的运算性质，考查了运算能力，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：．
根据题意可得，由，推出的范围．
此题主要考查复数的模，解题中注意三角函数的值域，属于中档题．
4.【答案】A;
【解析】解：，
根据欧拉公式的虚部为
故选：
根据已知条件，结合欧拉公式，以及复数虚部的定义，即可求解．
此题主要考查欧拉公式，以及复数虚部的定义，属于基础题．
5.【答案】A;
【解析】解：复平面内复数对应的向量为，且，
，
，
故选：
根据已知条件，求出，再结合复数的性质，即可求解．
此题主要考查复数的性质，属于基础题．
6.【答案】C;
【解析】解：，
，
，解得，．
则复数，即在复平面内所对应的点位于第三象限．
故选：．
根据，利用复数相等，得到关于，的方程，再判断在复平面内所对应的点所在的象限．
此题主要考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】A;
【解析】解：，
，
故选：．
利用复数模的计算公式即可得出．
此题主要考查了复数模的计算公式，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】解：复数的虚部是；
故选
利用复数的基本概念：复数的实部为，虚部为，解得．
此题主要考查了复数的基本概念；复数的实部为，虚部为
9.【答案】ABD;
【解析】解：若为实数，则虚部为，即，故正确，
若为纯虚数，则实部为，即，故正确，
当时，，则在复平面内对应的点为，故错误，
当且仅当时取等号，故正确．
故选：
对于，结合实数和纯虚数的定义，即可求解；对于，结合复数的几何意义，即可求解；对于，结合复数模公式，即可求解．
此题主要考查实数和纯虚数的定义，复数的几何意义，复数模公式，属于基础题．
10.【答案】BCD;
【解析】解：对于，当时，不一定有，和，所以选项错误；
对于，当时，有，所以，选项正确；
对于，当时，，所以，选项正确；
对于，当时，，所以选项正确．
故选：
根据复数的定义与模长公式，分析判断选项中命题的正误即可．
此题主要考查了复数的定义与模长公式的应用问题，也考查了分析与判断能力，是基础题．
11.【答案】BCD;
【解析】解：，故选项正确；
，故选项错误；
虚数无法比较大小，故选项错误；
若，则，故选项错误．
故选：
根据复数的运算和反例判断选项，，的正误，虚数无法比较大小即可判断选项
此题主要考查了复数相关命题真假的判断，主要考查了复数基本概念的理解，属于基础题．
12.【答案】BD;
【解析】解：实数集与虚数集的交集为空集，故选项错误；
设，，，则，
所以，故选项正确；
设，，，则，
因为，则，解得，则，
当时，为纯虚数，
当时，为实数，故选项错误；
设，，，所以，
故①，
则，
由①可知，，解得，
则，所以，故选项正确．
故选：
利用实数与虚数的定义即可判断选项，由复数模的定义以及共轭复数的定义即可判断选项，利用共轭复数的定义以及复数的加法运算即可判断选项，由复数模的定义即可判断选项
此题主要考查了复数基本概念的理解与应用，复数模的计算公式的应用，共轭复数定义的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
13.【答案】ACD;
【解析】解：令，代入，得，
则，解得或或，
所以或或，
故选：
令，可得，解得即可．
此题主要考查了复数的定义和复数的模，属于基础题．
14.【答案】2+4i;
【解析】解：由题意，，，
则线段的中点，
点对应的复数是．
故答案为：．
由题意求得，的坐标，进一步得到的中点的坐标得答案．
该题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查中点坐标公式的应用，是基础题．
15.【答案】;
【解析】
根据复数是一个纯虚数，得到复数的实部等于，得到的值，把所求的的值代入要求的复数的算式中，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果．该题考查复数基本概念和复数的意义，解答该题的关键是对于复数的概念的认识，纯虚数的条件是实部等于，而虚部不等于．
解：复数是纯虚数
，
，
，
故答案为
16.【答案】6;
【解析】解：为关于的方程的一个虚根，
为关于的方程的另一个虚根，
，解得，
，
设，，，
，
，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
表示圆心的点到原点的距离，
的最大值是
故答案为：
根据已知条件，结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，求出，再结合复数的几何意义，即可求解．
此题主要考查一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，以及复数的几何意义，属于中档题．
17.【答案】2;
【解析】解：根据题意设方程的两复根为，，为实数，
方程的两根在复平面上对应的点分别为和，三角形是等腰直角三角形，
，，
，，
的值为．
故答案为：．
设方程的两复根为，，根据条件可得，然后列方程求解即可．
此题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义和向量的数量积与垂直的关系，属基础题．
18.【答案】四;
【解析】解：因为，
所以对应的点的坐标为，
因为，所以，，
所以对应的点位于复平面的第四象限．
故答案为：四．
由题意，表示出对应的点的坐标，然后确定对应的点所在的象限即可．
此题主要考查了复数的新定义和复数的几何意义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵m=2，∴ z=-3-i．
,,
所以.
(2)令-2m-3=0，解得m=-1或3，
若m=3，则z的虚部为零，与已知不符，
所以m=-1.
故z为纯虚数时，m的值为-1.;
【解析】
这道题主要考查了复数的概念和复数的模及共轭复数的应用问题．
直接将代入求出复数，然后求出的模和的共轭复数即可；
如果复数的实数为，而虚部不等于时，则复数表示一个纯虚数．
由此建立关于的关系式，解出实数的值，即可得到本题答案．
20.【答案】解：设，
由，得
①
由是实数，得，②
联立①和②，得或
或;
【解析】设，分别代入，，化简即可得出．
此题主要考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：z=（-3m）+（-m-6）i
①令-m-6=0 m=3或m=-2，即m=3或m=-2时，z为 实数；
②；所以z=4+6i．
③若z所对应点在第三象限则．;
【解析】
复数是实数，就是复数的虚部为求出的值；
，求出的值，即可得到复数；
对应的点在第三象限．就是实部和虚部都是小于，求出的范围即可．
本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的分类，常考题型，送分题．
22.【答案】解：因为为实数，
所以设，所以，
所以，
又因为为纯虚数，所以，所以，
所以
由知，
所以，
因为复数在复平面上对应的点在第二象限，
所以，
所以，所以;
【解析】此题主要考查复数模长计算，考查复数意义，属于基础题.
23.【答案】解：如图，由复数加减法的几何意义，
对应复数，
对应复数，
对应复数
由复数加、减运算的几何意义，得
故的长为
;
【解析】此题主要考查的是复数的代数表示法及其几何意义根据已知条件作图，结合复数的运算即可求出和的长.