中小学教育资源及组卷应用平台
突破3.1 椭圆
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解
【详解】易得．设，，则．
在中，由余弦定理得，
即，则，
所以．
设点到轴的距离为，则，故，解得．
故选：C．
2．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】由椭圆的定义结合已知得，进而求出m即可.
【详解】
在椭圆中，，，.易知.
又，所以为等边三角形，即，所以，即.
故选：C.
3．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的长轴长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程改成椭圆的标准方程形式，通过可得，故，继而求出答案
【详解】解：椭圆方程可化为，
由题意知，所以，所以，即椭圆的长轴长，
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出直线与x轴，y轴的交点，即可求解作答.
【详解】直线交x轴于，交y轴于，依题意，，
所以椭圆方程为.
故选：B
5．（2021·福建·泉州市第六中学高二期中）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】A
【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解.
【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4，
由椭圆的定义可得,
又，故.
故选：A.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【详解】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，
又点M在椭圆C上，则有，解得，
又椭圆C的右焦点为，则，
结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.
故选：A
8．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合椭圆的知识确定正确选项.
【详解】的周长为.
故选：A
9．（2022·安徽滁州·二模（文））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设线段的中点为，连接、，利用圆的几何性质可得出，求得，利用椭圆的定义可求得，可判断出的形状，即可得解.
【详解】在椭圆中，，，，
设线段的中点为，连接、，则为圆的一条直径，则，
因为为的中点，则，则，
所以，为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（ ）
A．[8，12] B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围
【详解】由，得，则，
圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，
因为
，
因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点，
所以，即，
所以，所以，
所以的取值范围为，
故选：C
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为，左 右焦点分别为，，若椭圆上第一象限的一个点A满足：直线与直线的交点为，直线与轴的交点为，且射线为的角平分线，则点A的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件求得椭圆方程，根据角平分线定理，求得，写出直线方程，联立椭圆方程，即可求得交点的坐标.
【详解】设椭圆的方程为，
根据题意可得：，故可得，
则椭圆的方程为；
又射线为的角平分线，在根据角平分线定理，有，
则在中，故，
故可设直线方程为，点为直线与椭圆的交点，
则，解得（舍）或.
即点的纵坐标为.
故选：.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据等面积法求得内切圆的半径，进而求得内切圆的圆心，从而求得内切圆的方程.
【详解】依题意，所以，
，
则，，，
设内切圆的圆心为，半径为，则
，
故有，解得，
由，或（舍），
所以的内切圆方程为.
故选：C
13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆的定义可得；
利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号.
【详解】根据椭圆的定义可知，，即，
因为，，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故选：A
14．（2022·全国·高二专题练习）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，根据椭圆的定义及余弦定理可得的关系，根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及，即可求得的值，进而可得的标准方程.
【详解】由椭圆的定义可知，又，所以，.又，，所以，所以，.又椭圆的面积为12π，所以，解得，，.
故选：C.
15．（2022·辽宁大连·高二期末）阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积.已知椭圆C：的面积为，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设条件结合椭圆的定义以及性质列出方程，得出椭圆C的方程.
【详解】由题意可知，解得，即椭圆C的方程为.
故选：D
16．（2021·海南华侨中学高二阶段练习）已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用周长为求得值，得到M，N坐标，再设点，利用直线AM与AN的斜率之积构建关系，结合满足已知方程，解得，即得结果.
【详解】由△AF1B的周长为，可知，解得，则，
设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得，即 ①．
又，所以 ②，
由①②解得，所以椭圆C的标准方程为．
故选：D．
17．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为______．
【答案】或
【分析】首先椭圆方程化简为标准方程，再求焦点坐标.
【详解】椭圆方程为，焦点在轴，，，
所以，所以椭圆的焦点坐标为.
故答案为：或
18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.
【答案】
【分析】因为是等边三角形，可得轴，再根据椭圆的定义可得，进而求得，再根据椭圆中的关系求解即可
【详解】因为是等边三角形，故，故关于轴对称，故轴.故，，故，又，故，故，即，所以，
故答案为：
19．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦距为4，则m＝______．
【答案】9或17
【分析】对椭圆的焦点在轴上或在轴上分情况讨论，然后根据椭圆中即可求解.
【详解】解：因为表示椭圆，所以且，
又椭圆的焦距为4，所以，即，
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即；
当椭圆的焦点在轴上时，，所以，即；
故答案为：9或17.
20．（2022·全国·高一）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长与短轴长的比为，且过点，则该椭圆的方程是______.
【答案】或
【分析】根据焦点的不同分类讨论，先设出椭圆的方程，再代入点即可求解.
【详解】当焦点在轴上时，由题意，设椭圆方程为，又椭圆过点，
所以，所以此时椭圆方程为；
当焦点在轴上时，由题意，设椭圆方程为，又椭圆过点，
所以，所以此时椭圆方程为.
故答案为: 或
21．（2022·河南新乡·二模（文））已知圆与圆相交于A，B两点，若圆，的圆心为椭圆E的焦点，A，B在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为______．
【答案】
【分析】根据题意可求得椭圆的a,c，继而求得b，可得答案.
【详解】设椭圆E的方程为，
由题意可得： ,
又A在椭圆E上，可知，而，
所以，
故椭圆E的标准方程为,
故答案为：
22．（2022·河南省直辖县级单位·二模（文））已知P是椭圆上的动点，且不在坐标轴上，，是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】设在第一象限，延长交的延长线于点，连接，然后可得，推导出（其中为的横坐标），从而，由可知，由此能够得到的取值范围．
【详解】
由椭圆的对称性，不妨设在第一象限，
延长交的延长线于点，连接，
由于在的角平分线上，可知，
所以△与全等，则，
再由，知，
，
（其中为的横坐标），
，由可知，由椭圆的方程知，
的取值范围是，．
故答案为：
23．（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B是椭圆C上关于x轴对称的两点.若的周长的最大值为8，且的周长最大时，，则椭圆C的标准方程为______.
【答案】##
【分析】由题可得当AB过时，的周长的最大，结合条件可得.
【详解】设，如图，
∵的周长为，
当且仅当AB过时，取等号，
∴，即，
此时，所以，
故，又，
∴，，又，
∴，
∴椭圆C的标准方程为.
故答案为：.
B组 能力提升
24．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）（多选题）点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.
【详解】设椭圆方程为，
设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，
则需，
，
即，，，
则，所以选项AC满足.
故选：AC.
25．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（ ）
A．的周长与点的位置无关
B．当时，的面积取到最大值
C．的外接圆半径最小为
D．的内切圆半径最大为
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的定义、椭圆离心率的意义，结合正弦定理和内切圆的性质逐一判断即可.
【详解】由椭圆定义知，的周长为，故A正确；显然当位于短轴端点时的面积最大，由知此时，故B错误；由正弦定理知外接圆直径，由知最大为钝角，故时取最小值，故的最小值为，故C正确；设内切圆半径为，由知，越大则越大，，故，
故选：ACD
26．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别是，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6 B．的面积为
C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为
【答案】ABC
【分析】求得，进而求得，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】椭圆的左、右焦点分别是，，
为椭圆上一点，，
所以.
所以的周长为，A正确.
的面积为，B正确.
设的内切圆的半径为，则，C选项正确.
为锐角，
，
所以的外接圆的直径为，D选项错误.
故选：ABC
27．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，（如图），离心率为，过的直线垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线交E于点B（异于点A），则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为
B．的周长为4a
C．若的面积为12，则椭圆E的方程为
D．与的面积的比值为
【答案】BCD
【分析】根据椭圆方程的求解以及椭圆的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对：若椭圆E的焦距为2，则，由离心率，则，
所以，则短轴长为，故A错误；
对B：根据椭圆的定义，的周长为4a，故B正确；
对：由，故可得，，所以椭圆的方程可写为，
易知，则，则，
所以，，，则椭圆E的方程为，故C正确；
对：因为，所以，过点B作，
则，，即，
设，，，则，
代入椭圆方程，整理得，
解得或（舍），
所以，故正确.
故选：BCD．
28．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选题）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（ ）
A．直线与蒙日圆相切
B．的蒙日圆的方程为
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为
【答案】AC
【分析】分析可得出，求出蒙日圆的方程，可判断B选项的正误；利用直线与圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的定义和点到直线的距离公式可判断C选项的正误；分析可知矩形的四个顶点都在蒙日圆上，利用基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，
所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，
因为，可得.
对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，
所以，直线与蒙日圆相切，A对；
对于B选项，的蒙日圆的方程为，B错；
对于C选项，由椭圆的定义可得，则，
所以，，
因为，直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，若矩形的四条边均与相切，则矩形的四个顶点都在蒙日圆上，
所以，，
所以，矩形的面积为，D错.
故选：AC.
29．（2021·江苏·高二单元测试）（多选题）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆C于两点均异于点为椭圆的右顶点，则（ ）
A．的周长为10
B．若直线PA与直线PB的倾斜角分别为，且，则
C．若轴，则
D．若AB的斜率存在，且AB的中点为M，则为坐标原点
【答案】BD
【分析】A选项用椭圆的定义来进行求解；B选项用斜率与倾斜角的关系及诱导公式即可求解；C选项求出点A、B的纵坐标，求出面积；D选项用点差法求解弦中点问题.
【详解】对于A，因为，所以，，
由椭圆的定义，可知的周长为，故A错误；
对于B，因为，所以，因为，，所以，从而得到，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，故C错误；
对于D，设，
则两式相减得：，
因为所以，
即，即，故D正确.
故选：BD.
30．（2020·重庆市第三十七中学校高二阶段练习）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（ ）
A．7 B．17 C．18 D．19
【答案】AB
【分析】由椭圆定义可得，求出的范围即可得出.
【详解】由椭圆方程可得，
则由椭圆定义可得，
所以，
，，
，
则.
故选：AB.
31．（2022·全国·模拟预测（文））已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．
(1)若，求椭圆的标准方程；
(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知是等边三角形，可求出，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设，，根据已知列方程求解可得，表示出四边形CADB面积S，再由均值不等式即可求四边形CADB面积S的最大值.
（1）
解：由已知是等边三角形，
因为，，所以，
得椭圆的标准方程为．
（2）
设，，
因为，，所以，
则,所以，
，
所以，，
两式相减得，
带回原式得，
因为，所以，
（当时取等）
所以四边形CADB面积S的最大值为．
32．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到椭圆的下顶点为和椭圆过点求解；
（2）设点坐标为，当直线斜率存在时，设其方程为，与联立，由，结合韦达定理求解；当直线斜率不存在时验证即可.
（1）
解：由题意，椭圆的下顶点为，故.
由对称性，椭圆过点，代入椭圆方程有，
解得：.
故椭圆的标准方程为：.
（2）
设点坐标为.
当直线斜率存在时，设其方程为，与联立得：
.
设，则.
，
，
，
为定值，即与无关，则，此时.
经检验，当直线斜率不存在时也满足，故点坐标为.
33．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，从而可求出，进而可求出离心率，
（2）设，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，再由可得或，可得直线经过定点，然后表示出面积，求其最大值即可.
（1）
依题可得，，解得，
所以椭圆的方程为.
所以离心率.
（2）
易知直线与的斜率同号，所以直线不垂直于轴，
故可设，
由可得，，
所以，
，而，即，
化简可得，
，
化简得，
所以或，
所以直线或，
因为直线不经过点，
所以直线经过定点.
设定点
，
因为，所以，
设，
所以，
当且仅当即时取等号，即面积的最大值为.
34．（2022·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；
(2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据两点间斜率公式以及题中条件斜率之积即可列方程求解，
（2）由面积相等可得长度的比例关系，由相似转化为长度关系，即可列式子求解.
（1）
因为点B与点关于原点O对称，所以点B的坐标为
设点P的坐标为，由题意得，化简得
故动点P的轨迹方程为；
（2）
若存在点P使得与的面积相等，设点P的坐标为，
则
因为，所以，所以
即，解得，因为，所以，
故存在点P使得与的面积相等，此时点P的坐标为.
35．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（－2，0），（2，0），并且经过点，求它的标准方程；
（2）若椭圆经过两点（2，0）和（0，1），求椭圆的标准方程.
【答案】（1）＋＝1；（2）＋y2＝1.
【分析】（1）先由椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为＋＝1（a>b>0），用待定系数法求解；
（2）椭圆的焦点位置未知，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n），用待定系数法求解.
【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1（a>b>0）.
由椭圆的定义知
2a＝＝2，
∴a＝.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）.
∵椭圆过（2，0）和（0，1）两点，
∴∴
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
36．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高二期末（文））求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点，；
(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由已知可得，，且焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；
（2）由已知可得，，此时焦点在轴上，或，，此时焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；
(1)
解：椭圆经过点，，，
，，且焦点在轴上，
椭圆的标准方程为.
(2)
解：长轴长是短轴长的3倍，且经过点，
当点在长轴上时，，，此时焦点在轴上，
此时椭圆的标准方程为；
当点在短轴上时，，，此时焦点在轴上，
此时椭圆的标准方程.
综合得椭圆的方程为或.
37．（2022·四川·遂宁中学高二期中（理））椭圆的两焦点分别为，，椭圆与轴正半轴交于点，.
(1)求曲线的方程；
(2)过椭圆上一动点(不在轴上)作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得曲线的方程.
（2）利用弦长公式、点到直线的距离公式求得的表达式，再结合导数求得的取值范围.
(1)
，
椭圆方程为.
(2)
设，线段的中点为，
，，
以为直径的圆的半径为，
以为直径的圆的方程为，
即，又圆，
两式相减，
由 ，消去并化简得，
，，
，
，
，
由于，所以，，
对于函数，在上递增.
，
所以，
，
，
.
【点睛】求解椭圆中三角形面积的取值范围，关键步骤有两个，一个是利用弦长公式、点到直线的距离公式求得三角形面积的表达式.二个是利用基本不等式、导数、二次函数等知识来求面积的取值范围.
38．（2022·贵州贵阳·一模（理））已知椭圆：与直线（不平行于坐标轴）相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.
(1)证明：直线与椭圆相切；
(2)①当点运动时，点随之运动，求点的轨迹方程：
②若，，不共线，求三角形面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】（1）通过联立直线与椭圆，结合判别式证得结论成立.
（2）①根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程. ②求得三角形面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.
(1)
在椭圆上，所以，
由得，
，，
，，
整理得，有唯一解，所以直线与椭圆相切.
(2)
①，依题意可知直线与坐标轴不平行，所以，
直线的斜率为，所以直线的斜率为，
直线的方程为，
令，解得；令解得，
所以，，
所以点的轨迹方程为.
②，由①知，，且，
，
直线的方程为，即，
到直线的距离为，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
所以.
【点睛】求解圆锥曲线中三角形面积的最值问题的求解思路是：首先求得三角形面积的表达式，然后结合表达式的结构，考虑基本不等式、二次函数的性质、三角换元、导数等知识来求得面积的最值.
39．（2022·天津市蓟州区第一中学一模）设椭圆过点，两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，圆的方程为，
【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）根据特殊点求得可能符合题意的圆的方程，然后证明这个圆上所有点的切线都符合，从而求得所求圆的方程.利用弦长公式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
(1)
依题意椭圆过点，两点，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
(2)
椭圆的方程为，则，
假设存在符合题意的圆，且圆的半径为，则，
圆的方程为.
当切点为时，直线的方程为，
由于，而，所以三角形是等腰直角三角形，
不妨设，代入得，可得，，.
当切点为时，同理可求得，，.
故猜想所求圆的方程为.
当的斜率存在时，设直线，则即.
设，由可得，
故，，
故
,
故.
此时
令，则，
因为，故，所以.
当猜测过程可得当的斜率不存在时也满足且，
综上所述，的取值范围是.
【点睛】本题的难点在于第二问的联立切线的方程和椭圆的方程，不管是计算，还是计算弦长，都需要很强的运算能力.在运算过程中，要细心、准确.另外还要注意切线的斜率是否存在、是否为零这样的一些特殊的情形.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破3.1 椭圆
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的长轴长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·福建·泉州市第六中学高二期中）P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
6．（2022·全国·高二课时练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
7．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高二专题练习）椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·安徽滁州·二模（文））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（ ）
A．[8，12] B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆的焦点在轴上，长轴长为，离心率为，左 右焦点分别为，，若椭圆上第一象限的一个点A满足：直线与直线的交点为，直线与轴的交点为，且射线为的角平分线，则点A的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022·全国·高二专题练习）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C：的左，右焦点分别是，，P是C上一点，，，C的面积为12π，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·辽宁大连·高二期末）阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积.已知椭圆C：的面积为，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·海南华侨中学高二阶段练习）已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M、N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为－，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为______．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点.若是等边三角形，则的值等于_________.
19．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的焦距为4，则m＝______．
20．（2022·全国·高一）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长与短轴长的比为，且过点，则该椭圆的方程是______.
21．（2022·河南新乡·二模（文））已知圆与圆相交于A，B两点，若圆，的圆心为椭圆E的焦点，A，B在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为______．
22．（2022·河南省直辖县级单位·二模（文））已知P是椭圆上的动点，且不在坐标轴上，，是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且，则的取值范围是______．
23．（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B是椭圆C上关于x轴对称的两点.若的周长的最大值为8，且的周长最大时，，则椭圆C的标准方程为______.
B组 能力提升
24．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）（多选题）点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（ ）
A．的周长与点的位置无关
B．当时，的面积取到最大值
C．的外接圆半径最小为
D．的内切圆半径最大为
26．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别是，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6 B．的面积为
C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为
27．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，（如图），离心率为，过的直线垂直于x轴，且在第二象限中交E于点A，直线交E于点B（异于点A），则下列说法正确的是（ ）
A．若椭圆E的焦距为2，则短轴长为
B．的周长为4a
C．若的面积为12，则椭圆E的方程为
D．与的面积的比值为
28．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选题）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，直线，则（ ）
A．直线与蒙日圆相切
B．的蒙日圆的方程为
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形的面积的最大值为
29．（2021·江苏·高二单元测试）（多选题）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆C于两点均异于点为椭圆的右顶点，则（ ）
A．的周长为10
B．若直线PA与直线PB的倾斜角分别为，且，则
C．若轴，则
D．若AB的斜率存在，且AB的中点为M，则为坐标原点
30．（2020·重庆市第三十七中学校高二阶段练习）（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，定点，若点P是椭圆E上的动点，则的值可能为（ ）
A．7 B．17 C．18 D．19
31．（2022·全国·模拟预测（文））已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．
(1)若，求椭圆的标准方程；
(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．
32．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆，过点且与轴平行的直线与椭圆恰有一个公共点，过点且与轴平行的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的动直线与椭圆交于两点，为轴上的一点，设直线和的斜率分别为和，若为定值，求点的坐标.
33．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点在椭圆上，右顶点为，且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值.
34．（2022·辽宁鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.
(1)求动点P的轨迹方程，并注明x的范围；
(2)设直线AP与BP分别与直线交于M，N，问是否存在点P使得与面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.
35．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（－2，0），（2，0），并且经过点，求它的标准方程；
（2）若椭圆经过两点（2，0）和（0，1），求椭圆的标准方程.
36．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高二期末（文））求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点，；
(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点．
37．（2022·四川·遂宁中学高二期中（理））椭圆的两焦点分别为，，椭圆与轴正半轴交于点，.
(1)求曲线的方程；
(2)过椭圆上一动点(不在轴上)作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.
38．（2022·贵州贵阳·一模（理））已知椭圆：与直线（不平行于坐标轴）相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点.
(1)证明：直线与椭圆相切；
(2)①当点运动时，点随之运动，求点的轨迹方程：
②若，，不共线，求三角形面积的最大值.
39．（2022·天津市蓟州区第一中学一模）设椭圆过点，两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)是否存在圆心为原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，请说明理由.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
