5.3.2函数的极值与最大（小）值 （第一课时）教案

第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.2函数的极值与最大（小）值
第一课时 函数的极值
教学设计
一、教学目标
1. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值；
3. 体会导数与单调性、极值的关系.
二、教学重难点
1、教学重点
求函数极值.
2、教学难点
函数极值与导数的关系.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：观察图（1），当时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？
图（1）
我们带着问题开始本节课的学习.
（二）探索新知
探究一：函数的极值
放大附近函数的图象，如图（2）.可以看出，；在的附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）.这样，当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有.
图（1） 图（2）
提问：对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？
如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？
以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.
总结：
我们把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
例1 求函数的极值.
解：因为，所以.
令，解得或.
当x变化时，，的变化情况如表所示.
x 2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.
探究二：函数极值的求法
教师：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
学生：思考回答.
导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论，还是，恒有，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.一般地，函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
总结：
一般地，可按如下方法求函数的极值：
解方程，当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.
例2函数在上( )
A.有极小值 B.有极大值
C.既有极小值又有极大值 D.无极值
答案：A
解析：，由，得.由，得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上有极小值，无极大值.故选A.
（三）课堂练习
1.函数的极值点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：A
解析：由题意知，令，则，令，得，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，由此可知，所以函数不存在极值点，故选A.
2.若是函数的极值点，则的极小值为( )
A.-1 B. C. D.1
答案：A
解析：因为，，所以，所以，.令，解得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为.故选A.
3.已知函数，若函数有三个极值点，则实数k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：本题考查利用导数研究函数的极值点个数.，求导，得，令，得或.要使有三个极值点，则有三个互不相等的实根，即方程有两个不等于1的实根.，令，则，令，得.易知，且，；，，所以当时，方程即有两个不等实根.又，所以，即.综上，实数k的取值范围是.故选C.
4.已知函数，若在处取得极小值，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为，所以，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；当且时，，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，满足题意；当时，在上单调递增，不满足题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意.故a的取值范围为，故选D.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容？
1.函数的极值.
2.函数极值的求法.
四、板书设计
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第一课时
1.函数的极值.
2.函数极值的求法.
2