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突破3.1 椭圆
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距 ＝2c
离心率 e＝， e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
【知识必备】
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
三、题型突破
重难点题型突破01 椭圆的定义及其应用
例1、（1）、（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（2021·全国高二专题练习）动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________．
【变式训练1-1】、（2022·甘肃武威·高二期末（理））动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
【变式训练1-2】．（2021·全国高二课时练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破02 椭圆方程的简单的几何性质
例2．（1）、（2022·全国·高二单元测试）椭圆的短轴长为______．
（2）、（2021·湖南·高二期中）（多选题）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】、（2022·上海静安·二模）已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.
【变式训练2-2】、（2022·全国·高二课时练习）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为______．
重难点题型突破03 求椭圆的标准方程
例3、（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点；
(2)经过点，．
【变式训练3-1】、（2021·全国·高二单元测试）求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）两个焦点的坐标分别为F1（0，﹣2），F2（0，2），并且椭圆经过点.
（2）椭圆经过和.
例4、（2022·全国·高二课时练习）双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为______．
【变式训练4-1】、（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为______．
重难点题型突破04 椭圆的综合性质
例5、（1）、（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆C：1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的最小值为_______.
（2）、（2022·北京朝阳·高二期末）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线的方程为；
②曲线上存在点，使得到点的距离为；
③曲线上存在点，使得到点的距离大于到直线的距离；
④曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为.
其中所有正确结论的序号是___________.
【变式训练5-1】、（2021·江苏·高二单元测试）已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】、（2021·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）（多选题）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值 D．的范围为
重难点题型突破05椭圆的范围与最值问题
例6、（2022·宁夏吴忠·模拟预测）已知抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.
(1)求抛物线E的方程；
(2)点A、B为抛物线E上异于原点O的两不同的点，且满足.若直线AB与椭圆恒有公共点，求m的取值范围.
【变式训练6-1】、（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，上顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，当点M的坐标为时，直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.
重难点题型突破06椭圆的定点与定值问题
例7．（2022·江西·高三开学考试（理））已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【变式训练7-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于、两点，若的平分线垂直于轴，证明：过定点.
重难点题型突破07 直线与椭圆综合应用
例8、（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆的左 右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.
【变式训练8-1】、（2022·江西赣州·一模（理））在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点.若以为直径的圆O与以为直径的圆T内切.
(1)证明：为定值，并求点P的轨迹E的方程；
(2)设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点，问在E上是否存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由.
四、课堂练习
1．（2022·全国·高二课时练习）设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
2．（2022·全国·高二专题练习）一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支
3．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）（多选题）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______________．
5．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点为，，且经过点；
(2)焦点为，，且经过点；
(3)经过点，．
6．（2022·全国·高二课时练习）分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)，焦点在x轴上；
(2)，经过点，焦点在y轴上．
7．（2020·湖南·新邵县教研室高二期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，（）在椭圆上，点，是椭圆上不同于，的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.
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突破3.1 椭圆
一、考情分析
二、考点梳理
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距 ＝2c
离心率 e＝， e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
【知识必备】
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
三、题型突破
重难点题型突破01 椭圆的定义及其应用
例1、（1）、（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
（2）．（2021·全国高二专题练习）动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________．
【答案】
【分析】
由点在圆内部可知动圆在圆内部，由两圆内切知圆心距，进而得到，由此确定动圆圆心轨迹为椭圆，由椭圆定义可计算求得轨迹方程.
【详解】
由圆方程知其圆心为，半径，
，即点在圆内部，动圆在圆内部，
设圆半径为，则，，
即，又，，
动圆圆心的轨迹满足以为焦点的椭圆，此时，，，
动圆圆心的轨迹方程为：.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题关键是能够根据两圆内切构造等量关系，即圆心距等于大圆半径与小圆半径之差，由此确定动点轨迹为椭圆.
【变式训练1-1】、（2022·甘肃武威·高二期末（理））动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，即可得答案.
【详解】
由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，
故选：A
【变式训练1-2】．（2021·全国高二课时练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据垂直平分线的性质得，再由椭圆的定义可得出点的轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的方程可求得动点的轨迹方程.
【详解】
解：由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6．
∵线段的垂直平分线交于点，∴，∴，
∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，∴，，，∴其轨迹方程为．
故选：A．
重难点题型突破02 椭圆方程的简单的几何性质
例2．（1）、（2022·全国·高二单元测试）椭圆的短轴长为______．
【答案】4
【分析】由椭圆的方程可得，则，进而可得椭圆的短轴长．
【详解】解：因为椭圆，
所以，
所以，
所以椭圆的短轴长为，
故答案为：4.
（2）、（2021·湖南·高二期中）（多选题）已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用椭圆长轴，短轴的长结合焦点位置可求椭圆标准方程.
【详解】由题意有，，故椭圆的标准方程可能为或.
故选：AC.
【变式训练2-1】、（2022·上海静安·二模）已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆的标准方程直接求解即可.
【详解】
由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得.
故答案为：.
【变式训练2-2】、（2022·全国·高二课时练习）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为______．
【答案】
【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标，设，由椭圆方程和距离列方程组求解．
【详解】由已知，，右焦点为，
设，，
则，消去得，
，，（舍去），
所以点横坐标为．
故答案为：．
重难点题型突破03 求椭圆的标准方程
例3、（2022·全国·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点；
(2)经过点，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆上的点，结合椭圆的定义，求后，即可求得椭圆方程；
（2）首先设椭圆的一般方程，代入两点，即可求得椭圆方程.
（1）
由题意知椭圆的焦点在y轴上，
所以设椭圆的标准方程为．
由椭圆的定义知，
，即．
又c＝2，所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）
设椭圆的方程为（，，且）．
因为点，在椭圆上，
所以代入椭圆的方程得，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
【变式训练3-1】、（2021·全国·高二单元测试）求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）两个焦点的坐标分别为F1（0，﹣2），F2（0，2），并且椭圆经过点.
（2）椭圆经过和.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由焦点坐标可求出，再由椭圆第一定义可求，即可求出标准方程；
（2）可设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，采用待定系数法即可求解；
【详解】（1）根据题意，两个焦点的坐标分别为F1（0，﹣2），F2（0，2），即c＝2，
又由椭圆经过点，则2a2，
故a，
则b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，
故要求椭圆的方程为1；
（2）根据题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，
又由椭圆经过和，则有，解可得m＝5，n＝4；
则要求椭圆的方程为5x2+4y2＝1，
即其标准方程为1.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，待定系数法适用于将已知点带入椭圆方程进行求解；在已知焦点的情况，可以采用椭圆第一定义进行求解，属于基础题
例4、（2022·全国·高二课时练习）双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据离心率得出的关系，代入点求解即可.
【详解】
因为双曲线离心率为2，所以，所以，即，
点代入双曲线方程得：，解得，，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
【变式训练4-1】、（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为______．
【答案】或，
【解析】
【分析】
先求出椭圆的焦距，再设出椭圆方程，求出的圆心坐标，列方程组可求得答案
【详解】
由，得，得，
圆的圆心坐标为，
当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则
解得，
所以椭圆方程为，
当所求椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，则
解得，
所以椭圆方程为，
综上，所求椭圆方程为或，
故答案为：或，
重难点题型突破04 椭圆的综合性质
例5、（1）、（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆C：1的短轴长为焦距为、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的最小值为_______.
【答案】
【分析】方法一：根据椭圆的定义，结合基本不等式中“1的妙用”求解最小值即可；
方法二：设化简，再结合二次不等式的最值求解即可
【详解】根据条件可得故
则根据椭圆定义可知
方法一
当即在椭圆上下顶点时，取到等号，
的最小值为.
方法二 设则
令，，又
．
的最小值为
故答案为：1
（2）、（2022·北京朝阳·高二期末）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线的方程为；
②曲线上存在点，使得到点的距离为；
③曲线上存在点，使得到点的距离大于到直线的距离；
④曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①④
【分析】设,根据满足,利用两点间距离公式化简整理，即可判断①是否正确；
由①可知，圆上的点到的距离的范围为,进而可判断②是否正确；
设，根据题意可知，再根据在曲线上，可得，由此即可判断③是否正确；由椭圆的的定义，可知在椭圆上，再根据椭圆与曲线的位置关系，即可判断④是否正确.
【详解】设,因为满足,所以,整理可得：,即,所以①正确；
对于②中,由①可知，点在圆的外部,因为到圆心的距离,半径为,所以圆上的点到的距离的范围为,而,所以②不正确；
对于③中,假设存在，使得到点的距离大于到直线的距离,
又，到直线的距离，
所以，化简可得，又，
所以，即，故假设不成立，故③不正确；
对于④中,假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为，则在以点与点为焦点，实轴长为的椭圆上，即在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为；所以④正确.
故答案为：①④.
【变式训练5-1】、（2021·江苏·高二单元测试）已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得，由此求得的面积.
【详解】由题意得，，，
因为直线AM的倾斜角为，所以直线MN的方程为，
把代入椭圆方程解得，所以，
因为A在直线MN上，所以，解得．
又，，解得，
令，则，即，
因为M为椭圆的右焦点，所以，
由椭圆的定义可知，，
因为的周长为6，所以，
所以，所以，，所以，，.
所以．
故答案为：．
【变式训练5-2】、（2021·山西·晋城市第一中学校高二阶段练习）（多选题）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值 D．的范围为
【答案】BCD
【分析】根据的值确定A选项的求直线.通过计算直线与直线斜率乘积来确定B选项的正确性，结合椭圆的定义以及基本不等式判断C选项的正确性.结合椭圆的定义来判断D选项的正确性.
【详解】依题意，
，A错误.
设，则，
，为定值，B选项正确.
，
，
当且仅当时等号成立.C选项正确.
Q在椭圆外，设直线、与椭圆相交于如图所示，
则，
，，
，即，
所以
所以.D选项正确.
故选：BCD
重难点题型突破05椭圆的范围与最值问题
例6、（2022·宁夏吴忠·模拟预测）已知抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.
(1)求抛物线E的方程；
(2)点A、B为抛物线E上异于原点O的两不同的点，且满足.若直线AB与椭圆恒有公共点，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由焦半径公式可得，求解即可得答案；
（2）由题意，直线AB斜率不为0，设，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及可得，从而可得直线AB恒过定点，进而可得定点在椭圆内部或椭圆上即可求解.
(1)
解：因为抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4，
所以，解得，
所以抛物线E的方程为；
(2)
解：由题意，直线AB斜率不为0，设，，
由，可得，
所以，
因为，即，所以，
所以，即，所以，
所以直线，
所以直线AB恒过定点，
因为直线AB与椭圆恒有公共点，
所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，
所以.
【变式训练6-1】、（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，上顶点为D，斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，当点M的坐标为时，直线l恰好经过D点.
(1)求椭圆C的方程：
(2)当l不过点D时，若直线DM与直线l的斜率互为相反数，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由离心率可得，又因为即可求出，即可得出椭圆C的方程；
（2）设直线为，联立直线和椭圆的方程得到关于的一元二次方程，可表示出的坐标，即可表示出直线DM的斜率解得，因为l不过D点，则，再结合即可求出k的取值范围.
（1）
由题意知，离心率，所以，
设，两式相减得，所以；
所以直线为，即，所以，椭圆方程为；
（2）
设直线为，由得，
则，，，
所以，解得，，
因为l不过D点，则，即
则，化简得，
解得，，
所以或.
重难点题型突破06椭圆的定点与定值问题
例7．（2022·江西·高三开学考试（理））已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为．
(1)求C的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【答案】(1)；
(2)l恒过定点.
【分析】（1）线段RS为通径时最短，再根据的关系即可求解；
（2）联立直线AB的方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，整理式子即得结果.
（1）
由线段RS长度的最小值为，得，
又，所以，解得
所以C的标准方程为．
（2）
由，
可知PF平分，∴．
设直线AB的方程为，，，
由得，
，即，
∴，，
∴，
∴，∴，
整理得，∴当时，上式恒为0，
即直线l恒过定点．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
【变式训练7-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率，且过点.
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于、两点，若的平分线垂直于轴，证明：过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可出关于、、的方程，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，分析可知，可得出、所满足的等式，化简直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.
(1)
解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.
(2)
解：由题意可知，直线、的斜率互为相反数.
若直线的斜率不存在，直线、关于轴对称，此时的平分线为轴，不合乎题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，
联立可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
，，
所以，，
所以，，
可得，所以，直线的方程为，此时直线过定点.
综上所述，直线过定点.
【点睛】
方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
重难点题型突破07 直线与椭圆综合应用
例8、（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆的左 右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.
(1)求的方程；
(2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦距求出，利用的最大面积求出，从而求出，求出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，求出两点的坐标，从而求出，再设出直线的方程，联立椭圆方程，表达出，及四边形的面积，求出的长度的最大值，从而求出四边形的面积最大值.
（1）
设椭圆的半焦距为.因为，所以，
当为上顶点或下顶点时，的面积最大，
因为的最大面积为，所以，即，
所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）
设，联立消去得，
解得，
所以，所以两点的坐标分别为，
所以.
因为，设四边形的面积为，
所以.
设直线的方程为.
联立消去得，
所以，
即，
，
所以
，
所以当时，，
此时.
所以四边形面积的最大值为.
【点睛】求解圆锥曲线中的四边形或三角形面积问题，通常要设出直线方程，将直线与圆锥曲线联立，求解两根之和，两根之积，再利用弦长公式，点到直线距离公式等求解线段长，表达出面积，结合基本不等式或二次函数等求出最值.
【变式训练8-1】、（2022·江西赣州·一模（理））在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点.若以为直径的圆O与以为直径的圆T内切.
(1)证明：为定值，并求点P的轨迹E的方程；
(2)设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点，问在E上是否存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析，
(2)存在，
【分析】（1）依据两圆相内切的性质去证明为定值，依据椭圆的定义去求点P的轨迹E的方程；
（2）依据设而不求的方法去保证、为等腰三角形的两腰，且点Q在E上即可解决.
(1)
依题意有，
连结，由点O和T分别是和的中点知，
故有，即
又，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆
因为，，所以，
故点P的轨迹E的方程为
(2)
假设存在满足条件的点Q，依题意知，
设，，，则，
由得，，
设l的方程为，代入椭圆方程得，.
由得，，由韦达定理得，，，
又，，所以
所以
故有，解得，
显然满足
所以在E上存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是以点Q为顶角的等腰三角形，
此时点Q的横坐标为
【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
四、课堂练习
1．（2022·全国·高二课时练习）设为定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
【答案】D
【分析】由条件可得，即可得答案.
【详解】因为，所以动点M的轨迹是线段，
故选：D
2．（2022·全国·高二专题练习）一动圆与圆外切，而与圆内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】依据定义法去求动圆的圆心的轨迹即可解决.
【详解】设动圆的半径为r,
又圆半径为1，圆半径为8，
则，，
可得，又
则动圆的圆心的轨迹是以为焦点长轴长为9的椭圆.
故选：A
3．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）（多选题）若椭圆上存在点P，使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为2：1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由各选项的椭圆方程求椭圆参数，由椭圆的性质知椭圆上点到焦点距离最大为，最小为，结合“倍径椭圆”的定义即可判断.
【详解】A：由椭圆方程有，所以，则，故存在符合题设的P点；
B：由椭圆方程有，所以，则，故不存在符合题设的P点；
C：由椭圆方程有，所以，则，故存在符合题设的P点；
D：由椭圆方程有，所以，则，故不存在符合题设的P点；
故选：AC.
4．（2021·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据方程表示椭圆，列出相应的不等式组，解得答案.
【详解】由方程表示椭圆，
可得 ，解得 且 ，
故实数的取值范围是： ，
故答案为：
5．（2022·江苏·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点为，，且经过点；
(2)焦点为，，且经过点；
(3)经过点，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知直接得出，求得后可得椭圆标准方程；
（2）根据椭圆定义求得，再由求得后得椭圆标准方程；
（3）设椭圆方程为（），代入两点坐标 求解．
(1)
由题意，，则，
椭圆方程为；
(2)
由已知，，
又，所以，
椭圆方程为；
(3)
设椭圆方程为（），
则，解得，所以椭圆方程为．
6．（2022·全国·高二课时练习）分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)，焦点在x轴上；
(2)，经过点，焦点在y轴上．
【答案】(1)
(2)
【分析】小问1：根据椭圆的标准方程公式可得结果；
小问2：设椭圆的标准方程为，将点代入即可求解结果．
(1)
若，焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为
(2)
因为，焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为
又因为椭圆经过点，则，得
所以椭圆的标准方程为
7．（2020·湖南·新邵县教研室高二期末）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，（）在椭圆上，点，是椭圆上不同于，的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析
【分析】（1）根据离心率以及即可求解椭圆方程，
（2）将转化为直线斜率之和为，联立直线与椭圆方程，利用坐标运算即可求解.
（1）
因为椭圆的中心的原点，焦点在轴上，
所以设椭圆标准方程为，
因为椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，
焦点为，所以，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程.
（2）
由题意，直线与椭圆交点，
设，当时直线斜率之和为，
设斜率为，则斜率为，的直线方程为，
与椭圆联立得，
所以，同理，
所以，，
直线的斜率为.
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