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第三章 圆锥曲线的方程单元测试卷（B卷 能力提升）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·北京·101中学高二期末）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）．
A． B． C． D．1
2．（2022·北京·101中学高二期末）双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
3．（2022·北京·101中学高二期末）已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
4．（2022·江苏·金陵中学高二期末）下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（ ）
A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm
5．（2022·山东德州·高二期末）已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·湖南湖南·高二期末）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为
A． B． C． D．
7．（2022·辽宁·大连八中高二期末）设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·辽宁·大连八中高二期末）阿基米德是古希腊著名的数学家 物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）下列四个关于圆锥曲线的命题中，结论正确的是（ ）：
A．双曲线与有相同的焦点；
B．设、为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；
C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
D．动圆过定点且与定直线：相切，则圆心的轨迹方程是．
10．（2022·山东德州·高二期末）抛物线的焦点为F，若P是抛物线C上任意一点，直线PF的倾斜角为，点M是线段PF的中点，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．点M的轨迹方程为
C．的最小值为 D．在y轴上存在点E，使得．
11．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的焦距是 C．的离心率为 D．的面积为
12．（2022·湖南湖南·高二期末）已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的方程是
C．的最小值为2 D．直线与有两个公共点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022·北京·101中学高二期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则的值为________．
14．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_________．
15．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一点，满足 (O为坐标原点)．若，则椭圆的离心率为______．
16．（2022·辽宁·大连八中高二期末）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·北京·101中学高二期末）已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.
（1）求双曲线的焦点坐标；
（2）若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.
18．（2022·北京·101中学高二期末）已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.
19．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知椭圆C：经过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切线l与椭圆交于A，B两点，都有．若存在，求出r的值，并求此时△AOB的面积S的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．（2022·山东德州·高二期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为．
(1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程；
(2)若O是坐标原点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
21．（2022·山东德州·高二期末）已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过、的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2022·湖南湖南·高二期末）已知椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
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第三章 圆锥曲线的方程单元测试卷（B卷 能力提升）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·北京·101中学高二期末）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由可得抛物线标准方程为：，由焦点和准线方程即可得解.
【详解】由可得抛物线标准方程为：，
所以抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离为，
故选：B
【点睛】本题考了抛物线标准方程，考查了焦点和准线相关基本量，属于基础题.
2．（2022·北京·101中学高二期末）双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【答案】A
【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，
所以椭圆的焦点在轴上，
依题意得
解得.
故选：A
3．（2022·北京·101中学高二期末）已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆
【答案】A
【分析】设的延长线交的延长线于点，由椭圆性质推导出，由题意知是△的中位线，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
【详解】是焦点为、的椭圆上一点
为的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，如图，
，
，
，
由题意知是△的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
故选：A
4．（2022·江苏·金陵中学高二期末）下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（ ）
A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm
【答案】B
【分析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案.
【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设，则，，则，所以，则，解得：，故.
故选：B
5．（2022·山东德州·高二期末）已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a,b之间的关系.
【详解】如图：
依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：
，解得：，代入得，
故P点坐标为，由题意，OP的斜率为，
即，化简得：，，，；
故选：B.
6．（2022·湖南湖南·高二期末）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】结合椭圆定义可知的周长为，由此求得；利用离心率可求得；根据椭圆可求得，进而得到椭圆方程.
【详解】设椭圆方程为
由椭圆定义知： 的周长为
即，解得：
椭圆的方程为
故选：
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.
7．（2022·辽宁·大连八中高二期末）设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设点，其中，，求得，且有，，利用两角和的正切公式可求得的值，进而可求得的值，即可得出该双曲线的渐近线的方程.
【详解】易知点、，设点，其中，，且，
，且，
，，所以，，
，
因为，
所以，，则，
因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
8．（2022·辽宁·大连八中高二期末）阿基米德是古希腊著名的数学家 物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.
【详解】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）下列四个关于圆锥曲线的命题中，结论正确的是（ ）：
A．双曲线与有相同的焦点；
B．设、为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；
C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
D．动圆过定点且与定直线：相切，则圆心的轨迹方程是．
【答案】AC
【分析】求出双曲线与椭圆的焦点可判断A；根据双曲线的定义可判断B；根据双曲线离心率，椭圆的离心率可判断C；根据抛物线的定义可判断D.
【详解】A，焦点在轴上，，焦点为，
焦点在轴上，，焦点为，故A正确；
B，根据双曲线的定义，若，动点的轨迹为双曲线，故B错误；
C，方程的两根为或，
因此可以作为椭圆的离心率，可以作为双曲线的离心率，故C正确；
D，根据抛物线的定义可得，即，所以，故D错误.
故选：AC
10．（2022·山东德州·高二期末）抛物线的焦点为F，若P是抛物线C上任意一点，直线PF的倾斜角为，点M是线段PF的中点，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．点M的轨迹方程为
C．的最小值为 D．在y轴上存在点E，使得．
【答案】BC
【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，然后逐项分析、计算作答.
【详解】抛物线的焦点为，准线，
对于A，直线的方程为：，由消去y并整理得，
解得，，则或，A不正确；
对于B，设点，则点，而P是抛物线C上任意一点，于是得，
即，所以点M的轨迹方程为，B正确；
对于C，设点，则，当且仅当时取“=”，即的最小值为，C正确；
对于D，因点M的轨迹方程为，则设，令，
有，，
于是得为锐角，D不正确.
故选：BC
11．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的焦距是
C．的离心率为 D．的面积为
【答案】ACD
【分析】设，则，，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.
【详解】设，则，，离心率，选项C正确，
∴，，选项A正确，
，选项B错误，
设，将代入得，
的面积为，选项D正确，
故选:ACD.
12．（2022·湖南湖南·高二期末）已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的方程是
C．的最小值为2 D．直线与有两个公共点
【答案】AB
【分析】设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.
【详解】设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，即双曲线的方程是，故B正确；
可化为，则，，故A正确；
由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值，故C错误；
由，解得，即直线与只有一个交点，故D错误；
故选：AB
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022·北京·101中学高二期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，为双曲线上一点，且，则的值为________．
【答案】2
【分析】求得双曲线的a，b，c，不妨设P为双曲线右支上的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用双曲线的定义、余弦定理列出方程组，求出mn即可.
【详解】双曲线的a＝2，b＝1，c＝，
不妨设P为双曲线右支上的点，|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则，①
由余弦定理可得，②
联立①②可得
故答案为：2
14．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_________．
【答案】
【分析】由题意可得，化简整理得到，进而可求出结果.
【详解】因为双曲线的一个焦点到其一条渐近线为，
所有由题意可得，
即，
则，
所以离心率,
故答案为：.
15．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一点，满足 (O为坐标原点)．若，则椭圆的离心率为______．
【答案】##
【分析】由可得，再结合椭圆的性质可得为直角三角形，由题意设，则，由勾股定理可得，再结合椭圆的定义可求出离心率
【详解】因为，
所以，所以，
因为，
所以，
所以为直角三角形，即，
所以
设，则，
所以，得，
因为则，
所以，所以，即离心率为，
故答案为：
16．（2022·辽宁·大连八中高二期末）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为________．
【答案】##0.75
【分析】根据椭圆和双曲线定义用长半轴长和实半轴长表示出撤掉装置前后的路程，然后由已知可解.
【详解】记椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
由椭圆和双曲线的定义有：，得，即，
又由椭圆定义知，，
因为，所以，即
所以.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·北京·101中学高二期末）已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.
（1）求双曲线的焦点坐标；
（2）若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据双曲线的方程求出即得双曲线的焦点坐标；
（2）先求出的值，再解方程得解.
【详解】（1）因为双曲线的方程为，
所以.
所以.所以.
所以双曲线的焦点坐标分别为.
（2）因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，
所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，
所以.
因为点为抛物线上一点，
所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.
因为点到拋物线的焦点的距离是5，
即，
所以.
【点睛】本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．（2022·北京·101中学高二期末）已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.
【答案】（1）（2）（3）见解析
【详解】试题分析：
(1)由题意求得 ，所以椭圆的方程为．
(2) 联立直线与椭圆的方程，由题意可得．三角形的高为．，面积表达式，当且仅当时，．即的面积的最大值是．
(3)结论为．利用题意有．所以．
试题解析：
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的离心率是，
所以 ， 即 ．
由 解得
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）将代入，
消去整理得．
令，解得．
设．
则，．
所以
．
点到直线的距离为．
所以的面积
，
当且仅当时，．
所以的面积的最大值是．
（Ⅲ）．证明如下：
设直线，的斜率分别是，，
则．
由（Ⅱ）得
，
所以直线，的倾斜角互补．
所以，
所以．
所以．
19．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知椭圆C：经过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切线l与椭圆交于A，B两点，都有．若存在，求出r的值，并求此时△AOB的面积S的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
【分析】（1）利用离心率和椭圆所过的点列出方程组，求出，求出椭圆方程；（2）假设存在，分切线斜率存在和不存在分类讨论，根据向量数量积为0求出r的值，表达出△AOB的面积，利用基本不等式求出的取值范围，进而求出△AOB面积的取值范围.
(1)
因为椭圆C：的离心率，且过点．
所以解得
所以椭圆C的方程为．
(2)
假设存在⊙O：满足题意，
①切线方程l的斜率存在时，设切线方程l：y＝kx＋m与椭圆方程联立，
消去y得，(*)
设，，由题意知，(*)有两解
所以，即
由根与系数的关系可得
，
所以
因为，所以，即
化简得，且，
O到直线l的距离
所以，又，此时，所以满足题意
所以存在圆的方程为⊙O：．
△AOB的面积，
又因为
当k≠0时
当且仅当即时取等号．
又因为，所以，所以．
当k＝0时，
②斜率不存在时，直线与椭圆交于两点或两点．
易知存在圆的方程为⊙O：且．
综上，所以．
【点睛】求解圆锥曲线相关的三角形或四边形面积取值范围问题，需要先设出变量，表达出面积，利用基本不等式或者配方，导函数等求出最值，求出取值范围，特别注意直线斜率存在和不存在的情况，需要分类讨论.
20．（2022·山东德州·高二期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为．
(1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程；
(2)若O是坐标原点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解；
（2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可
(1)
由题意，双曲线渐近线方程为：，
所以，
所以双曲线E的标准方程为：．
故双曲线
故双曲线的右焦点为，
所以，，
所以．
(2)
由题意联立，
得，
又
所以．
因为直线过抛物线的焦点，所以．
O到直线的距离，
．
21．（2022·山东德州·高二期末）已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，P为椭圆C的上顶点，以P为圆心且过、的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点作直线l，交椭圆C于M，N两点（l与x轴不重合），在x轴上是否存在一点T，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在；.
【分析】(1)根据给定条件求出a，c，b即可作答.
(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用斜率坐标公式并结合韦达定理计算即可推理作答.
(1)
依题意，，，，
由椭圆定义知：椭圆长轴长，
即，而半焦距，即有短半轴长，
所以椭圆C的标准方程为：．
(2)
依题意，设直线l方程为，由消去x并整理得，
设，，则，，假定存在点，
直线TM与TN的斜率分别为，，
，
要使为定值，必有，即，
当时，，，
当时，，，
所以存在点，使得直线TM与TN的斜率之积为定值．
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．（2022·湖南湖南·高二期末）已知椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P作倾斜角分别为的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线AB的斜率是定值，为
【分析】（1）由题意得，再结合可求出，从而可求出椭圆C的方程；
（2）由题意得，两条直线PA，PB的斜率均存在，且互为相反数，设直线为，则直线为，设，然后将两直线方程分别代入椭圆方程中可求出，再求直线AB的斜率化简可得结果
(1)
因为椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点，
所以且，
解得，
所以椭圆C的方程为
(2)
由题意得，两条直线PA，PB的斜率均存在，且互为相反数，
设直线为，则直线为，
设，
将代入，
得，
所以，所以，
同理可得，
所以
所以直线AB的斜率是定值，等于
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