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突破3.2 双曲线
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高二课时练习）经过点和的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设双曲线的方程为，将两点代入，即可求出答案.
【详解】设双曲线的方程为，
则解得
故双曲线的标准方程为．
故选：B．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义知，，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，
则由题意可知，，即，故，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C．
3．（2022·陕西师大附中高二期中（理））已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】求出A点，B点坐标，利用斜率等于6结合得到，
方程两边同除以得到关于离心率的方程，求出答案.
【详解】由题意得：，，
当时，，解得，
因为的斜率为，
所以B点位于第一象限，则，
故，整理得：，
因为，即，
方程两边同除以得：，
解得：或1（舍去）
故选：A
4．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义及求出，利用勾股定理可求结果.
【详解】如图，设，则．
又，所以，所以．
又，所以，由，得
，则，而，则，化简得，所以．
5．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与的一条渐近线的一个交点为.若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合双曲线的性质，结合三角形中余弦定理构造齐次式，可得双曲线的离心率.
【详解】
如图所示，由已知得，，，
且，则，
在中，由余弦定理，得，即，整理得，所以，
故，
故选：B.
6．（2022·湖北武汉·高三开学考试）设双曲线的左右焦点为，过的直线与双曲线右支交两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得 是等腰直角三角形，运用双曲线定义可得，，在 中，利用余弦定理即可解得离心率.
【详解】解：根据题意可知，过的直线斜率存在，
中点为，
又
又
在 中，由余弦定理
整理得：且 ，所以 是等腰直角三角形.
设，则，
在 中，由勾股定理得：
由双曲线定义可知：
由双曲线定义可知： 且
整理得：
在 中，，，
由余弦定理可得：
代入计算得：
离心率e＝
故选：A.
7．（2022·全国·高二课时练习）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知双曲线的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，代入进行求解m的值．
【详解】由题意得，在双曲线中，，∴．
∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，∴，
∴，即，解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查双曲线的概念，考查学生的运算能力，属于简单题．
8．（2022·全国·高二课时练习）经过点，的双曲线的方程是______.
【答案】
【分析】把两点代入双曲线方程中，即可利用待定系数法进行求解.
【详解】设双曲线的方程为，因为P、Q两点在双曲线上，
所以解得
所以所求双曲线的标准方程为.
故答案为：
9．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________.
【答案】.
【分析】根据圆的性质，结合线段垂直平分线的性质、双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，
由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，
故答案为：
10．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为______.
【答案】2
【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可.
【详解】双曲线 的一条渐近线不妨设为: ,，
圆 的圆心 , 半径为2，
双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，
可得圆心到直线的距离为，等式两边同时平方即有 ，
可得 ， 即 .
故答案为：2.
11．（2022·全国·高三专题练习）点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率_______．
【答案】
【分析】根据双曲线的对称性不妨取双曲线的一条渐近线方程，根据点到直线的距离求得b，进而求得离心率.
【详解】由题意，根据双曲线的对称性不妨取双曲线的一条渐近线方程为，
故，即，解得，
又，故，
故答案为：
12．（2022·全国·高二课时练习）经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的焦点坐标是______．
【答案】
【分析】设双曲线方程为，代入点，得出双曲线方程，最后即可求得焦点坐标.
【详解】因为双曲线是等轴双曲线，设双曲线方程为：，
代入得：，所以双曲线方程为：，
可知焦点在轴上，，，焦点坐标为：.
故答案为：
13．（2022·全国·高二课时练习）以椭圆的焦点为焦点，以直线为渐近线的双曲线方程为______．
【答案】
【分析】首先求焦点坐标，根据渐近线方程，转化为，再根据的关系求双曲线方程.
【详解】椭圆中，，并且焦点在轴，
双曲线中：，所以，解得：，
，
所以双曲线方程为：.
故答案为：
14．（2022·全国·高二课时练习）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线虚轴长为______．
【答案】2
【分析】先由渐近线方程求出，进而求得虚轴长即可.
【详解】由双曲线的方程可得渐近线方程为，则，解得，则双曲线虚轴长为.
故答案为：2.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，且离心率为，与双曲线的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的长轴长为______．
【答案】
【分析】根据椭圆的性质可得四边形的边长为4，可得，再结合离心率可得，进而即得.
【详解】由题意,双曲线的渐近线方程为，
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴在椭圆C:上，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即椭圆C的长轴长为.
故答案为：.
16．（2022·全国·高三专题练习）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例压缩后可近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为______．
【答案】
【分析】由上焦点到渐近线的距离利用点到直线的距离公式可得，再由离心率为2，可求出，从而可求出，进而可求得双曲线方程.
【详解】因为，
所以下焦点的坐标为，渐近线方程为，即，
则下焦点到的距离为．
，解得，则，
所以该双曲线的方程为．
故答案为：
17．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______．
【答案】
【分析】利用点到直线距离公式可知；联立和渐近线、双曲线方程可得交点横坐标，由此可表示出旋转后所得几何体的体积，从而构造出关于的齐次方程，进而解得离心率.
【详解】由题意知：渐近线方程为，右焦点为，，
由得：；由得：，
阴影部分绕轴旋转一周所得几何体的体积，即，
，即，
，解得：，.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
18．（2022·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
【答案】
【分析】由条件求，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.
【详解】解：如图，
根据题意，，，
∴，，
设直线的倾斜角为，
∴，
当且仅当时等号成立，
即，，，又
∴，
故答案为：．
19．（2022·全国·高二课时练习）已知点P在双曲线上，若P，Q两点关于原点O对称，直线与圆相切于点M且，其中，分别为双曲线C的左、右焦点，则的面积为______．
【答案】12
【分析】利用双曲线的对称性有的面积等于的面积，根据圆的切线、向量线性关系、中位线性质得，令，，由双曲线定义列方程求，即可求面积.
【详解】如图，连接，
因为P，Q两点关于原点O对称，
所以的面积等于的面积．
直线与圆相切于点M，则．
因为，
所以M为的中点，又O为的中点，
所以，则．
由双曲线得：，．
，，则．
因为，所以，
所以，
所以，故的面积等于，即的面积为12．
故答案为：12.
20．（2022·全国·高三专题练习）如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，，顶点分别为，，的焦点分别为，，顶点分别为，，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为________.
【答案】
【分析】设出的焦点和顶点坐标，从而表示出的焦点和顶点坐标，表达出和，利用基本不等式求出的最大值.
【详解】不妨设，，，，
则，，，
，当且仅当时等号成立
故答案为：
21．（2022·全国·高二课时练习）设、是双曲线C：的左、右焦点，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B．若，则双曲线C的离心率为______．
【答案】
【分析】取中点，连接，则，设，由双曲线的定义可知，，，所以，，，由勾股定理，推出，的关系，化简即可得离心率的值．
【详解】解：如图，取AB中点M，连接，
，，
设，
，，
又，，
，，
，
过点且倾斜角为的直线，，
，
在中，可得，
在中，可得，
消去化简得，
离心率．
故答案为：.
B组 能力提升
22．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）（多选题）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的右焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的方程为
C．为定值 D．存在点，使得
【答案】ABD
【分析】对于AB，利用双曲线的概念及几何性质可以容易判断；对于C，利用点在双曲线上得到，进而直接化简即可；对于D，利用的范围可以判断得范围，进而可以判断存在点与否.
【详解】因为双曲线的右焦点在直线上，易得右焦点坐标为，故，
由于离心率为，则，所以，所以双曲线方程为，故B正确；
易得双曲线渐近线方程为，故A正确；
设点，又、，则，即，故，故C错误；
因为在第一象限，则，即，即，，所以，故存在点，使得，故D正确.
故选：ABD.
23．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（ ）
A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率不相等
【答案】CD
【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
离心率为，
当时，，，
双曲线的焦点在轴上，其实轴长为，虚轴长为，
焦距为，离心率为.
故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，
与的焦距相等，离心率不相等．
故选：CD．
24．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）（多选题）已知曲线，则（ ）
A．当时，则的焦点是，
B．当时，则的渐近线方程为
C．当表示双曲线时，则的取值范围为
D．存在，使表示圆
【答案】ABD
【分析】通过的值或取值范围，判断曲线的形状，转化求解即可.
【详解】对于A，当时，曲线，则的焦点是，，所以A正确；
对于B，当时，曲线，则的渐近线方程为，所以B正确；
对于C，当表示双曲线时，，解得：或，所以C不正确；
对于D，当，即时，曲线表示圆，所以D正确.
故选：ABD.
25．（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ）
A．
B．双曲线C的离心率为
C．直线倾斜角的取值范围为
D．若，则三角形的面积为2
【答案】ABD
【分析】根据双曲线的几何性质，再对各个选项进行逐个计算检验即可得出结论.
【详解】设焦距为，则，设，
则，，作差得，即，
，
故，又，所以，A正确；
而离心率，B正确；
双曲线C的渐近线方程为，直线过原点，由题可知直线与C有两个不同的交点，
所以直线倾斜角的取值范围为，C错误；
若，则，由双曲线的定义以及选项A的结论可得
，故，
又，可得，
所以三角形的面积为，D正确．
故选：ABD.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力的应用，是较难题.
26．（2022·福建·福州三中高二期末）（多选题）若P是双曲线C：上一点，C的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．渐近线方程为
C．的最小值是2 D．焦点到渐近线的距离是
【答案】BCD
【分析】由焦点坐标可求得值，由双曲线方程可得渐近线方程，根据双曲线的性质可得双曲线上的点到焦点距离的最小值，由点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离判断各选项．
【详解】依题意可知，所以A答案错误；双曲线的方程为，所以渐近线的方程为，，
渐近线方程为，焦点到渐近线的距离是，
故选：BCD．
27．（2022·新疆·新和县实验中学高二期末（文））求适合下列条件的圆锥曲线方程：
(1)焦点坐标为，短轴长为2的椭圆方程.
(2)焦点在x轴上，经过点的双曲线.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知得，根据椭圆中a、b、c三量关系求出a值即可得到椭圆方程；
（2）已知a和双曲线上一点，设双曲线方程，通过待定系数法求解即可.
（1）
根据题意可得，椭圆长轴在x轴上，且，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）
根据题意可得，双曲线实轴在x轴上，
设双曲线方程为，
则，解得，
所以双曲线方程为.
28．（2022·全国·高三专题练习）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率，焦点在x轴，且经过点的双曲线标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意即可求处的值，即可写出答案.
（2）根据题意列出的关系式，解方程即可得出答案.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为.
由题意知：；.
.
所以椭圆的标准方程为.
（2）设双曲线的标准方程为.则
所以双曲线的标准方程为.
29．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知双曲线过点，且离心率为．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的基本量关系求解即可；
（2）解法1：先求得圆在点处的切线方程为，再代入双曲线方程化简可得，再设，根据韦达定理代入求得证明即可；
解法2：同解法1，联立直线与双曲线的方程得，再结合韦达定理计算可得证明即可.
（1）
由题意得：，故，故.
又过点可得，即，解得，则双曲线C的方程为
（2）
解法1：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，
化简得．
则直线l的方程为，代入双曲线C的方程，
变形为，
整理得等号两边同除以，
得到．
设，则，
故，即以为直径的圆过坐标原点．
解法2：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，化简得
由及得，
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
则，
，即以为直径的圆过坐标原点．
【点睛】本题主要考查了根据直线与双曲线的位置关系，证明圆过定点的问题，需要根据题意联立直线与双曲线的方程，代入韦达定理，利用斜率之积或向量之积证明直线垂直，进而证明定点在圆上.属于难题.
30．（2022·上海奉贤·二模）椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)
【分析】（1）先求得两点坐标，进而可得直线的方程，将点坐标代入该方程，解之即可求得点坐标；
（2）假设存在符合条件的点，列方程去求点坐标，再以点在椭圆内部去判别是否存在；
（3）先求得的表达式，再去求的值域，进而求得的取值范围．
(1)
由点和点在椭圆上
可得，，则直线方程为，
又点在直线上，则，解之得，则
(2)
椭圆的两焦点
假设存在一个点，满足，
则点一定在双曲线的左半支上，
由，可得
又，则，
又因为点在椭圆内部，所以，得
所以满足条件的点不存在．
(3)
两点、和在椭圆上，
点在椭圆内部，
则直线的方程为，
点到直线的距离
则，
同理直线的方程为，
点到直线的距离
则
令，则
由，可得，，，即
由，可得，，，即
综上，的取值范围为
则的取值范围为
31．（2023·全国·高三专题练习）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数的值；
(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；
（2）由点在直线上求得，根据到直线与等腰三角形底边上的高相等，列方程求参数m；
（3）设，，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得，，由向量的数量关系可得，根据对称点、三角形面积公式求面积.
（1）
由过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为，
所以，即，
则所求的双曲线的方程为.
（2）
因为直线过点，所以，
由得：等腰三角形底边上的高的大小为，
又到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，则，
即，则.
（3）
设，，
由得：，
则，，又，即，
则，，即，则，
又关于坐标原点的对称点为，
则.
则所求的面积为.
32．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，，是双曲线的左右顶点，，是该双曲线上关于轴对称的两点，直线与的交点为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设点，过点两条直线分别与轨迹交于点，和，．若，求直线的斜率．
【答案】(1)（，）
(2)
【分析】（1）依题意首先求出，的坐标，再设，，从而表示出、的方程，两式相乘即可得到动点的轨迹；
（2）设，，，，，即可得到与、与的关系，再代入椭圆方程可得，同理可得，两式作差即可得解．
(1)
解：由题知：，．设，，，则
则直线的方程：，直线的方程：，
两式相乘得：，即
所以点的轨迹的方程为（，）
(2)
解：设，，，．
设，则，即，
代入椭圆方程，得：
即，
即①
同理可得：②
由②①，得
所以
所以直线的斜率．
33．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据通径，直接求得，再结合离心率为2即可求双曲线的方程；
（2）通过对转化为，从而简化计算，利用韦达定理求解即可.
（1）
依题意，，当l垂直于x轴时，，
即，即，
解得，，因此；
（2）
设，联立双曲线方程，
得：，
当时，，
，
当时，设，
因为直线与双曲线右支相交，
因此，即，同理可得，
依题意，
同理可得，，
而，
代入，，
，
分离参数得，，
因为，
当时，由，
，
所以，
综上可知，的取值范围为.
34．（2022·广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)曲线上一点N，点A、B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到，根据双曲线的定义可得点的轨迹为以，为焦点，实轴长为8的双曲线，从而求出的轨迹方程；
（2）设，，，且，，根据，即可得到，再表示出、，设的倾斜角为，利用二倍角公式即同角三角函数的基本关系求出，再根据及对勾函数的性质计算可得；
(1)
解：依题意可得点与关于对称，则，
∴.
则点的轨迹为以，为焦点，实轴长为8的双曲线，
∴，，又，故，，，
所以双曲线方程为；
(2)
解：由题意知，，分别为双曲线：的渐近线，
设，，，且，，
由得，，
∴，.∴，
整理得，即
又，同理，
设的倾斜角为，
则.
∴
因为，易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，；
∴面积取值范围是.
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突破3.2 双曲线
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高二课时练习）经过点和的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西师大附中高二期中（理））已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为（ ）
A． B．6 C．7 D．8
4．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与的一条渐近线的一个交点为.若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖北武汉·高三开学考试）设双曲线的左右焦点为，过的直线与双曲线右支交两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高二课时练习）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知双曲线的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2022·全国·高二课时练习）经过点，的双曲线的方程是______.
9．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________.
10．（2022·黑龙江·佳木斯一中三模（理））若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为______.
11．（2022·全国·高三专题练习）点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率_______．
12．（2022·全国·高二课时练习）经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的焦点坐标是______．
13．（2022·全国·高二课时练习）以椭圆的焦点为焦点，以直线为渐近线的双曲线方程为______．
14．（2022·全国·高二课时练习）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线虚轴长为______．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，且离心率为，与双曲线的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的长轴长为______．
16．（2022·全国·高三专题练习）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例压缩后可近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为______．
17．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积暅相等，则它们的体积相等．已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______．
18．（2022·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
19．（2022·全国·高二课时练习）已知点P在双曲线上，若P，Q两点关于原点O对称，直线与圆相切于点M且，其中，分别为双曲线C的左、右焦点，则的面积为______．
20．（2022·全国·高三专题练习）如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，互为共轭双曲线，的焦点分别为，，顶点分别为，，的焦点分别为，，顶点分别为，，过四个焦点的圆的面积为，四边形的面积为，则的最大值为________.
21．（2022·全国·高二课时练习）设、是双曲线C：的左、右焦点，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B．若，则双曲线C的离心率为______．
B组 能力提升
22．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）（多选题）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的右焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的方程为
C．为定值 D．存在点，使得
23．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（ ）
A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率不相等
24．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）（多选题）已知曲线，则（ ）
A．当时，则的焦点是，
B．当时，则的渐近线方程为
C．当表示双曲线时，则的取值范围为
D．存在，使表示圆
25．（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则（ ）
A．
B．双曲线C的离心率为
C．直线倾斜角的取值范围为
D．若，则三角形的面积为2
26．（2022·福建·福州三中高二期末）（多选题）若P是双曲线C：上一点，C的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．渐近线方程为
C．的最小值是2 D．焦点到渐近线的距离是
27．（2022·新疆·新和县实验中学高二期末（文））求适合下列条件的圆锥曲线方程：
(1)焦点坐标为，短轴长为2的椭圆方程.
(2)焦点在x轴上，经过点的双曲线.
28．（2022·全国·高三专题练习）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率，焦点在x轴，且经过点的双曲线标准方程.
29．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知双曲线过点，且离心率为．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．
30．（2022·上海奉贤·二模）椭圆上有两点和，．点A关于椭圆中心的对称点为点，点在椭圆内部，是椭圆的左焦点，是椭圆的右焦点．
(1)若点在直线上，求点坐标；
(2)是否存在一个点，满足，若满足求出点坐标，若不存在请说明理由；
(3)设的面积为，的面积为，求的取值范围．
31．（2023·全国·高三专题练习）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线（）与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)当时，求实数的值；
(3)设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值.
32．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，，是双曲线的左右顶点，，是该双曲线上关于轴对称的两点，直线与的交点为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设点，过点两条直线分别与轨迹交于点，和，．若，求直线的斜率．
33．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
34．（2022·广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)曲线上一点N，点A、B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
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