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突破3.3 抛物线
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) ＝x0＋ ＝－x0＋ ＝y0＋ ＝－y0＋
考点二 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
考点三 与抛物线有关的经典结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
三、题型突破
重难点题型突破1 抛物线的定义及应用
例1．（1）、（2022·全国·高二课时练习）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．
【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
（2）、（2022·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】C
【分析】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.
【详解】因为表示动点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线．故A，B，D错误.
故选：C.
（3）．（2021·全国高三月考（理））抛物线上一点到其焦点的距离为，则的值为______．
【答案】
【分析】
将抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再利用点到直线的距离公式进行求解.
【详解】
将抛物线化为，
由抛物线定义得点到准线的距离为，
即，解得．
故答案为：.
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义判断即可
【详解】动点到定点的距离与到定直线：的距离相等，
所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
故选：C．
【变式训练1-2】、（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，点F到直线的距离为，则p的值为_____________．
【答案】2或4
【分析】求出，由题意用点到直线的距离公式即可求出p的值.
【详解】抛物线的焦点为F，则，
则点F到直线的距离为：，
所以，因为，所以或4.
故答案为：2或4.
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）已知（，2，3，，2021）是抛物线上的点，是抛物线的焦点，若，则______.
【答案】2021
【分析】
由抛物线方程得出焦点坐标和准线方程，由向量等式求得，最后结合抛物线定义得到答案.
【详解】
设（，2，3，…，2021），因为是抛物线上的点，是抛物线的焦点，所以，准线为：.因此，所以，即.又由抛物线的定义，可得，所以
.
故答案为：2021
重难点题型突破2 抛物线的标准方程及几何性质
例2．（1）、（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______．
【答案】2
【分析】由抛物线方程求得其准线方程，根据抛物线的定义列出关于的方程求解．
【详解】由抛物线C：可得p＝1，，准线方程．
因为是C上一点，，，所以，解得．
故答案为：2.
（2）．（2021·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
由抛物线方程写出焦点F坐标并设出点M坐标，利用抛物线定义探求出圆与y轴相切于点，再经推理计算即得.
【详解】
抛物线：的焦点，设，
由抛物线的定义，知，得，则以为直径的圆的圆心横坐标为，而圆的半径为，
于是得该圆与轴相切于点，得圆心的纵坐标为2，则点的纵坐标为4，即，
从而有，整理得，解得或，
所以抛物线的方程为或.
故选：C
【变式训练2-1】、（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知抛物线（）上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BD
【分析】根据抛物线性质可得，代入抛物线方程，解得p的值，可得答案.
【详解】因为抛物线（）上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以 ，即 ，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或,
故选:BD．
【变式训练2-2】、（2022·江西·模拟预测（文））过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若PQ的中点到y轴的距离为1，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据抛物线的标准方程求出焦点坐标，由抛物线的几何性质可知轴，得到，进而根据焦半径公式求的值.
【详解】由题意知，
抛物线的焦点坐标为，若PQ的中点到y轴的距离为1，
则轴，，由焦半径公式得：
，
故选：A.
重难点题型突破3 求抛物线的标准方程
例3、（2022·云南红河·高二期末）设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）求出点的坐标，利用抛物线的定义列方程可得，进而得出抛物线的方程；
（2）设出直线，与抛物线联立，消元写出韦达定理，利用直线斜率公式代入化简，可得，即为的角平分线，命题得证．
【详解】（1）由点到轴的距离为得：，
将代入得：，
由抛物线的定义得，，
由已知，，
所以，
所以抛物线的方程为；
（2）由得，
由题意知与抛物线交于两点，
可设直线的方程为，，，
联立方程，得，
所以，，，
所以
，
所以，
则
所以为的角平分线，
由角平分线的性质定理，得．
【变式训练3-1】．（2021·全国高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点F关于准线的对称点为；
（2）关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12；
（3）关于x轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】
用待定系数法求抛物线的标准方程.
【详解】
（1）由题意可设抛物线的标准方程为：，焦点，准线l：.
因为焦点F关于准线的对称点为，
所以，解得：，
所以所求抛物线的标准方程为：.
（2）由题意可设抛物线的标准方程为：，
因为直线与抛物线相交所得线段的长为12，
所以点在抛物线上，代入得：，解得：，
所以所求抛物线的标准方程为：.
（3）由题意可设抛物线的标准方程为：或，
当焦点在x轴正半轴上时，
因为△MNF为等边三角形，且，
则，即p=3，
所以抛物线的标准方程为：.
同理可求，当焦点在x轴负半轴上时，抛物线的标准方程为：.
重难点题型突破4 直线与抛物线位置关系
例4．（2022·江西·高三开学考试（文））已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点．
(1)求C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）设出，代入抛物线方程，得到，再利用抛物线定义列出方程，求出，得到抛物线方程；
（2）设出直线的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，将F到直线PA与直线PB的距离相等转化为，列出方程，代入两根之和，两根之积，化简得到，求出P点坐标为.
（1）
设，则，∴，
由抛物线的定义得，
解得或，
因为，所以（舍去）
所以C的标准方程为．
（2）
设，，，，由题可知l的斜率不为零，
设l：，代入抛物线方程消去x，得，
从而，①，
点F到直线PA与直线PB的距离相等，可得，故，
，
得，
将①代入得，于是得，
因此存在符合条件的点P，且P点坐标为.
【点睛】直线过定点问题或存在定点满足某条件问题，通常设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，根据题干条件列出方程，求出定点坐标.
【变式训练4-1】、（2021·河南省信阳市第二高级中学高三开学考试（文））在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点M到直线l的距离比动点M到点F的距离大2．记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？
(2)设在C上，不过点P的动直线与C交于A，B两点，若，证明：直线恒过定点．
【答案】(1)，C是顶点为原点开口向上的抛物线.(2)见解析.
【分析】(1)根据抛物线的定义可知C是顶点为原点开口向上的抛物线，求其标准方程即可；
(2)设直线AB的方程以及A、B的坐标，将直线与抛物线方程联立，运用设而不求得思想找到k与b的关系即可.
（1）
因为动点M到直线l 的距离比到F的距离大2，故M到F的距离与
M到直线的距离相等，所以M的轨迹C是以F为焦点
m为准线的抛物线，因此, C是顶点为原点开口向上的抛物线.
（2）
因为P在C上故，
设，
联立方程 ，可得，
，
，将(2)代入化简得：
或，以上均可满足(1)式，
所以直线方程为：或，
直线分别过定点或，
又，所以直线恒过定点.
【点睛】（1）运用定义法求标准方程；
（2）解决问题的关键是运用设而不求的思想发现k与b的关系.
重难点题型突破5 抛物线与其他圆锥曲线的综合问题
例5、（2022·河南·高三阶段练习（理））抛物线的焦点为，为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求出点坐标，即可求出直线的斜率.
【详解】由题意可知：，设准线与轴交于，
因为，所以，且，
所以，
设，由抛物线定义可知，
所以，代入抛物线中得，所以，且，
所以直线的斜率为.
故选：D
【变式训练5-1】、（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．线段的长度为
C． D．线段的中点到轴的距离为
【答案】BD
【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得，即可判断A;联立方程求出A,B坐标，可得，判断B；确定M,N坐标，可计算，判断C;求出线段的中点坐标，即可判断D.
【详解】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，
又经过的焦点，故，可得，
即抛物线方程为：，A正确．
由，可得，解得或，
可得，，所以，B错误．
由以上分析可知，，，，
可得，
则，即，C正确．
因为，，故线段的中点为，
则线段的中点到轴的距离为，D错误，
故选：BD．
例6．（2022·安徽·芜湖一中一模（文））已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，A两点，且．
(1)若λ＝1，求直线l的方程；
(2)设点E（a，0），直线PE与抛物线C的另一个交点为B，且．若λ＝4μ，求a的值.
【答案】(1)；(2)4.
【分析】（1）根据抛物线的对称性可以判断轴，进而解出答案；
（2）设出点的坐标和直线的方程，将直线方程代入抛物线方程并化简，进而根据平面向量间的关系及根与系数的关系得到间的关系.
(1)
由，知焦点是的中点，又抛物线C：关于x轴对称，所以轴，所以直线l的方程.
(2)
设点，，由得①，
设直线l：与抛物线C：联立得，
所以，②，
由①②可得，
设点，由得③，
直线PB：与抛物线C：联立得，所以需要满足，④，
由③④可得，
又，所以，因为，解得，此时.所以a的值为4.
【点睛】本题为压轴题，注意本题的突破口. 根据得到之后会发现，本题应该涉及根与系数的关系，当得到之后，应该确定了最终方向，即得到间的关系，最后解决问题.
【变式训练6-1】、（2020·山东高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】
解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
四、定时训练（30分钟）
1．（2022·辽宁鞍山·一模）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为
故选：C
2．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为45°的直线交抛物线于、.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设出直线方程，然后联立直线方程与抛物线方程，借助韦达定理以及过焦点的弦长公式可求出.
【详解】
由已知得直线的方程为，联立方程组消去得.设，，由韦达定理知.因为，所以，所以，即，
所以所求抛物线的方程为.
故选：C.
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，点为抛物线上一点，为坐标原点，满足，且直线与直线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，结合焦半径公式可求得；由，与抛物线联立后可求得点坐标，再得到点坐标后，可得，作比即可得到结果.
【详解】不妨令位置关系如下图所示，
由抛物线方程知：；
设直线，，，
由得：，，
，
；
设直线，，
由得：，，解得：，，；
由题意知：，，
，
.
故选：D.
4．（2021·全国高三开学考试（理））已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设直线l的方程为，联立直线l与抛物线方程化简可得，设，，由此可得，结合可求A,B的坐标，再由焦点弦公式求|AB|.
【详解】
因为焦点，设直线l的方程为，代入抛物线方程，得．设，，由韦达定理得．因为，所以，所以．解得，或，，所以，，所以．故选D．
5．（2020·江西省靖安中学高二月考（文））已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为__________
【答案】
【分析】
设抛物线的标准方程为：，根据准线方程求出的值，即可求解.
【详解】
设抛物线的标准方程为：，
其焦点为，准线方程为，
可得：，
所以抛物线的标准方程为：，
故答案为：.
6．（2021·江苏苏州·高三开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为___________.
【答案】
【分析】
由焦点在抛物线的准线上可求得双曲线的一个焦点为，可得，再由渐近线方程是即可求得双曲线方程.
【详解】
由题意可得，抛物线的准线为，
双曲线的一个焦点为，即有，
又，，，，
则所求双曲线的方程为.
故答案为：.
7．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆外切，且与直线相切．
(1)求动圆M圆心的轨迹的方程．
(2)已知斜率为－1的直线l交曲线于A，B两个不同的点，定点．求证：直线PA，PB与x轴总围成等腰三角形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，M到C的距离等于点M到直线的距离，由抛物线的定义可解.
（2）要证结论，即证直线PA，PB的倾斜角互补，即证．由条件可设直线l的方程为，，．联立直线与抛物线的方程，由韦达定理代入即可得证明.
（1）
圆的标准方程为，即，半径．设圆M的半径为R，
则点M到点C的距离为，点M到直线的距离为R，所以点M到C的距离等于点M到直线的距离，
即点M的轨迹为抛物线，且抛物线方程为．
（2）
要证结论，即证直线PA，PB的倾斜角互补，即证．
由条件可设直线l的方程为，，．
由，得，则，，
所以，同理．
所以，所以命题得证．
8．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.
(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；
(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.试判断与的大小关系，并证明.
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析.
【分析】(1)根据给定条件求出抛物线在点处切线方程，再将此切线与抛物线的方程联立，计算线段AB中点坐标即可得解.
(2)设出过点M的抛物线的切线方程，与抛物线的方程联立，借助韦达定理求出点C，D坐标，进而
求出直线CD方程，把直线CD与抛物线的方程联立，计算线段CD与EF的中点坐标推理作答.
(1)
当时，，显然抛物线在点处切线斜率存在，设切线AB方程为，
由消去y并整理得：，则，解得，
于是得切线AB的方程为：，抛物线，，
由消去y并整理得：，显然，
设，则，线段的中点坐标为与切点P重合，即点P是线段AB中点，
所以.
(2)
显然过点M的抛物线的切线斜率存在，设此切线方程为：，且，
由消去y并整理得：，
，关于的方程，
于是得切线的斜率是方程的两个不等实根，分别令为，有，
切点C的横坐标是方程的等根，则点，
同理可得切点，则直线斜率为，
直线：，由消去y并整理得：
，即，
，
设直线CD与抛物线的交点，则，即线段中点横坐标为，
又线段的中点横坐标为，因此，线段与有相同中点，
由题意知，即，因此的底边与的底边相等，高都是点M到直线CD的距离，
所以与的面积相等，即.
【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.
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突破3.3 抛物线
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) ＝x0＋ ＝－x0＋ ＝y0＋ ＝－y0＋
考点二 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
考点三 与抛物线有关的经典结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
三、题型突破
重难点题型突破1 抛物线的定义及应用
例1．（1）、（2022·全国·高二课时练习）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足，其中常数，则动点的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
（3）．（2021·全国高三月考（理））抛物线上一点到其焦点的距离为，则的值为______．
【变式训练1-1】、（2022·全国·高二课时练习）到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线
【变式训练1-2】、（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，点F到直线的距离为，则p的值为_____________．
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）已知（，2，3，，2021）是抛物线上的点，是抛物线的焦点，若，则______.
重难点题型突破2 抛物线的标准方程及几何性质
例2．（1）、（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______．
（2）．（2021·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式训练2-1】、（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知抛物线（）上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的可能取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2-2】、（2022·江西·模拟预测（文））过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若PQ的中点到y轴的距离为1，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
重难点题型突破3 求抛物线的标准方程
例3、（2022·云南红河·高二期末）设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．
【变式训练3-1】．（2021·全国高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点F关于准线的对称点为；
（2）关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12；
（3）关于x轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形．
重难点题型突破4 直线与抛物线位置关系
例4．（2022·江西·高三开学考试（文））已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点．
(1)求C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【变式训练4-1】、（2021·河南省信阳市第二高级中学高三开学考试（文））在直角坐标系中，已知定点，定直线，动点M到直线l的距离比动点M到点F的距离大2．记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线？
(2)设在C上，不过点P的动直线与C交于A，B两点，若，证明：直线恒过定点．
重难点题型突破5 抛物线与其他圆锥曲线的综合问题
例5、（2022·河南·高三阶段练习（理））抛物线的焦点为，为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】、（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的方程为 B．线段的长度为
C． D．线段的中点到轴的距离为
例6．（2022·安徽·芜湖一中一模（文））已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，A两点，且．
(1)若λ＝1，求直线l的方程；
(2)设点E（a，0），直线PE与抛物线C的另一个交点为B，且．若λ＝4μ，求a的值.
【变式训练6-1】、（2020·山东高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
四、定时训练（30分钟）
1．（2022·辽宁鞍山·一模）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为45°的直线交抛物线于、.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，点为抛物线上一点，为坐标原点，满足，且直线与直线相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三开学考试（理））已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（ ）
A．9 B． C． D．
5．（2020·江西省靖安中学高二月考（文））已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为__________
6．（2021·江苏苏州·高三开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为___________.
7．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆外切，且与直线相切．
(1)求动圆M圆心的轨迹的方程．
(2)已知斜率为－1的直线l交曲线于A，B两个不同的点，定点．求证：直线PA，PB与x轴总围成等腰三角形．
8．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.
(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；
(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.试判断与的大小关系，并证明.
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