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突破3.2 双曲线
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
考点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±xy＝±x
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
三、题型突破
重难点题型突破一 双曲线的定义及其轨迹方程的求法
例1．（1）、（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
（2）、（2022·全国·高二课时练习）若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支 B．圆
C．抛物线 D．双曲线
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个．
【变式训练1-2】、（2019·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破二 双曲线的简单几何性质
例2．（1）、（2021·全国高二单元测试）焦距为10，且的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
（2）、（2020·全国高二单元测试）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
（3）、（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）双曲线的虚轴长为___________.
（4）、（2022·江西·高三开学考试（文））双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】、（2022·全国·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为______．
【变式训练2-2】、（2021·全国高二课时练习）以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．
【变式训练2-3】．（2021·全国高二课时练习）焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
【变式训练2-4】、（2019·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
重难点题型突破三 求双曲线的标准方程
例3．（2022·全国·高二课时练习）（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为_____．
（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为_____．
（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为_____．
【变式训练3-1】．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点坐标为，且经过点；
(2)焦点在坐标轴上，经过点.
重难点题型突破四 双曲线的综合性质
例4．（1）、（2022·全国·高二课时练习）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（ ）
A． B． C． D．．
（2）．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则( )
A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为
C．PM平分 D．
【变式训练4-1】．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.
【变式训练4-2】、（2022·全国·高三专题练习）（多选题）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
重难点题型突破五 直线与双曲线的位置关系
例5．（2022·辽宁朝阳·高二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
例6．（2021·江苏省天一中学高二期末）已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．
重难点题型突破五 定点与定值问题
例7．（2022·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
例8．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
重难点题型突破六 范围与最值问题
例9．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，的最小值，，且满足．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值．
例10．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线，F是右焦点，O是坐标原点．
(1)若过和F的直线与C的一条渐近线垂直，求C离心率e的值；
(2)若直线l过F且交双曲线右支于A，B两点，已知的最大值为，求当取得最大时直线l的方程．
四、课堂训练
1．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则实数m满足（ ）
A．m≠1且m≠－3 B．m＞1
C．或 D．－3＜m＜1
2．（2020·湖南·新邵县教研室高二期末）双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南益阳·模拟预测）（多选题）已知双曲线经过点，则（ ）
A．的实轴长为 B．的焦距为
C．的离心率为 D．的渐近线方程是
4．（2022·河北邯郸·高三开学考试）（多选题）已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为为上一点，则（ ）
A．双曲线的实轴长为2
B．双曲线的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线的焦距为4
5．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是________.
6．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______．
7．（2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试（文））求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)焦点轴上，且过点，.
8．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若分别是的左 右顶点，过的直线与交于两点（不同于）.记直线的斜率分别为，请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
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突破3.2 双曲线
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
考点二 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±xy＝±x
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
三、题型突破
重难点题型突破一 双曲线的定义及其轨迹方程的求法
例1．（1）、（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【答案】.
【分析】
由题意可得|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|，利用双曲线的定义即可求解.
【详解】
圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
故动圆圆心M的轨迹方程为.
（2）、（2022·全国·高二课时练习）若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支 B．圆
C．抛物线 D．双曲线
【答案】A
【分析】由圆与圆的位置关系以及双曲线的定义求解即可
【详解】设动圆的圆心为M，半径为r，
圆与圆的圆心分别为和圆，
易得圆和圆的半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得，．
∴，又，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支．
故选：A
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中所有可能的结果有______个．
【答案】4
【分析】根据给定条件，按点A在圆外、圆内、圆心、圆上并结合圆锥曲线的定义及圆的性质进行分析，判断作答.
【详解】当点A在圆M外时，连接QA，因点Q在线段PA的中垂线上，如图，
则，有，
因此点Q的轨迹是以点M，A为两焦点，实轴长为4的双曲线；
当点A在圆M内（除圆心M外）时，连接QA，因点Q在线段PA的中垂线上，如图，
则，有，
因此点Q的轨迹是以点M，A为两焦点，长轴长为4的椭圆；
当点A与圆心M重合时，有PM与PA重合，则线段PA的中垂线与PM交点Q是线段PM中点，即，
因此点Q的轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆；
当点A在圆M上时，圆M上点P与A不重合，弦PA的中垂线过圆心M，即线段PA的中垂线与PM交点Q是点M，
因此点Q的轨迹是点M，
所以所有可能的结果有4个.
故答案为：4
【变式训练1-2】、（2019·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点，动圆C与直线相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由给定条件分析探求出点P所满足的关系，再结合圆锥曲线的定义即可作答.
【详解】
设直线PM，PN与圆C相切的切点分别为点Q，T，如图，
由切线长定理知，MB=MQ，PQ=PT，NB=NT，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，
则点P的轨迹是以M，N为左右焦点，实轴长2a=2的双曲线右支，虚半轴长b有，
所以点P的轨迹方程为.
故选：A
重难点题型突破二 双曲线的简单几何性质
例2．（1）、（2021·全国高二单元测试）焦距为10，且的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】
根据双曲线的性质即可求解.
【详解】
由题意知2c＝10，c＝5，又，c2＝b2＋a2，
∴a2＝9，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为或．
故选：D．
（2）、（2020·全国高二单元测试）焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意求解出渐近线方程为，根据焦点坐标判断出所求双曲线的焦点在轴，所以得，再根据以及，求解出.
【详解】
双曲线中，，所以渐近线方程为，所以所求双曲线的方程中，，，所以，则双曲线方程为.
故选：B.
（3）、（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）双曲线的虚轴长为___________.
【答案】
【分析】由双曲线方程直接求解即可．
【详解】双曲线的虚轴长为
故答案为：
（4）、（2022·江西·高三开学考试（文））双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的标准方程即得解.
【详解】解：由题意知，，所以双曲线的标准方程为，
双曲线的渐近线方程为，即.
故选：D．
【变式训练2-1】、（2022·全国·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为______．
【答案】
【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解．
【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，
即，解得或（舍去），
故所求双曲线方程为．
故答案为：
【变式训练2-2】、（2021·全国高二课时练习）以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．
【答案】－＝1
【分析】
由已知得双曲线的焦点在x轴上，且c＝2，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，代入已知点，解之可得答案.
【详解】
由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
故答案： －＝1.
【变式训练2-3】．（2021·全国高二课时练习）焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
【答案】
【分析】
设出双曲线的标准方程，代入点求出即可求解.
【详解】
设双曲线方程为，
将点(4，－2)和 代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
【变式训练2-4】、（2019·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线离心率表达式，代入数据解出值即可.
【详解】由已知可得，∴，渐近线方程为.
故选：D.
重难点题型突破三 求双曲线的标准方程
例3．（2022·全国·高二课时练习）（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为_____．
（2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为_____．
（3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为_____．
【答案】
【分析】（1）讨论双曲线的焦点在轴还是在轴上，设出双曲线的方程，即可列出等式解出答案.
（2）由渐近线即可设出双曲线的方程，将点坐标代入即可解出答案.
（3）由共渐近线，直接设出双曲线的方程，将点点坐标代入即可解出答案.
【详解】（1）由，设，则，．
设所求双曲线的方程为①或②，
把代入①，得，与矛盾，舍去；
把代入②，得．
∴所求双曲线的标准方程为．
（2）由渐近线方程，可设所求双曲线的方程为①，
将点的坐标代入①式，得，
∴所求双曲线的标准方程为．
（3）设所求双曲线的方程为，
点在双曲线上，
∴，即，
∴双曲线的标准方程为．
故答案为：；；.
【点睛】与双曲线有共同渐近线的双曲线系方程可设为
或
【变式训练3-1】．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（文））求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点坐标为，且经过点；
(2)焦点在坐标轴上，经过点.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.
（2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.
(1)
因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，
则有
，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，
所以所求双曲线的标准方程为.
(2)
依题意，设双曲线的方程为：，
于是得，解得：，
所以所求双曲线的标准方程为.
重难点题型突破四 双曲线的综合性质
例4．（1）、（2022·全国·高二课时练习）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则，勾股定理求m，应用和角余弦公式求的大小.
【详解】由得：，，．
设，则．
所以，解得（舍去），
所以，，
，
所以．
故选：D．
（2）．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则( )
A．C的离心率为2 B．C的渐近线方程为
C．PM平分 D．
【答案】ACD
【分析】在直角三角形中，利用列出关于a、b、c的齐次式求出离心率，从而判断A；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B；根据是否相等即可判断PM是否平分，从而判断C；根据、的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用表示，从而判断D.
【详解】由可知，由得，，
即，即，即，∴，故A正确；
由，∴双曲线渐近线为，故B错误；
由，﹒则，，
∴；∵，，∴，
∴，∴根据角平分线的性质可知PM平分，故C正确；
，，
，故D正确；
故选：ACD．
【点睛】本题主要考察与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a、b、c的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系.
【变式训练4-1】．（2020·全国高二课时练习）已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.
【答案】10
【分析】
由条件可知：且，从而求出的值，从而求出双曲线方程，则可设直线的方程，联立直线与双曲线，利用弦长公式即可求出弦长的值.
【详解】
∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴
∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，
消可得，∴，，
∴．
故答案为：10.
【点睛】
结论点睛：（1）双曲线方程为时，渐近线方程为；
（2）双曲线方程为时，渐近线方程为；
（3）弦长公式为.
【变式训练4-2】、（2022·全国·高三专题练习）（多选题）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．当n过时，光由所经过的路程为13
C．射线n所在直线的斜率为k，则
D．若，直线PT与C相切，则
【答案】CD
【分析】对于A：判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为.利用相切解得，进而求出.即可求出.
【详解】对于A：若，则.
因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：
二者联立解得：.故A错误；
对于B：光由所经过的路程为.
故B错误；
对于C：双曲线的方程为.设左、右顶点分别为A、B.如图示：
当与同向共线时，的方向为，此时k=0，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.
故C正确.
对于D：设直线PT的方程为.
，消去y可得：.
其中，即，解得
代入，有，解得：x=9.
由P在双曲线右支上，即，解得：（舍去），所以.
所以.
故D正确
故选：CD
重难点题型突破五 直线与双曲线的位置关系
例5．（2022·辽宁朝阳·高二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设点，然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程，
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可求出的坐标，从而可得与不垂直，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程代入曲线的方程消去，整理后利用根与系数的关系，再由，得，化简计算可求出直线的斜率，从而可得直线方程
(1)
设点，由题意得，
式子左右同时平方，并化简得，.
所以曲线的方程为.
(2)
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与曲线的交点坐标为.
所以与不垂直，即，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得
由和，得.
，
因为，所以.
所以，
解得
所以直线的方程为，
即或.
例6．（2021·江苏省天一中学高二期末）已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在点使得的平分线与轴或轴垂直.
【分析】
（1）由已知得，渐近线为，利用点到直线的距离公式列方程即可求得，进而可得双曲线的方程；
（2）假设存在满足题意，可得，设设，，直线
与双曲线方程联立，消去可得关于的二次方程，得出、代入即可求解.
【详解】
（1）由题意可得：，所以双曲线
所以渐近线方程为，
设，则，即，
因为在双曲线上，所以，即，
所以，解得：，
所以双曲线的方程为：
（2）假设存在，使得的平分线与轴或轴垂直，则可得，
，设，，直线，
由可得：，
所以，，
所以，
即恒成立，
整理可得：，
所以
即，
所以，
所以，解得，
所以存在点使得的平分线与轴或轴垂直.
【点睛】
思路点睛：圆锥曲线中求是否存在满足条件的定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.
重难点题型突破五 定点与定值问题
例7．（2022·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）根据题意列出方程组，求得a,b，可得答案;
（2）分类讨论直线AB的斜率是否存在的情况，斜率存在，设出直线方程并联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出，结合根与系数的关系化简，可得参数之间的关系式，结合直线方程，求得答案.
（1）
由题意点在双曲线上，离心率
可得； ，解出，，
所以，双曲线的方程是
（2）
①当直线的斜率不存在时，则可设，
代入，得，
则，
即，解得或，
当时，，其中一个与点重合，不合题意；
当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，
整理得，，设，
则，
由，
所以
所以，，
即,
整理得，
即，
所以或，
若，则，直线化为，过定点；
若，则，直线化为，它过点，舍去
综上，直线恒过定点
另解：
设直线的方程为①，
双曲线的方程可化为，
即②，
由①②可得，
整理可得，
两边同时除以，
整理得③，
，
则是方程③的两个不同的根，
所以，即④，
由①④可得 ，解得，
故直线恒过定点.
【点睛】本题考查了双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交时直线过定点的问题，综合性较强，计算量大，解答时要明确解题思路，注意分类讨论，解答的关键是利用联立方程得到根与系数的关系，并利用该关系式化简得到参数之间的关系，从而解决直线过定点问题.
例8．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
【答案】(1)1；(2)证明见解析.
【分析】（1）求出双曲线C的渐近线方程，再利用给定条件列式计算作答.
（2）设出直线l与x轴的交点坐标及直线l的方程，与双曲线C的方程联立，借助韦达定理及向量共线求解作答.
（1）
双曲线的渐近线方程为，则不妨令点，
，而点O到直线AB的距离为m，因此，解得，
所以．
（2）
由（1）知，双曲线C的方程为，右焦点，
因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点，直线l的方程为，
设，则，由消去y并整理得，
显然有且，化简得且，
则，，
而，F，N三点共线，即，则，
因此，又，有，
整理得，于是得，化简得，
即直线：，过定点，
所以直线l经过x轴上的一个定点．
【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
重难点题型突破六 范围与最值问题
例9．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，的最小值，，且满足．
(1)求双曲线的离心率；
(2)若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值．
【答案】(1)2
(2)．
【分析】（1）由双曲线的性质知，，利用化简可得双曲线的离心率；
（2）当时，双曲线的方程为，设出直线的方程，与双曲线方程联立，消去并写出韦达定理，表示出弦长，并由线段的垂直平分线的方程得出点的坐标，进而把表示成关于的式子，利用基本不等式求出最小值．
（1）
由题意知，．由双曲线的性质知，，∴，∴，故双曲线的离心率．
（2）
当时，，．∴双曲线的方程为，．
由题知直线的斜率存在，设为，则，直线的方程为．
联立消去并整理，得．
设，，则，，
∴．
又∵，线段的中点的坐标为，
∴线段的垂直平分线的方程为．令，得，
∴点的坐标为，∴，∴，
当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为．
例10．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线，F是右焦点，O是坐标原点．
(1)若过和F的直线与C的一条渐近线垂直，求C离心率e的值；
(2)若直线l过F且交双曲线右支于A，B两点，已知的最大值为，求当取得最大时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用垂直时斜率乘积为-1即可.
（2）联立直线与双曲线，计算出的正切值，利用基本不等式计算出的最大值即可.
（1）
由题意可知，
的渐近线方程为，
直线的斜率为，则 ，即 ，
即 ，解得 ，故 ，
所以C离心率e的值为；
（2）
设直线l的方程为 ，联立，
可得.
不妨设A在第一象限，且A（，），B（，），则
，.
所以，
化简可得，.
由题意，，所以.另外，显然，.
所以，.
所以，.此时，.
即直线l的方程为： .
【点睛】直线与圆锥曲线相关问题，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理，设而不求，进行整体代换.
四、课堂训练
1．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示双曲线，则实数m满足（ ）
A．m≠1且m≠－3 B．m＞1
C．或 D．－3＜m＜1
【答案】C
【分析】方程表示双曲线等价于，即可列出不等式，即可解出答案.
【详解】因为方程表示双曲线，而恒成立，
所以，解得或，
故选：C．
2．（2020·湖南·新邵县教研室高二期末）双曲线的右焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先将双曲线方程化为标准式，再根据求出，即可得到双曲线方程，从而求出渐近线方程；
【详解】解：双曲线，即的右焦点坐标为，
所以，解得，所以双曲线方程为，
则双曲线的渐近线为；
故选：C
3．（2022·湖南益阳·模拟预测）（多选题）已知双曲线经过点，则（ ）
A．的实轴长为 B．的焦距为
C．的离心率为 D．的渐近线方程是
【答案】BC
【分析】根据双曲线经过点,可得双曲线标准方程，根据双曲线的简单几何性质即可逐一判断.
【详解】由题意得，得即双曲线方程为．
所以，双曲线的实轴长是，焦距是，离心率为，渐近线方程是
故BC正确，AD错误，
故选：BC
4．（2022·河北邯郸·高三开学考试）（多选题）已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为为上一点，则（ ）
A．双曲线的实轴长为2
B．双曲线的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线的焦距为4
【答案】ABD
【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解.
【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故，
实半轴长为1，实轴长为，A正确；
因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；
由于可能在的不同分支上，则有，C错误；
焦距为正确.
故选：ABD.
5．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是________.
【答案】
【分析】先求出双曲线的焦点，可得椭圆有焦点，再由，结合，求出，从而可求得椭圆方程.
【详解】双曲线的焦点在轴上，且焦点为，
所以椭圆的焦点在轴上，且，
依题意，椭圆短半轴，则，
所以椭圆的方程为.
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______．
【答案】
【分析】利用动圆与圆内切于点，，可得的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，即可求动圆的圆心的轨迹方程．
【详解】解：圆的方程为，圆心为，半径．
设动圆圆心为，
动圆与圆内切于点，
，
的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，其中，得，
而，，
故所求轨迹方程为．
故答案为：
7．（2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试（文））求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)焦点轴上，且过点，.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】(1)根据双曲线焦点在x轴和y轴上进行讨论即可求解；
(2)可设双曲线方程为，代入两个点的坐标即可求解．
（1）
当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为，
将代入，得．
又点在双曲线上，
有，由此得，不合题意，舍去．
当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为0)，
∵a=4，故，
把点坐标代入，得，解得．
故所求双曲线方程为．
（2）
设双曲线方程为，将已知点坐标代入，
得，解得．
∴所求方程为．
8．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若分别是的左 右顶点，过的直线与交于两点（不同于）.记直线的斜率分别为，请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，定值为
【分析】（1）根据点到线的距离公式，结合椭圆基本量的关系求解可得，进而求得双曲线的方程即可；
（2）设直线的方程为，点，点，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理化简即可.
（1）
设的半焦距为，由题意可知，又，
双曲线的一条渐近线方程为，则，
故，所以，所以双曲线的方程为.
（2）
由（1）可知.
设直线的方程为，点，点，则.
由得，
所以.
，
所以.
又，
所以
综上，为定值，且.
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