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突破3.3 抛物线
A组 基础巩固
1．（2021·上海市行知中学高三开学考试）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．直线
C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确
【答案】C
【分析】根据题意，分定点不在定直线上和定点在定直线上，两种情况分类讨论，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，
可得该动点到定点和定直线距离相等，
当定点不在定直线上时，动点的轨迹是抛物线；
当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线；
故选C．
2．（2022·陕西渭南·高一期末）设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
【答案】A
【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹.
【详解】解：
设的坐标为，圆的半径为圆的圆心为，
圆与圆外切，与直线相切
，到直线的距离
，即动点到定点的距离等于到定直线的距离
由抛物线的定义知：的轨迹为抛物线.
故选：A
3．（2022·安徽蚌埠·一模）已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【分析】设直线的倾斜角为，用表示出，再应用基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】抛物线，焦点，
设直线的倾斜角为，得：，则，
.
当且仅当时等号成立.
故选：D
4．（2022·四川资阳·高二期末（文））抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】计算准线方程得到，解得答案.
【详解】抛物线的准线方程为，设点的横坐标为，
到焦点的距离等于，故.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
6．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（理））已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到轴的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式即可求解.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，
设点，，
由抛物线的定义可得，
即，则中点的纵坐标为，
即的中点到轴的距离为，
故选：.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】设焦点为，到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得，故将变为,求得答案.
【详解】设焦点为，到准线的距离为，则，
所以，
当且仅当P,M,F三点共线时取等号，
故选：A．
8．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（理））已知平面内定点S到定直线l的距离为2，点M是直线l上的一个动点，过点M且与l垂直的直线为，过点S且与l垂直的直线为，线段MS的垂直平分线与相交于点P，点P的轨迹与相交于点A，过点P向直线做垂线，垂足为N（不与P重合），则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由题可得，P点轨迹为以点S为焦点，直线l为准线的抛物线，即可建立坐标系求解
【详解】由题，线段MS的垂直平分线与相交于点P，故，故P点轨迹为以点S为焦点，直线l为准线的抛物线，以为x轴，A为原点建立如图所示坐标系，则易得P点轨迹为：，则，
故选：D
9．（2022·四川·模拟预测（文））如图，抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点D，O为坐标原点，P是抛物线上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点作交轴于点，过点作垂直准线于点，在三角形中，设，则，代入即可得出答案.
【详解】过点作交轴于点，过点作垂直准线于点，由抛物线的定义知：，在三角形中，设，， ，所以.
故选：D.
10．（2022·安徽淮南·二模（理））抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，若的面积是，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义，结合条件，可得的形状，进而可得三角形的边长，进而可得.
【详解】根据抛物线的定义可知，，又，，
故是等边三角形，又的面积是，
故可得，
故.
故选：B.
11．（2021·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（文））如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有，再将目标式转化为，应用基本不等式“1”的代换求最值即可，注意等号成立条件.
【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：，则焦点F(2,0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则，
圆C2：圆心为(2,0)，半径1，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为13.
故选：D
【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到，并将目标式转化为，结合基本不等式求最值.
12．（2022·四川攀枝花·三模（理））设抛物线的顶点为坐标原点O，焦点，若该抛物线上两点A，B的横坐标之和为6，当弦的长度最大时，的面积为（ ）．
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】由题可得，进而可得的最大值，可设，利用韦达定理可得，再利用面积公式即得.
【详解】由于抛物线焦点为，
故抛物线的标准方程为.
设，则，，
而，即，
故的最大值为，
此时可设直线，
由，可得，
∴，即，
又原点到直线直线的距离，
∴的面积为.
故选：C.
13．（2022·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线的渐近线与抛物线的准线分别交于两点，若抛物线的焦点为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】双曲线的渐近线方程为，与抛物线的准线方程联立，求出两点的坐标，由，得，结合计算得解.
【详解】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程为，
又的准线方程是，
两点的纵坐标分别是，
不妨设在上方，则，，，
，，
又，，即，，，.
故选：D.
14．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为________.
【答案】
【分析】设抛物线方程为，代入点求出即可得抛物线方程.
【详解】依题意，设抛物线方程为，于是得，解得，
所以所求抛物线方程是.
故答案为: .
15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________.
【答案】
【分析】求出抛物线的焦点，根据可求的值，从而可求渐近线方程.
【详解】∵抛物线的焦点是（2，0），∴，，∴，
∴．所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为: .
16．（2022·河北邯郸·高三开学考试）若抛物线的准线与圆相切，则___________.
【答案】或0
【分析】先求得抛物线的准线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得.
【详解】抛物线的准线方程为，
圆的圆心为，半径，
由于圆与准线相切，
所以，
解得或0.
故答案为：或0
17．（2022·全国·高二课时练习）与抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是______．
【答案】
【分析】由题意可知抛物线的焦点为，只需求出关于直线对称的点即可.
【详解】解：因为抛物线的焦点为，
设点关于直线对称的点为，
则有，解得，
所以点关于直线对称的点为.
故答案为：.
18．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．
【答案】
【分析】设坐标和直线AB的方程，让直线AB方程与抛物线进行联立可得，，接着利用弦长公式求出，再求出点到直线AB的距离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案
【详解】由抛物线可得焦点，准线方程为，，
设，，直线AB的方程为，
由，可得，则，，
所以，
直线AB的一般方程为，
点到直线AB的距离，
所以，
所以的面积S的取值范围为，
故答案为：
19．（2022·安徽·高三开学考试）已知抛物线的焦点为，圆，过的直线与交于两点，与 交于 两点，且在同一象限，则的最小值为_____．
【答案】12
【分析】设直线，联立抛物线方程可得到，利用焦半径公式化简，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】抛物线的焦点为以为圆心以3为半径，
由题意可知直线l不与y轴垂直，设直线，联立，
得，．
设，则，
∴，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为12，
故答案为：12
20．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】首先求得抛物线方程，结合四边形的图形特点，列出四边形的面积公式，并表示，根据焦半径公式，求得焦半径的范围，即可求得的取值范围.
【详解】解：由题意知,圆的圆心为，半径，抛物线方程，
四边形的面积，
又，所以，
由抛物线定义，得，又，所以，
所以，所以.
故答案为：.
21．（2022·湖南·模拟预测）设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，AF与BC相交于点D．若，则△ACD的面积为______．
【答案】##
【分析】根据抛物线的定义可得四边形ABCD为平行四边形，结合平行四边形性质可逐步求解.
【详解】如图所示，由已知，．得．因为轴，，又，所以四边形ABCD为平行四边形，且，所以，解得，代入得，所以．
故答案为：.
22．（2022·全国·高三专题练习）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则______．
【答案】
【分析】由抛物线的对称性得，然后再利用抛物线定义列式计算得，，从而代入计算.
【详解】如图所示，延长BF交抛物线C于点，由题意，，
由抛物线的对称性可得，，又因为，
，
所以，解得．
故答案为：.
【点睛】在抛物线中，若过焦点的直线的倾斜角为，则弦长.
23．（2022·北京四中高三开学考试）已知抛物线，点A为第一象限内C上一点．抛物线C的焦点F关于原点的对称点为K．过A作抛物线C准线的垂线，垂足为B．若直线的斜率为，四边形的面积为，则______．
【答案】2
【分析】设出A点坐标，利用四边形ABKF的面积及直线FA的斜率列出方程，求出.
【详解】，，则，设，则，由题意得：①，且②，解得：或，
由②得：，故不成立，舍去，
把代入①得：
故答案为：2
B组 能力提升
24．（2022·河北廊坊·高三开学考试）（多选题）已知抛物线：的焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于A，两点（与均不重合），以线段为直径的圆过原点，则与的面积之和可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由条件求出抛物线的方程，设直线的方程，利用设而不求法表示与的面积之和，由此确定其范围，并确定正确选项.
【详解】因为抛物线：的焦点为，
所以，所以，
所以抛物线的方程为，
若直线的斜率为0，则直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾，
所以直线的斜率不为，所以可设直线的方程为，
联立可得，
由已知方程的判别式，
设，，则，，
因为以线段为直径的圆过原点，所以,
所以，所以，
所以或，
当时，由可得或与条件相矛盾，
所以，所以，，
设直线与轴的交点为，则
的面积，
所以的面积，
的面积，
当，则与的面积之和，
又，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当且仅当时等号成立；
当，则与的面积之和，
又，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，当且仅当时等号成立；
又，，，
所以与的面积之和可能为18或，
故选：BC.
25．（2022·江苏南通·高三开学考试）（多选题）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
【答案】BCD
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.
【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
26．（2022·江苏南京·高三阶段练习）（多选题）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （ ）
A．点的轨迹为抛物线
B．圆面积最小值为
C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为
D．存在点，使得，其中为坐标原点
【答案】ACD
【分析】由抛物线定义可知A正确；由抛物线性质可知当为坐标原点时，圆面积最小，可知B错误；设，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得圆的半径，知C正确；设存在点，由可求得点坐标，知D正确.
【详解】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确；
对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误；
对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：，
圆的半径，C正确；
对于D，假设存在点，使得，
设，则，整理可得：，
解得：，，或，D正确.
故选：ACD.
27．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线的方程是 B．的最大值为2
C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切
【答案】ACD
【分析】根据抛物线方程，直接求准线方程，判断A；根据三角形三边关系，判断B；根据抛物线的定义，转化为点到焦点的距离，利用数形结合判断C；根据直线与圆相切的定义，判断D.
【详解】由题意得，则焦点，准线的方程是，A正确；
，当点在线段的延长线上时等号成立，所以的最大值为，B错误；
如图所示，过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，，则，当点在线段上时等号成立，所以的最小值为5，C正确；
设点，线段的中点为，则，所以以线段为直径的圆与轴相切，D正确，
故选：ACD.
28．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（ ）
A．是等边三角形 B．
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
【答案】ACD
【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义可推出为等边三角形，判断A；确定的边长，根据其面积求得p，即可判断BCD.
【详解】根据题意作图，如图所示:
因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，
又，故，A在抛物线上，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
因为，则轴，过作于点，则点为的中点，
点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，
所以，解得，
则，故B错误；
焦点到准线的距离为，故C正确；
抛物线的方程为，故D正确．
故选：ACD．
29．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）（多选题）已知抛物线上的动点到焦点的距离最小值是3，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．满足条件的直线有2条
C．焦点到直线的距离为2或或
D．
【答案】CD
【分析】由题设可得即可得抛物线方程，设过P的直线方程并联立抛物线得到一元二次方程，由求切线方程，结合点与抛物线位置判断交点只有一个的直线条数，再由点线距离公式求到直线的距离，写出的方程弦长公式求.
【详解】由题设知：，则，故且，A错误；
因为在外，令过P的直线与相切，
所以，若，可得或，
故、与相切，又与只有一个交点，
所以过与有且仅有一个公共点的直线共有三条，B错误；
对于，到直线的距离；
对于，到直线的距离；
对于，到直线的距离，C正确；
由题设，为，联立，可得，
则，故，D正确.
故选：CD
30．（2022·浙江·高三开学考试）（多选题）已知抛物线上的四点，，，，直线，是圆的两条切线，直线、与圆分别切于点、，则下列说法正确的有（ ）
A．当劣弧的弧长最短时， B．当劣弧的弧长最短时，
C．直线的方程为 D．直线的方程为
【答案】BD
【分析】对于AB选项，当劣弧最短时，即最小，最大，最小，根据二倍角公式及三角函数可得，设点，求的最小值即可得解；对于CD选项，根据相切可得直线与的方程，进而可得点与点的坐标，即可得直线.
【详解】由已知得抛物线过点，即，所以，
即抛物线为，
对于AB选项，如图所示，
设点当劣弧的弧长最短时，最小，
又，所以最大，即最小，
又，
又圆，所以圆心，半径，
，
又，
所以当时，取最小值为，此时最小为，
所以A选项错误，B选项正确；
对于CD选项，设过点作圆切线的方程为，即，
所以，解得，
则直线的方程为：，即，
直线的方程为：，即，
联立直线与抛物线，得，
故，，，
同理可得，
所以，
直线的方程为，即，所以C选项错误，D选项正确；
故选：BD.
31．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离
【答案】AB
【分析】由抛物线的定义可知曲线的轨迹是抛物线，进而可判断A,根据抛物线的性质可判断B,C,D.
【详解】由题意可知：动点到定点与它到定直线：的距离相等，
由抛物线定义，知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，所以A，B正确；由知，点到直线的距离，所以C，D错误．
故选：AB．
32．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）（多选题）已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．若为抛物线上的点，则
【答案】ABC
【分析】圆锥曲线问题，要结合图形进行分析，利用直线与抛物线方程联立，进行求解，利用抛物线的焦半径的相关结论求解.
【详解】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与联立整理可得：
3x2﹣20x+12=0，解得：x或6，则P（6，4），Q（，）；
所以|PQ|=64，选项A正确；
因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2），（，），
所以A（0，），B（0，），所以|AB|=2，
选项B正确；
如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，
|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；
对于选项D，若为抛物线上的点，则，又，
所以，选项D错误.
故选：ABC.
33．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，，则（ ）
A．的准线方程为
B．若，则
C．若，则的斜率为
D．过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的几何意义求出，即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断A、B、D，设，，，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据焦半径公式计算即可判断C；
【详解】解：因为抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，所以，
所以抛物线方程为，则焦点，准线为，故A错误；
若，则，所以，所以，故B正确；
可设，，，，
直线的方程为，与抛物线联立，
消去，可得，
可得，，
由抛物线的定义可得
即，即，
解得，则直线的斜率为，故C正确；
对于D，若轴平分，则，又轴，
所以，所以，
所以，即，所以，故D正确；
故选：BCD
34．（2022·全国·高二）（多选题）已知抛物线C：，圆F：（F为圆心），点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．当最大时， D．当最小时，
【答案】AC
【分析】确定出抛物线C的焦点坐标，圆F的圆心和半径，分析、计算判断A，B；数形结合，计算判断C，D作答.
【详解】抛物线C：的焦点，圆F：的圆心，半径，
对于A，的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，的最小值是，A正确；
对于B，设，则，，
当时，，当时，
当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是，B不正确；
对于C，如图所示，要使最大，当且仅当AQ与圆F相切，AP与抛物线C相切，且P，Q在x轴两侧，
所以当最大时，，C正确；
对于D，因的最小值为，即P，A，Q共线，则当最小时，即，D不正确.
故选：AC
【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心的距离加或减圆半径求解.
35．（2019·四川·高三学业考试）已知抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设抛物线的焦点为，坐标原点为.过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入抛物线，即可求出的值，即可得到抛物线的标准方程；
（2）由题意即可写出直线的方程，联立直线与抛物线，结合韦达定理与弦长公式即可求出，利用点到直线的距离公式，即可求出点到边上的高，即可求出其面积.
（1）
因为抛物线过点，
所以，
所以抛物线；
（2）
由题意知：直线的斜率，，
所以直线方程为：，
联立直线与抛物线：消得：，
设，则，
则，
点到直线的距离，
所以.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线经过点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，依题意可得，即可求出、，从而得到椭圆方程；
（2）设直线方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由可得，即可消去得到方程，求出，即可得解.
（1）
解：设椭圆的标准方程为，
抛物线的焦点为，
依题意，解得．
∴椭圆的标准方程为．
（2）
解：由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，
则由，消去整理得，且．
设，，∴，
由得，
∴消去得，解得 ，，
所以直线的方程为，即或．
37．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．
【答案】(1)；
(2)详见解析.
【分析】（1）由题可得，进而可得，即得；
（2）利用韦达定理法，利用斜率互为相反数得与的一次关系即得.
（1）
由，可得，
∴，又离心率为，
∴，，
∴椭圆C的方程为.
（2）
设，
由，可得，
∴，可得，
，
由直线与关于轴对称，
∴，即，
∴，
即，
∴，
可得，
所以直线方程为，恒过定点.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）设出，由焦半径得到方程，求出，进而求出抛物线方程；
（2）设出直线方程，表达出P，Q两点坐标，用两点间距离公式表达出，利用基本不等式求出最小值.
（1）
依题意，设．
由抛物线的定义得，解得：，
因为在抛物线上，
所以，所以，解得：．
故抛物线的方程为．
（2）
由题意可知，直线的斜率存在，且不为0．
设直线的方程为，，．
联立，整理得：，
则，从而．
因为是弦的中点，所以，
同理可得．
则
，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为8．
【点睛】圆锥曲线与直线相交问题，一般设出直线方程，联立后得到两根之和，两根之积，结合题目条件列出方程，或表达出弦长，常常结合基本不等式或二次函数等进行求解.
39．（2022·上海市控江中学高二期末）如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为.
(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）待定系数法求解抛物线方程；（2）设出直线方程，联立后得到A点纵坐标，同理得到B点纵坐标，从而求出直线AB的斜率；（3）在前两问基础上用斜率k表达出，换元后使用基本不等式求出最大值.
（1）
将点代入抛物线方程可得：，抛物线
（2）
设，与抛物线方程联立可得：
，∴，用代k可得：
因此，，即.
（3）
由（1）可知，，，
因此
到直线AB的距离.
∵
∴
，令，由得
∴
当且仅当时取等号.
的最大值为.
【点睛】求解抛物线取值范围问题，把要求解的问题转化为单元问题，常使用的工具有换元，基本不等式，或导函数.
40．（2022·浙江·镇海中学高三期末）如图，已知点是抛物线上位于第一象限的点，点，点是轴上的两个动点(点位于轴上方)， 满足，线段分别交轴正半轴、抛物线于点，射线交轴正半轴于点
(1)若四边形ANPM为矩形，求点的坐标；
(2)记的面积分别为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据矩形性质，可得对角线互相平分，即的中点在轴上，然后点在抛物线，即可得；
（2）联立直线方程与抛物线，根据韦达定理求得两点的纵坐标关系，再根据条件判断与相似，进而求得两点的坐标关系，再表示并化简为关于的函数，根据两点的位置关系，以线段为直径的圆与抛物线有交点得出关于的约束，即可确定中取值范围，最后可得
(1)
当四边形为矩形时，
的中点在轴上，则有：
故-
(2)
设点，直线方程：，
显然有
联立直线与抛物线，得：
消去得：
则有：
由，得：
又由，可得：△∽△
则有：
从而，即
所以，进而有：
结合（注：由，得，故有）
可得：
又由题意知，存在抛物线上的点满足条件，即以线段为直径的圆与抛物线有
交点，且易得圆方程：
联立抛物线与圆，得
消去得：
由，结合，可解得：
令，求导可知在上单调递增
又
故有：在上单调递增
因此，
【点睛】解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；在求解相关最值问题时，通常是先建立目标函数，然后应用函数的知识来解决问题；
41．（2022·浙江宁波·高三期末）已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：；
(3)当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据焦点坐标求出，进而求出抛物线方程；（2）表示出点M的坐标，代入抛物线方程后得到关于的等量关系，同理求出关于的等量关系，用韦达定理证明出结论；（3）在第二问的基础上，表达出面积，并求出取值范围.
(1)
因为，所以，所以抛物线的方程为；
(2)
由知，点M的坐标为
又点M在抛物线上，所以，
结合整理得：
同理，可得
所以 是关于y的方程的两个不相等的根
故；
(3)
由（2）知 是方程的两个不相等的实根
又，所以
所以，，设AB的中点为Q，
则，
于是
故的面积的取值范围为.
【点睛】抛物线的综合题目，往往会设出抛物线上的点的坐标，利用条件得到方程组，再把两个点的坐标看成一个方程的两个根，利用韦达定理进行求解，这也是与椭圆和双曲线不同的地方.
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突破3.3 抛物线
A组 基础巩固
1．（2021·上海市行知中学高三开学考试）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．直线
C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确
2．（2022·陕西渭南·高一期末）设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
3．（2022·安徽蚌埠·一模）已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
4．（2022·四川资阳·高二期末（文））抛物线上一点P和焦点F的距离等于6，则点P的横坐标（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（理））已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到轴的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．（2022·全国·高三专题练习）已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
8．（2022·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（理））已知平面内定点S到定直线l的距离为2，点M是直线l上的一个动点，过点M且与l垂直的直线为，过点S且与l垂直的直线为，线段MS的垂直平分线与相交于点P，点P的轨迹与相交于点A，过点P向直线做垂线，垂足为N（不与P重合），则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·四川·模拟预测（文））如图，抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点D，O为坐标原点，P是抛物线上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·安徽淮南·二模（理））抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，，垂足为K，若的面积是，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
11．（2021·四川·攀枝花市第三高级中学校高二阶段练习（文））如图所示，已知抛物线过点，圆. 过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·四川攀枝花·三模（理））设抛物线的顶点为坐标原点O，焦点，若该抛物线上两点A，B的横坐标之和为6，当弦的长度最大时，的面积为（ ）．
A． B．4 C． D．2
13．（2022·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线的渐近线与抛物线的准线分别交于两点，若抛物线的焦点为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
14．（2022·全国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点的抛物线方程为________.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________.
16．（2022·河北邯郸·高三开学考试）若抛物线的准线与圆相切，则___________.
17．（2022·全国·高二课时练习）与抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是______．
18．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．
19．（2022·安徽·高三开学考试）已知抛物线的焦点为，圆，过的直线与交于两点，与 交于 两点，且在同一象限，则的最小值为_____．
20．（2022·江西抚州·高二期末（理））如图，抛物线：的焦点为，圆：，为抛物线上一点，且，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的取值范围为______.
21．（2022·湖南·模拟预测）设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，AF与BC相交于点D．若，则△ACD的面积为______．
22．（2022·全国·高三专题练习）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则______．
.
23．（2022·北京四中高三开学考试）已知抛物线，点A为第一象限内C上一点．抛物线C的焦点F关于原点的对称点为K．过A作抛物线C准线的垂线，垂足为B．若直线的斜率为，四边形的面积为，则______．
B组 能力提升
24．（2022·河北廊坊·高三开学考试）（多选题）已知抛物线：的焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于A，两点（与均不重合），以线段为直径的圆过原点，则与的面积之和可能为（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·江苏南通·高三开学考试）（多选题）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
26．（2022·江苏南京·高三阶段练习）（多选题）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （ ）
A．点的轨迹为抛物线
B．圆面积最小值为
C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为
D．存在点，使得，其中为坐标原点
27．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）设抛物线：的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线的方程是 B．的最大值为2
C．的最小值为5 D．以线段为直径的圆与轴相切
28．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（ ）
A．是等边三角形 B．
C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为
29．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）（多选题）已知抛物线上的动点到焦点的距离最小值是3，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．满足条件的直线有2条
C．焦点到直线的距离为2或或
D．
30．（2022·浙江·高三开学考试）（多选题）已知抛物线上的四点，，，，直线，是圆的两条切线，直线、与圆分别切于点、，则下列说法正确的有（ ）
A．当劣弧的弧长最短时， B．当劣弧的弧长最短时，
C．直线的方程为 D．直线的方程为
31．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知平面内到定点比它到定直线：的距离小1的动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称
C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离
32．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）（多选题）已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．若为抛物线上的点，则
33．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，，则（ ）
A．的准线方程为
B．若，则
C．若，则的斜率为
D．过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则
34．（2022·全国·高二）（多选题）已知抛物线C：，圆F：（F为圆心），点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．当最大时， D．当最小时，
35．（2019·四川·高三学业考试）已知抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设抛物线的焦点为，坐标原点为.过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求的面积.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线经过点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程．
37．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．
39．（2022·上海市控江中学高二期末）如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为.
(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值.
40．（2022·浙江·镇海中学高三期末）如图，已知点是抛物线上位于第一象限的点，点，点是轴上的两个动点(点位于轴上方)， 满足，线段分别交轴正半轴、抛物线于点，射线交轴正半轴于点
(1)若四边形ANPM为矩形，求点的坐标；
(2)记的面积分别为，求的最大值．
41．（2022·浙江宁波·高三期末）已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：；
(3)当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围.
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