人教B版（2019）必修第四册《11.1 空间几何体》同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第四册《11.1 空间几何体》同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 230.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-22 16:40:38 | ||
图片预览
文档简介
人教B版（2019）必修第四册《11.1 空间几何体》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形．若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为
A. B. C. D.
2.（5分）在棱长为的正方体中，是内不含边界的一个动点，若，则线段长的取值范围为
A. B.
C. D.
3.（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为、高为的圆锥和底面半径为、高为的圆柱各一个．若用它们来制作一个球，则球的半径的最大值为
A. B. C. D.
4.（5分）若棱台的上、下底面面积分别为，，高为，则该棱台的体积为
A. B. C. D.
5.（5分）已知直线、平面下列命题正确的是
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
6.（5分）如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心，，是边长为的等边三角形，点，分别为线段，上的动点不含端点，且，则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
7.（5分）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为的菱形，且，则原平面图形的周长为
A. B. C. D.
8.（5分）在空间给出下面四个命题其中、为不同的两条直线，、为不同的两个平面
①，
②，
③，，
④，，，，
其中正确的命题个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）一个棱长为的正方体，用过同一顶点三条棱的中点平面截去各个顶点得到的一个新的几何体，对这个新的几何体说法错误的是
A. 所有截面面积和为 B. 新几何体表面积为
C. 新几何体表面积为 D. 新几何体的体积为
10.（5分）在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中正确的是
A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 平面平面
11.（5分）已知三棱锥中，，，，，则
A. 三棱锥的外接球的体积为
B. 三棱锥的外接球的体积为
C. 三棱锥的体积的最大值为
D. 三棱锥的体积的最大值为
12.（5分）在正方体中，如图，分别是正方形，的中心．则下列结论正确的是
A. 平面与棱的交点是的三等分点
B. 平面与棱的交点是的中点
C. 平面与棱的交点是的三等分点
D. 平面将正方体分成前后两部分的体积比为：
13.（5分）正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是
A. 三棱锥的体积与三棱锥的体积相等
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）从正方体上截下一个角，得三棱锥如果该三棱锥的三个侧面面积分别为，，，则该三棱锥的底面的面积是______.
15.（5分）正四面体棱长为，点，，分别在棱，，上，且，，，则该正四面体的外接球被平面所截的截面面积为 ______.
16.（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长为，底面是边长分别为，，的直角三角形，且三棱柱所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为_____.
17.（5分）以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的表面积等于________.
18.（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的高是 ________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在长方体中，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为
求棱的长；
求经过，，，四点的球的表面积和体积．
20.（12分）已知圆台的上下底面半径分别是、，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．
21.（12分）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，用平行于底面的平面截这个棱锥，截面与侧棱的交点依次为若截得的小棱锥与棱台的体积之比为
求该正四棱锥的侧面积；
求所截的棱台的体积。
22.（12分）如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为，高为，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．
若点，，，恰为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；
求该八面体表面积的取值范围．
23.（12分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
求证：；
求三棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．
设，求得到四棱锥各个顶点的距离相等，说明为球的球心，分别求出半球与球的半径，代入球的体积公式得答案．
解：如图，连接，，取的中点，连接，，
过作于，
半球的球心为正四棱锥的底面中心，
底面，
设，则，
，，
设球的半径为，半球的半径为，则，，
在等边三角形中，求得，
半球与四个侧面均相切，
，，
∽，
可得，
故
故选：
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置，属中档题.
解：如下图，
连接、相交于点，连接、，
可得，又，平面，
又因为平面平面，当在线段上运动时，有，
当与重合时，，当与重合时，，故
当时，且这时取最小值.
线段长度的取值范围是
故选
3.【答案】B;
【解析】
由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出球半径为，求出体积，由前后体积相等列式求得
解：设球半径为
依题意，，解得
故选
4.【答案】B;
【解析】解：
故选：
直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积．
此题主要考查棱台的体积，考查计算能力，是基础题．
5.【答案】D;
【解析】解：直线、，平面，，知：
在中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
在中，若，，，，则与相交或平行，故B错误；
在中，若，，则与相交或平行，故C错误；
在中，若，，则由面面平行的性质定理得，故D正确．
故选：．
在中，与相交、平行或异面；在中，与相交或平行；在中，与相交或平行；在中，由面面平行的性质定理得．
该题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】A;
【解析】解：过球心，，，
又是边长为等边三角形，
，，则，．
平面，且也是等腰直角三角形，
设，
则．
当且仅当，即时，上式取“”．
三棱锥体积的最大值为．
故选：．
由已知证明平面，也是等腰直角三角形，设，然后利用体积公式及基本不等式求解．
该题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
7.【答案】B;
【解析】解：根据题意，把直观图还原出原平面图形，如图所示；
其中：，，，
则，
故原平面图形的周长为，
故选：
根据题意，把直观图还原出原平面图形，由此分析可得答案．
此题主要考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
8.【答案】C;
【解析】解：①由线面垂直及线面平行的性质，可知，得，故①正确；
②，或，故②错误
③根据线面垂直的性质；两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面可知：若，，则，又，故③正确
④由，，，，可得平面，都与直线，确定的平面平行，则可得，故④正确
综上知，正确的有①③④
故选C
根据线面垂直、线面平行的性质，可判断①；由，或可判断②；
③根据两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判断③
④由已知可得平面，都与直线，确定的平面平行，则可得，可判断④
本题的考点是间中直线一直线之间的位置关系，考查了线线平行与线线垂直的条件，解答该题的关键是理解题意，有着较强的空间想像能力，推理判断的能力，是高考中常见题型，其特点是涉及到的知识点多，知识容量大．
9.【答案】ABC;
【解析】解：如图，
由题意，共有个截面，每个截面都是边长为的正三角形，
则所有截面面积和为，故错误；
新几何体表面积为，故错误；
新几何体的体积为，故正确．
故选：
由题意画出图形，求出截面面积判断；求出新几何体的表面积判断与；由正方体体积减去八个三棱锥的体积判断
此题主要考查多面体体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】ABD;
【解析】解：过作平面于，
正四面体，
是正三角形的中心，
、分别是、的中点，
，则平面，故正确．
B.、、分别是、、的中点，
，，即平面，
，
平面，故正确．
D.、、分别是、、的中点，
，，即平面，
面，
平面平面，
故正确，
只有错误，
故选：
根据正四面体的性质，结合线面平行或垂直的判定定理分别进行判断即可得到结论．
此题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，要求熟练掌握相应的平行或判定定理．
11.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查三棱锥外接球的体积和三棱锥的体积求解，属于基础题.
根据条件判断出球心的位置，求出球的半径即可求出球的体积，而当面与面相互垂直时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥的体积公式求解即可.
解：因为，，，
所以，
又，
所以，
所以三棱锥的外接球的球心为的中点，半径为，
所以三棱锥的外接球的体积为
当面与面相互垂直时，点到面的距离最大，
故此时三棱锥的体积最大，此时高为，
所以三棱锥体积的最大值为
故选
12.【答案】ACD;
【解析】解：如图，取的中点，延长，并交于点，连接并延长，设，，
连接并延长交于点，连接，，则四边形就是平面与正方体的截面，
是平面的中心，是中点，：：，则：：，
可得点是线段靠近点的三等分点，由对称性知点是线段靠近点的三等分点，
点是线段靠近点的三等分点，故正确，错误，正确；
作出线段的另一个三等分点，作出线段 靠近的三等分点，连接，，，，
可知
，
从而平面将正方体分成两部分的体积比为：，
故正确．
故选：
由公理作出平面与正方体的截面，利用平行线截线段成比例可得点是线段靠近点的三等分点，由对称性知点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点，由此判定正确，错误，正确；再利用等体积法可知，得到平面将正方体分成两部分的体积比为：，判定正确．
此题主要考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】ABC;
【解析】解：对于选项，由，，
又因为平面，故，所以，正确；
对于选项，由几何体的性质可知，平面平面，
又因平面，所以平面，故正确；
对于选项，由几何体的性质可知，，
点到平面的距离，
故三棱锥的体积，因此正确；
对于选项，由几何体的性质可知，点、到直线的距离不相等，
因此的面积与的面积不相等，故错．
故选：
根据题意，结合几何体的性质、线面垂直的性质、面面平行的性质以及三棱柱的体积公式，一一判断即可．
此题主要考查了三棱锥体积的相关计算，属于中档题．
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查棱锥侧面积与底面积的求法，考查了余弦定理和三角形的面积公式，是中档题．
由题意画出图形，设，，，由三角形面积列式求得，，的值，进一步求出三棱锥的底面的边长，再求解三角形得答案．
解：如图，不妨设，，的面积分别为，，，
再设，，，
则，解得，，，
，，
，
则
故答案为
15.【答案】;
【解析】解：如图过作底面于点，连接并延长交于点，
则由对称性知为中点且正四面体的外接球心在线段上，
设正四面体的外接球的半径为，又正四面体棱长为，
，，，
，，在中，有：，
，，，
分别以直线，直线，过点且垂直于底面的直线为轴，轴，轴，
建立如图的空间直角坐标系，则：，，，
，，又，
又，，
设平面的法向量为，则：
，，令得，，
，到平面的距离为：
，
设正四面体的外接球被平面所截的截面小圆半径为，
则：，
所求截面面积
故答案为
先确定正四面体外接球的球心位置及半径，再建系由向量法计算球心到平面的距离，最后算出截面小圆的半径即可求解．
此题主要考查正四面体的外接球，以及点面距，属中档题．
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查球的表面积，属于基础题.
根据题意得出三棱柱为以，，为棱长的长方体的一半，求出球半径，即可求出结果.
解：因为三棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长为，底面是边长分别为，，的直角三角形，
所以该三棱柱为以，，为棱长的长方体的一半，
所以外接球的半径为，
所以该球的表面积为
故答案为
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查圆柱的表面积的计算，属于基础题目.
解：由题意可得圆柱的底面半径和高都为，
所以圆柱的表面积为
故答案为
18.【答案】;
【解析】此题主要考查圆锥的侧面展开图的应用，考查了学生的空间想象力．解：圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，
圆锥的轴截面为边长为的正三角形，
则圆锥的高故答案为
19.【答案】解：设，依题意可得，解得，
故棱的长为
依题意可知，经过，，，四点的球就是长方体的外接球，
这个球的直径就是长方体的体对角线，
球的直径，
，
所求球的表面积为，体积为;
【解析】此题主要考查了球的体积和表面积．属于中档题．
根据体积关系列式可求出；
经过，，，四点的球就是长方体的外接球，这个球的直径就是长方体的体对角线，根据长方体对角线长定理可得球的半径
20.【答案】解：设圆台的母线长为l，
圆台的上底面面积为，圆台的下底面面积为，
所以圆台的底面面积为S=S上+S下=45π，又圆台的侧面积S侧=π（3+6）l=9πl，
于是9πl=45π，即l=5．;
【解析】
求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长．
此题主要考查了圆台的底面积和侧面积计算，属于基础题．
21.【答案】解：正四棱锥的斜高，
正四棱锥的侧面积为
正四棱锥的高为，
则正四棱锥的体积为，
所以所截棱台的体积为正四棱锥体积的，
所以所截棱台的体积为;
【解析】
此题主要考查棱锥的侧面积以及体积的求解，考查棱台的体积，解答该题的关键熟练掌握棱锥的体积公式.
由已知求得正四棱锥的斜高，进而得到正四棱锥的侧面积；
先求得正四棱锥的高，再根据棱锥的体积公式求得正四棱锥的体积，再根据所截棱台的体积为正四棱锥体积的得结果.
22.【答案】解：（Ⅰ）∵点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，
∴，
∴=；
（Ⅱ）如图1，设平面ABCD截正方体所得截面为A'B'C'D'，且A'B'C'D'的中心为O，过点O作OG⊥A'B'，垂足为G．
由对称性，不妨设AA'=x（0≤x≤1），则AG=1-x，
∴AE2=DE2=AO2+OE2=（1-x）2+1+4=-2x+6，AD2=（2-x）2+=2（-2x）+4．
设AD的中点为H，如图2，
则，，
∴=．
∵0≤x≤1，∴-1≤-2x≤0，
则，
故，可得，
∴此八面体的表面积S的取值范围为．;
【解析】
由已知求出八面体的棱长，转化为四棱锥的体积公式求解；
不妨设，则，求得与，设的中点为，求出，可得三角形面积平方的范围，进一步可得此八面体的表面积的取值范围．
此题主要考查多面体体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
23.【答案】（1）证明：∵A1C1=B1C1，MA1=MB1，∴C1M⊥A1B1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，C1M 平面A1B1C1，∴CC1⊥C1M，∵BB1∥CC1，∴BB1⊥C1M，
∵BB1 A1B1=B1，BB1，A1B1 平面ABB1A1，
∴C1M⊥平面AA1B1B，又B1D 平面ABB1A1，
∴C1M⊥B1D．
（2）解：∵CC1⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴CC1⊥BC，
又∵BC⊥AC，AC CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1．
，．;
【解析】
证明出平面，即可证得；
根据锥体体积公式，由此可求三棱锥的体积．
此题主要考查空间中的垂直关系，锥体体积的计算等知识，属于基础题．
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形．若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为
A. B. C. D.
2.（5分）在棱长为的正方体中，是内不含边界的一个动点，若，则线段长的取值范围为
A. B.
C. D.
3.（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为、高为的圆锥和底面半径为、高为的圆柱各一个．若用它们来制作一个球，则球的半径的最大值为
A. B. C. D.
4.（5分）若棱台的上、下底面面积分别为，，高为，则该棱台的体积为
A. B. C. D.
5.（5分）已知直线、平面下列命题正确的是
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
6.（5分）如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心，，是边长为的等边三角形，点，分别为线段，上的动点不含端点，且，则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
7.（5分）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为的菱形，且，则原平面图形的周长为
A. B. C. D.
8.（5分）在空间给出下面四个命题其中、为不同的两条直线，、为不同的两个平面
①，
②，
③，，
④，，，，
其中正确的命题个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）一个棱长为的正方体，用过同一顶点三条棱的中点平面截去各个顶点得到的一个新的几何体，对这个新的几何体说法错误的是
A. 所有截面面积和为 B. 新几何体表面积为
C. 新几何体表面积为 D. 新几何体的体积为
10.（5分）在正四面体中，、、分别是、、的中点，下面四个结论中正确的是
A. 平面 B. 平面
C. 平面平面 D. 平面平面
11.（5分）已知三棱锥中，，，，，则
A. 三棱锥的外接球的体积为
B. 三棱锥的外接球的体积为
C. 三棱锥的体积的最大值为
D. 三棱锥的体积的最大值为
12.（5分）在正方体中，如图，分别是正方形，的中心．则下列结论正确的是
A. 平面与棱的交点是的三等分点
B. 平面与棱的交点是的中点
C. 平面与棱的交点是的三等分点
D. 平面将正方体分成前后两部分的体积比为：
13.（5分）正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是
A. 三棱锥的体积与三棱锥的体积相等
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）从正方体上截下一个角，得三棱锥如果该三棱锥的三个侧面面积分别为，，，则该三棱锥的底面的面积是______.
15.（5分）正四面体棱长为，点，，分别在棱，，上，且，，，则该正四面体的外接球被平面所截的截面面积为 ______.
16.（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长为，底面是边长分别为，，的直角三角形，且三棱柱所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为_____.
17.（5分）以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的表面积等于________.
18.（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的高是 ________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在长方体中，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为
求棱的长；
求经过，，，四点的球的表面积和体积．
20.（12分）已知圆台的上下底面半径分别是、，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．
21.（12分）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，用平行于底面的平面截这个棱锥，截面与侧棱的交点依次为若截得的小棱锥与棱台的体积之比为
求该正四棱锥的侧面积；
求所截的棱台的体积。
22.（12分）如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为，高为，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．
若点，，，恰为长方体各侧面中心，求该八面体的体积；
求该八面体表面积的取值范围．
23.（12分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
求证：；
求三棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．
设，求得到四棱锥各个顶点的距离相等，说明为球的球心，分别求出半球与球的半径，代入球的体积公式得答案．
解：如图，连接，，取的中点，连接，，
过作于，
半球的球心为正四棱锥的底面中心，
底面，
设，则，
，，
设球的半径为，半球的半径为，则，，
在等边三角形中，求得，
半球与四个侧面均相切，
，，
∽，
可得，
故
故选：
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置，属中档题.
解：如下图，
连接、相交于点，连接、，
可得，又，平面，
又因为平面平面，当在线段上运动时，有，
当与重合时，，当与重合时，，故
当时，且这时取最小值.
线段长度的取值范围是
故选
3.【答案】B;
【解析】
由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出球半径为，求出体积，由前后体积相等列式求得
解：设球半径为
依题意，，解得
故选
4.【答案】B;
【解析】解：
故选：
直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积．
此题主要考查棱台的体积，考查计算能力，是基础题．
5.【答案】D;
【解析】解：直线、，平面，，知：
在中，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
在中，若，，，，则与相交或平行，故B错误；
在中，若，，则与相交或平行，故C错误；
在中，若，，则由面面平行的性质定理得，故D正确．
故选：．
在中，与相交、平行或异面；在中，与相交或平行；在中，与相交或平行；在中，由面面平行的性质定理得．
该题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】A;
【解析】解：过球心，，，
又是边长为等边三角形，
，，则，．
平面，且也是等腰直角三角形，
设，
则．
当且仅当，即时，上式取“”．
三棱锥体积的最大值为．
故选：．
由已知证明平面，也是等腰直角三角形，设，然后利用体积公式及基本不等式求解．
该题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
7.【答案】B;
【解析】解：根据题意，把直观图还原出原平面图形，如图所示；
其中：，，，
则，
故原平面图形的周长为，
故选：
根据题意，把直观图还原出原平面图形，由此分析可得答案．
此题主要考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
8.【答案】C;
【解析】解：①由线面垂直及线面平行的性质，可知，得，故①正确；
②，或，故②错误
③根据线面垂直的性质；两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面可知：若，，则，又，故③正确
④由，，，，可得平面，都与直线，确定的平面平行，则可得，故④正确
综上知，正确的有①③④
故选C
根据线面垂直、线面平行的性质，可判断①；由，或可判断②；
③根据两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判断③
④由已知可得平面，都与直线，确定的平面平行，则可得，可判断④
本题的考点是间中直线一直线之间的位置关系，考查了线线平行与线线垂直的条件，解答该题的关键是理解题意，有着较强的空间想像能力，推理判断的能力，是高考中常见题型，其特点是涉及到的知识点多，知识容量大．
9.【答案】ABC;
【解析】解：如图，
由题意，共有个截面，每个截面都是边长为的正三角形，
则所有截面面积和为，故错误；
新几何体表面积为，故错误；
新几何体的体积为，故正确．
故选：
由题意画出图形，求出截面面积判断；求出新几何体的表面积判断与；由正方体体积减去八个三棱锥的体积判断
此题主要考查多面体体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】ABD;
【解析】解：过作平面于，
正四面体，
是正三角形的中心，
、分别是、的中点，
，则平面，故正确．
B.、、分别是、、的中点，
，，即平面，
，
平面，故正确．
D.、、分别是、、的中点，
，，即平面，
面，
平面平面，
故正确，
只有错误，
故选：
根据正四面体的性质，结合线面平行或垂直的判定定理分别进行判断即可得到结论．
此题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，要求熟练掌握相应的平行或判定定理．
11.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查三棱锥外接球的体积和三棱锥的体积求解，属于基础题.
根据条件判断出球心的位置，求出球的半径即可求出球的体积，而当面与面相互垂直时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥的体积公式求解即可.
解：因为，，，
所以，
又，
所以，
所以三棱锥的外接球的球心为的中点，半径为，
所以三棱锥的外接球的体积为
当面与面相互垂直时，点到面的距离最大，
故此时三棱锥的体积最大，此时高为，
所以三棱锥体积的最大值为
故选
12.【答案】ACD;
【解析】解：如图，取的中点，延长，并交于点，连接并延长，设，，
连接并延长交于点，连接，，则四边形就是平面与正方体的截面，
是平面的中心，是中点，：：，则：：，
可得点是线段靠近点的三等分点，由对称性知点是线段靠近点的三等分点，
点是线段靠近点的三等分点，故正确，错误，正确；
作出线段的另一个三等分点，作出线段 靠近的三等分点，连接，，，，
可知
，
从而平面将正方体分成两部分的体积比为：，
故正确．
故选：
由公理作出平面与正方体的截面，利用平行线截线段成比例可得点是线段靠近点的三等分点，由对称性知点是线段靠近点的三等分点，点是线段靠近点的三等分点，由此判定正确，错误，正确；再利用等体积法可知，得到平面将正方体分成两部分的体积比为：，判定正确．
此题主要考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】ABC;
【解析】解：对于选项，由，，
又因为平面，故，所以，正确；
对于选项，由几何体的性质可知，平面平面，
又因平面，所以平面，故正确；
对于选项，由几何体的性质可知，，
点到平面的距离，
故三棱锥的体积，因此正确；
对于选项，由几何体的性质可知，点、到直线的距离不相等，
因此的面积与的面积不相等，故错．
故选：
根据题意，结合几何体的性质、线面垂直的性质、面面平行的性质以及三棱柱的体积公式，一一判断即可．
此题主要考查了三棱锥体积的相关计算，属于中档题．
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查棱锥侧面积与底面积的求法，考查了余弦定理和三角形的面积公式，是中档题．
由题意画出图形，设，，，由三角形面积列式求得，，的值，进一步求出三棱锥的底面的边长，再求解三角形得答案．
解：如图，不妨设，，的面积分别为，，，
再设，，，
则，解得，，，
，，
，
则
故答案为
15.【答案】;
【解析】解：如图过作底面于点，连接并延长交于点，
则由对称性知为中点且正四面体的外接球心在线段上，
设正四面体的外接球的半径为，又正四面体棱长为，
，，，
，，在中，有：，
，，，
分别以直线，直线，过点且垂直于底面的直线为轴，轴，轴，
建立如图的空间直角坐标系，则：，，，
，，又，
又，，
设平面的法向量为，则：
，，令得，，
，到平面的距离为：
，
设正四面体的外接球被平面所截的截面小圆半径为，
则：，
所求截面面积
故答案为
先确定正四面体外接球的球心位置及半径，再建系由向量法计算球心到平面的距离，最后算出截面小圆的半径即可求解．
此题主要考查正四面体的外接球，以及点面距，属中档题．
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查球的表面积，属于基础题.
根据题意得出三棱柱为以，，为棱长的长方体的一半，求出球半径，即可求出结果.
解：因为三棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长为，底面是边长分别为，，的直角三角形，
所以该三棱柱为以，，为棱长的长方体的一半，
所以外接球的半径为，
所以该球的表面积为
故答案为
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查圆柱的表面积的计算，属于基础题目.
解：由题意可得圆柱的底面半径和高都为，
所以圆柱的表面积为
故答案为
18.【答案】;
【解析】此题主要考查圆锥的侧面展开图的应用，考查了学生的空间想象力．解：圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，
圆锥的轴截面为边长为的正三角形，
则圆锥的高故答案为
19.【答案】解：设，依题意可得，解得，
故棱的长为
依题意可知，经过，，，四点的球就是长方体的外接球，
这个球的直径就是长方体的体对角线，
球的直径，
，
所求球的表面积为，体积为;
【解析】此题主要考查了球的体积和表面积．属于中档题．
根据体积关系列式可求出；
经过，，，四点的球就是长方体的外接球，这个球的直径就是长方体的体对角线，根据长方体对角线长定理可得球的半径
20.【答案】解：设圆台的母线长为l，
圆台的上底面面积为，圆台的下底面面积为，
所以圆台的底面面积为S=S上+S下=45π，又圆台的侧面积S侧=π（3+6）l=9πl，
于是9πl=45π，即l=5．;
【解析】
求出圆台的上底面面积，下底面面积，写出侧面积表达式，利用侧面面积等于两底面面积之和，求出圆台的母线长．
此题主要考查了圆台的底面积和侧面积计算，属于基础题．
21.【答案】解：正四棱锥的斜高，
正四棱锥的侧面积为
正四棱锥的高为，
则正四棱锥的体积为，
所以所截棱台的体积为正四棱锥体积的，
所以所截棱台的体积为;
【解析】
此题主要考查棱锥的侧面积以及体积的求解，考查棱台的体积，解答该题的关键熟练掌握棱锥的体积公式.
由已知求得正四棱锥的斜高，进而得到正四棱锥的侧面积；
先求得正四棱锥的高，再根据棱锥的体积公式求得正四棱锥的体积，再根据所截棱台的体积为正四棱锥体积的得结果.
22.【答案】解：（Ⅰ）∵点A，B，C，D恰为长方体各侧面中心，
∴，
∴=；
（Ⅱ）如图1，设平面ABCD截正方体所得截面为A'B'C'D'，且A'B'C'D'的中心为O，过点O作OG⊥A'B'，垂足为G．
由对称性，不妨设AA'=x（0≤x≤1），则AG=1-x，
∴AE2=DE2=AO2+OE2=（1-x）2+1+4=-2x+6，AD2=（2-x）2+=2（-2x）+4．
设AD的中点为H，如图2，
则，，
∴=．
∵0≤x≤1，∴-1≤-2x≤0，
则，
故，可得，
∴此八面体的表面积S的取值范围为．;
【解析】
由已知求出八面体的棱长，转化为四棱锥的体积公式求解；
不妨设，则，求得与，设的中点为，求出，可得三角形面积平方的范围，进一步可得此八面体的表面积的取值范围．
此题主要考查多面体体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
23.【答案】（1）证明：∵A1C1=B1C1，MA1=MB1，∴C1M⊥A1B1，
∵CC1⊥平面A1B1C1，C1M 平面A1B1C1，∴CC1⊥C1M，∵BB1∥CC1，∴BB1⊥C1M，
∵BB1 A1B1=B1，BB1，A1B1 平面ABB1A1，
∴C1M⊥平面AA1B1B，又B1D 平面ABB1A1，
∴C1M⊥B1D．
（2）解：∵CC1⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴CC1⊥BC，
又∵BC⊥AC，AC CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1．
，．;
【解析】
证明出平面，即可证得；
根据锥体体积公式，由此可求三棱锥的体积．
此题主要考查空间中的垂直关系，锥体体积的计算等知识，属于基础题．