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第三章 圆锥曲线的方程单元测试卷(A卷 基础巩固)
考试时间:120分钟 满分:150分
一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022·广东深圳·高二期末)已知椭圆,则它的短轴长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【分析】根据椭圆短轴长的定义进行求解即可.
【详解】由椭圆的标准方程可知:,所以该椭圆的短轴长为,
故选:B
2.(2020·海南枫叶国际学校高二期末)若,则“”是方程“”表示椭圆的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】方程表示椭圆,得 且,综上所述,“”不能推出“”表示椭圆,“”表示椭圆能推出“”, “”是方程“”表示椭圆的必要不充分条件,故选B.
3.(2022·天津南开·高二期末)已知双曲线的离心率为2,则C的渐近线方程为( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据离心率及a,b,c的关系,可求得,代入即可得答案.
【详解】因为离心率,所以,
所以, ,则,
所以C的渐近线方程为.
故选:A
4.(2020·海南枫叶国际学校高二期末)已知为抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,则线段的中点到轴的距离为
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】抛物线的准线为,过作准线的垂线,垂足为,的中点为,过作准线的垂线,垂足为,则可利用几何性质得到,故可得到轴的距离.
【详解】抛物线的准线为,过作准线的垂线,垂足为,的中点为,过作准线的垂线,垂足为,
因为是该抛物线上的两点,故,
所以,
又为梯形的中位线,所以,故到轴的距离为,故选C.
【点睛】本题考查抛物线的几何性质,属于基础题.
5.(2022·天津南开·高二期末)过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点,那么的周长为( )
A.28 B. C. D.
【答案】C
【分析】根据双曲线方程得,,由双曲线的定义,证出,结合
即可算出△的周长.
【详解】双曲线方程为,
,
根据双曲线的定义,得
,,
,,
相加可得,
,,
因此△的周长,
故选:C
6.(2022·广东深圳·高二期末)双曲线的左右焦点分别是,,直线与双曲线在第一象限的交点为,在轴上的投影恰好是,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意的到,,代入到双曲线方程,解得,即,则,即,即,求解方程即可得到结果.
【详解】设原点为,∵直线与双曲线在第一象限的交点在轴上的投影恰好是,
∴,且,∴,
将代入到双曲线方程,可得,解得,即,
则,即,即,解得(舍负),
故.
故选:D.
7.(2022·广东珠海·高二期末)已知双曲线:与椭圆:有相同的焦点,且一条渐近线方程为:,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由渐近线方程,设出双曲线方程,结合与椭圆有相同的焦点,求出双曲线方程.
【详解】∵双曲线:的一条渐近线方程为:
∴设双曲线:
∵双曲线与椭圆有相同的焦点
∴,解得:
∴双曲线的方程为.
故选:B.
8.(2022·天津红桥·高二期末)设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为,即得直线的斜率为,再根据双曲线的渐近线的方程为,可得,即可求出,得到双曲线的方程.
【详解】由题可知,抛物线的焦点为,所以直线的方程为,即直线的斜率为,
又双曲线的渐近线的方程为,所以,,因为,解得.
故选:.
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质,双曲线的几何性质,以及直线与直线的位置关系的应用,属于基础题.
二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.
9.(2022·重庆·高二期末)已知曲线围成图形C,则( )
A.图形C关于x轴对称
B.图形C关于原点对称
C.图形C的周长是
D.图形C的面积是
【答案】ABC
【分析】根据曲线方程研究曲线的对称性得图形C关于轴对称,也关于原点对称,进而讨论图形C在第一象限中的周长与面积,进而得答案.
【详解】解:对于A选项,由于点均满足方程,故A满足;
对于B选项,由于点均满足方程,故B满足;
对于C选项,由于均满足方程,故结合A,B选项得图形C关于轴对称,也关于原点对称,故当,曲线表示圆在第一象限的部分,如图,故在第一象限中的轨迹的周长为,所以根据对称性得图形C的周长是,故C正确;
对于D选项,由C知,图形C在第一象限中的面积为,所以图形C的面积是,故错误;
故选:ABC
10.(2022·广东深圳·高二期末)点P在圆上,点Q在圆上,则( )
A.两个圆心所在的直线斜率为
B.两个圆相交弦所在直线的方程为
C.两圆公切线有两条
D.|PQ|的最小值为0
【答案】AD
【分析】根据直线斜率公式,结合圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】圆的圆心为,半径为,
圆的圆心为,半径为.
两个圆心所在的直线斜率为,所以本选项正确;
因为,,
所以两圆相外切,故没有相交弦,两圆的公切线有三条,当点P、点Q运动到切点时,|PQ|的最小值为0,因此选项BC不正确,选项D正确,
故选:AD
11.(2022·浙江大学附属中学高二期末)设,是双曲线的左 右焦点,过作C的一条渐近线的垂线l,垂足为H,且l与双曲线右支相交于点P,若,且,则下列说法正确的是( )
A.到直线l的距离为a B.双曲线的离心率为
C.的外接圆半径为 D.的面积为18
【答案】BD
【分析】根据题意可求得,作,由为的中点,可得,可判断A;根据三角形中位线以及,可求得,然后根据及双曲线的定义可得,再结合勾股定理即可求得,,的值,即可判断BD;根据正弦定理可判断C.
【详解】根据题意设,,且.
取双曲线的一条渐近线为,则到的距离为,作,如图所示:
则,,
∵,为的中点,
∴,且为的中点,则到直线的距离为,故A错误;
∵,为的中点
∴,
∵,
∴,
在中,,即,则,解得或(舍),
∴,则,即双曲线的离心率为,故B正确;
设,得外接圆半径为,则,
∴由正弦定理得,即,故C错误;
∵,,
∴的面积为,故D正确.
故选:BD.
12.(2022·重庆·高二期末)过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,为线段的中点,则( )
A.以线段为直径的圆与直线相切
B.以线段为直径的圆与轴相切
C.当时,
D.的最小值为
【答案】ACD
【分析】A选项由判断即可;B选项判断和之间的关系,C选项,先联立得到,再结合条件解出,即可解出;D选项借助基本不等式进行判断.
【详解】
准线方程,,设在准线上的射影为,,可得以线段为直径的圆与直线相切,故A正确;
设,则,,设中点为,在轴上的射影为,则,令,即,解得,故只有时,以线段为直径的圆与轴相切,B错误;
设直线的方程为,联立直线与抛物线方程可得,,,由得,解得,,故C正确;
由得,当且仅当时取等号,故D正确.
故选:ACD.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.(2022·广东深圳·高二期末)直线的倾斜角为_______________.
【答案】
【分析】由直线的斜率为,得到,即可求解.
【详解】由题意,可知直线的斜率为,
设直线的倾斜角为,则,解得,
即换线的倾斜角为.
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题,其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系,合理准确计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
14.(2020·海南枫叶国际学校高二期末)已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且双曲线的渐进线方程为,则此双曲线方程为_________
【答案】
【分析】根据双曲线的渐进线方程为,设双曲线,计算椭圆焦点为,根据双曲线焦点公式得到答案.
【详解】的焦点为:
双曲线的渐进线方程为,则设双曲线方程为:,焦点为
故 ,双曲线方程为
故答案为
【点睛】本题考查了求双曲线方程,根据渐近线设双曲线为是解题的关键.
15.(2022·广东深圳·高二期末)在平面直角坐标系中,双曲线的左、右焦点分别为,,点M是双曲线右支上一点,,则双曲线的渐近线方程为___________.
【答案】
【分析】首先根据已知条件得到,再结合双曲线的几何性质求解即可.
【详解】如图所示:
,,所以,即.
设,则,.
即,,,,
所以,渐近线方程为.
故答案为:
16.(2022·广东珠海·高二期末)已知双曲线:,,是其左右焦点.圆:,点为双曲线右支上的动点,点为圆上的动点,则的最小值是________.
【答案】##
【分析】利用双曲线定义,将的最小值问题转化为的最小值问题,然后结合图形可解.
【详解】由题设知,,,,圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知
∴
∴.
故答案为:
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2022·广东深圳·高二期末)已知抛物线上的点M(5,m)到焦点F的距离为6.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点作直线l交抛物线C于A,B两点,且点P是线段AB的中点,求直线l方程.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)由抛物线定义有求参数,即可写出抛物线方程.
(2)由题意设,联立抛物线方程,结合韦达定理、中点坐标求参数k,即可得直线l方程.
(1)
由题设,抛物线准线方程为,
∴抛物线定义知:可得,故
(2)
由题设,直线l的斜率存在且不为0,设
联立方程,得,
整理得,则.
又P是线段AB的中点,∴,即
故l
18.(2022·广东深圳·高二期末)已知点,圆,点Q在圆上运动,的垂直平分线交于点P.
(1)求动点P的轨迹的方程;
(2)过点的动直线l交曲线C于A、B两点,在y轴上是否存在定点T,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点T的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,T(0,1)﹒
【分析】(1)根据椭圆的定义,结合即可求P的轨迹方程;
(2)假设存在T(0,t),设AB方程为,联立直线方程和椭圆方程,代入=0即可求出定点T.
(1)
由题可知,,
则,
由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点,且长轴长为的椭圆,
∴,∴,
∴P的轨迹方程为C:;
(2)
假设存在T(0,t)满足题意,易得AB的斜率一定存在,否则不会存在T满足题意,设直线AB的方程为,
联立,化为,易知恒成立,
∴(*)
由题可知,
将(*)代入可得:
即
∴,解,
∴在y轴上存在定点T(0,1),使以AB为直径的圆恒过这个点T.
19.(2022·天津红桥·高二期末)已知椭圆 的离心率 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为,若,求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由离心率公式以及椭圆的性质列出方程组得出椭圆的方程;
(2)联立直线和椭圆方程,利用韦达定理得出点坐标,最后由距离公式得出直线的方程.
(1)
由题意可得,得,,椭圆;
(2)
设,,直线为.
由,得
显然,由韦达定理有:,则;
所以,且,
若,解得,所以.
20.(2022·广东珠海·高二期末)已知椭圆:,的左右焦点,是双曲线的左右顶点,的离心率为,的离心率为,点在上,过点E和,分别作直线交椭圆于,和,点,如图.
(1)求,的方程;
(2)求证:直线和的斜率之积为定值;
(3)求证:为定值.
【答案】(1):;:
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】(1)利用待定系数法,根据条件先求曲线的方程,再求曲线的方程;
(2)首先设,表示直线和的斜率之积,即可求解定值;
(3)首先表示直线与方程联立消,利用韦达定理表示弦长,以及利用直线和的斜率关系,表示弦长,并证明为定值.
(1)
由题设知,椭圆的离心率为
解得
∴,
∵椭圆的左右焦点,是双曲线的左右顶点,
∴设双曲线:
∴的离心率为解得.
∴:
:;
(2)
证明:∵点在上
∴设
则,
∴.
∴直线和的斜率之积为定值1;
(3)
证明:设直线和的斜率分别为,,则
设,
:与方程联立消得
“*”
则,是“*”的二根
则
则
同理
∴.
21.(2020·海南枫叶国际学校高二期末)焦点在x轴上的椭圆C:经过点,椭圆C的离心率为.,是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点M为的中点(O为坐标原点),过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A,B两点,是否存在实数,使得;若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在满足条件,详见解析
【分析】(1)根据所给条件列出方程组,求解即可.
(2)对直线的斜率存在与否分类讨论,当斜率存在时,设直线的方程为,,,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,即可表示出、、,则可求.
【详解】解:(1)由已知可得,解得,,
所以椭圆的标准方程为.
(2)若直线的斜率不存在时,,,
所以;
当斜率存在时,设直线的方程为,,.
联立直线与椭圆方程,消去y,得,
所以.
因为,设直线的方程为,
联立直线与椭圆方程,消去,得,解得.
,
,
同理,,
因为,
,故,存在满足条件,
综上可得,存在满足条件.
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆综合问题,属于中档题.
22.(2022·天津南开·高二期末)如下图,已知点是离心率为的椭圆:上的一点,斜率为的直线交椭圆于、两点,且、、三点互不重合.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【详解】试题分析:(1)根据离心率为可得,把代入方程可得,又,解方程组即可求得方程;(2)设直线的方程为,整理方程组,求得,及参数的范围,由斜率公式表示出,结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值.
试题解析:(1)由题意,可得,代入得,又,解得,
,
所以椭圆的方程为.
(2)证明:设直线的方程为,又,,三点不重合,∴,
设,,
由得,
所以,解得,
,①
,②
设直线,的斜率分别为,,
则(),
分别将①②式代入(),
得,
所以,即直线,的斜率之和为定值.
考点:椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.
【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系,考查了方程的思想和考试与运算能力,属于中档题.求椭圆方程通常用待定系数法,注意隐含条件;研究圆锥曲线中的定值问题,通常根据交点与方程组解得对应性,设而不解,表示出待求定值的表达式,利用韦达定理代入整理,消去参数即可得到定值.
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第三章 圆锥曲线的方程单元测试卷(A卷 基础巩固)
考试时间:120分钟 满分:150分
一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2022·广东深圳·高二期末)已知椭圆,则它的短轴长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.(2020·海南枫叶国际学校高二期末)若,则“”是方程“”表示椭圆的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2022·天津南开·高二期末)已知双曲线的离心率为2,则C的渐近线方程为( ).
A. B. C. D.
4.(2020·海南枫叶国际学校高二期末)已知为抛物线的焦点,是该抛物线上的两点,,则线段的中点到轴的距离为
A. B. C. D.
5.(2022·天津南开·高二期末)过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点,那么的周长为( )
A.28 B. C. D.
6.(2022·广东深圳·高二期末)双曲线的左右焦点分别是,,直线与双曲线在第一象限的交点为,在轴上的投影恰好是,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
7.(2022·广东珠海·高二期末)已知双曲线:与椭圆:有相同的焦点,且一条渐近线方程为:,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
8.(2022·天津红桥·高二期末)设双曲线的方程为,过抛物线的焦点和点的直线为.若的一条渐近线与平行,另一条渐近线与垂直,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.
9.(2022·重庆·高二期末)已知曲线围成图形C,则( )
A.图形C关于x轴对称 B.图形C关于原点对称
C.图形C的周长是 D.图形C的面积是
10.(2022·广东深圳·高二期末)点P在圆上,点Q在圆上,则( )
A.两个圆心所在的直线斜率为 B.两个圆相交弦所在直线的方程为
C.两圆公切线有两条 D.|PQ|的最小值为0
11.(2022·浙江大学附属中学高二期末)设,是双曲线的左 右焦点,过作C的一条渐近线的垂线l,垂足为H,且l与双曲线右支相交于点P,若,且,则下列说法正确的是( )
A.到直线l的距离为a B.双曲线的离心率为
C.的外接圆半径为 D.的面积为18
12.(2022·重庆·高二期末)过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,为线段的中点,则( )
A.以线段为直径的圆与直线相切 B.以线段为直径的圆与轴相切
C.当时, D.的最小值为
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.(2022·广东深圳·高二期末)直线的倾斜角为_______________.
14.(2020·海南枫叶国际学校高二期末)已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且双曲线的渐进线方程为,则此双曲线方程为_________
15.(2022·广东深圳·高二期末)在平面直角坐标系中,双曲线的左、右焦点分别为,,点M是双曲线右支上一点,,则双曲线的渐近线方程为___________.
16.(2022·广东珠海·高二期末)已知双曲线:,,是其左右焦点.圆:,点为双曲线右支上的动点,点为圆上的动点,则的最小值是________.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(2022·广东深圳·高二期末)已知抛物线上的点M(5,m)到焦点F的距离为6.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点作直线l交抛物线C于A,B两点,且点P是线段AB的中点,求直线l方程.
18.(2022·广东深圳·高二期末)已知点,圆,点Q在圆上运动,的垂直平分线交于点P.
(1)求动点P的轨迹的方程;
(2)过点的动直线l交曲线C于A、B两点,在y轴上是否存在定点T,使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在,求出点T的坐标,若不存在,请说明理由.
19.(2022·天津红桥·高二期末)已知椭圆 的离心率 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为,若,求直线的方程.
20.(2022·广东珠海·高二期末)已知椭圆:,的左右焦点,是双曲线的左右顶点,的离心率为,的离心率为,点在上,过点E和,分别作直线交椭圆于,和,点,如图.
(1)求,的方程;
(2)求证:直线和的斜率之积为定值;
(3)求证:为定值.
21.(2020·海南枫叶国际学校高二期末)焦点在x轴上的椭圆C:经过点,椭圆C的离心率为.,是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点M为的中点(O为坐标原点),过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A,B两点,是否存在实数,使得;若存在,请求出的值,若不存在,请说明理由.
22.(2022·天津南开·高二期末)如下图,已知点是离心率为的椭圆:上的一点,斜率为的直线交椭圆于、两点,且、、三点互不重合.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:直线,的斜率之和为定值.
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