2022-2023人教版初中七年级数学第一章---有理数精品期末复习教案（解析版）

人教七上数学第一章--有理数
期末复习教学设计
课题 有理数 单元 第一章 学科 数学 年级 七年级
教材分析 第一章“有理数”的主要内容是有理数的有关概念及其运算。通过本章的学习，要使学生了解有理数产生的必要性、有理数的意义，能够进行有理数的运算，体会“数的扩张”的一致性，并能解决一些简单实际问题。
核心素养分析 本章教材注重突出学生的自主探索，通过一些熟悉的，具体的事物，让学生在观察、思考、探索中体会有理数的意义，探索数量关系，掌握有理数的运算方法及其教育价值。
学习 目标 1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 3.理解 乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算。 4.理解有理数的运算律，能用运算律简化运算。 5.能运用有理数的运算解决简单的问题。
重点 1.有理数的概念，大小比较和绝对值的概念 2.数轴的建立以及利用数轴建立起来的数形结合的数学思想 3.通过多有理数的运算和运算律的学习，提高学生的计算能力
难点 通过数轴、相反数、绝对值的学习，让学生在体验数形结合思想的同时，提高数学抽象能力。
第一章 有理数
一、本章思维导图
二、本章考点复习
知识点一、正数和负数
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考点1、正数和负数的概念
概念 正数：像8844、、0.5、10％、2022.........这样大于0的数. （数前面的“+”一般省略） （1）读法：如“+5”读作：“正5”或“5”. （2）符号“+”：作为运算符号是加号，作为性质符号是正号.作为符号可以省略不写. 负数：像—11034、— 、—0.5、—10％......这样在正数前面加上符号“—（负）”的数.（负号“—”不可省略）-------小于0的数. （1）读法：如“—8”读作：负8. （2）符号“—”：作为运算符号是减号，作为性质符号是负号.作为符号不可省略. 规定：“0”既不是正数，也不是负数. “+”可省略，“—”不能省略.
注意 正数和负数在书写时的区别: 正数前的“+”号可以省略，负前的“-”号一定不能省略! （2）在引入负数以后，“0”还表示“+”与“-”之间的分界点.
拓展 1.+”“-”的双重意义： ①作为运算符号是加、减号； ②作为数的性质符号是正、负号. 2. 带“+”号的数不一定是正数，带“-”号的数也不一定是负数. 3.正、负数的识别方法：不能简单的看“+”和“-”来判别正数和负数. （1）a>0，则a是正数，-a表示负数； （2）a<0，则a是负数，-a表示正数；
考点2、对“0”的认识
1.从数上看：
（1）0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界，是正负数的基准.
（2）负数<0<正数.
（3）0和正数统称为非负数，非负数a0.
（4）0和负数统称为非正数，非正数a0.
2.从实际意义上看：0不再仅仅表示没有，它具有丰富的意义：空罐里金币的数量、温度中的0℃、海平面的高度、标准水位、身高比较的基准……
考点3、用正数和负数表示具有相反意义的量
含义 （1）具有相反意义；（2）数量.
方法 具有相反意义的量：为了表示具有相反意义的量，我们把表示其中一种意义的量规定为正，用正数表示，那么与它意义相反的量就可以用负数表示.
特别提醒 具有相反意义的量的表述： 具有相反意义的量必须是成对出现的，单独一个量不能成为具有相 反意义的量.
(2)具有相反意义的量必须具备两个条件: 一是两个量所表示的属性相同，即表示的是同一类对象，也就是说这 两个量的单位相同； 二是两个量所表示的意义恰好相反. 具有相反意义的量的正负性是相对的，且是可以互换的. 描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降，增加与减少，向东和向西，盈利与亏损，收入与支出等 用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正是可以任意 择的，但习惯上把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.
注意 具有相反意义的量，只要求意义相反，而不要求数量一定相等，所以与 一个量成意义相反的量不止一个。
知识点二、有理数
考点1.有理数的概念
（1）定义：整数和分数统称为有理数.
（2）注意：
①概念中所用“统称”二字，它与说“整数和分数是有理数”的意思不大一样.
前者回避了分数是否包括整数的问题，即使把整数包括在分数范围内，说“统称”还是不错，而用后一种说法就欠妥了.
②分数（既约分数）都可表示成小数，但不是所有的小数都能表示成分数的.如圆周率就不能表示成分数.
有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以把有限小数和无限循环小
数看成分数.
拓展：无理数：无限不循环小数.
四类无理数：
无限不循环小数：0.1010010001……
π或与π相关的：π+1，,……
开方开不尽的数：，，……
三角函数：sin45°……
注意：π≠3.14，不取近似，除非题目要求，含π的都是无理数.
(2)引入负数后，对数的认识扩充到有理数，不要忘记整数和分数中都有
负数.
考点2.有理数的分类及“六非”
（1） 按有理数的概念分类： （2）按有理数的性质分类：
先按定义，再按符号 先按符号，在按定义
有理数 有理数
注意：0.25是分数，但 不是分数，是整数.
Eg: 判断：①正数和负数统称为有理数.(× 还有0，π，等)
②正数、负数和0统称为有理数.(× 比如π)
注意：
（1）有理数分类，分类的标准不同，分类的结果就不同，所以要按统一
标准分类；
（2）要想分类结果不重复、无遺漏，必须掌握两种分类标准，“整”和“分”
对应，“正”与“负”对应；0既不是正数也不是负数，它是整数也是有理数.
（3）圆周率π是正数，但不是有理数，千万要注意，类似，-等同样
也不是有理数.
（4）对有理数进行分类时，不要把两个标准混淆，也千万不要忽略0.
（5）遇到无限不循环小数要当心，要防止它混入有理数的队伍，尤其小心最容易被迷惑.
相关的六非：
非正数：0和负数
非负数：0和正数
非正整数：0和负整数
非负整数：0和正整数
非正有理数：0和负有理数
非负有理数：0和正有理数
注意：（1）“非”否点的只是符号，可用加“的”.如：非正“的”整数.
（2）有“非”就有0.
知识点三、数轴
考点1.数轴的概念
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
2.注意：
①数轴可以向两端无限延伸.
②数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．
③原点的位置，正方向的选择，单位长度大小这三个要素都是根据实际需
要确定的．
④数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上
的点所表示的数并不都是有理数．
特别提醒：
单位长度和长度单位不是一回事.单位长度可以任意选取，而长度单位是我
们在小学学过的一些为了规范长度而制定的基本单位，如m，dm，cm.
同一数轴中的单位长度一定要统一.
(3)原点、正方向、单位长度大小的确定都是根据实际需要“规定”的.如在确定
原点的位置时，若负数的个数较多，则原点选得靠右些，反之亦然.
考点2.数轴的画法:
（1）画直线（一般画成水平的）、定原点，标出原点“O”．
（2）取原点向右方向为正方向，并标出箭头．
（3）选适当的长度作为单位长度，并标出…，－3，－2，－1，1，2，3…各点.具体如下图.
　
（4）标注数字时，负数的次序不能写错，如下图.
　 　
考点3.数轴上的点与有理数的关系
1.一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
2.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
3.正数都在数轴的右边，正数大于0；负数都在数轴的左边，负数都小于0；正数大于一切负数.
4.注意：数轴上的点不都代表有理数，如.
考点4.数轴的应用：
（1）用数轴上点表示有理数.
（2）用数轴比较有理数的大小：
①由正、负数在数轴上的位置可知：
正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.
②右边的数总比左边的数大.
③比较大小时，用不等号顺次连接三个数要防止出现 的写法，正确应写成.
（3）用数轴解决与相反数和绝对值有关的问题：距离问题
a.有图有真像：
b.无图双方向：
特别提醒：
（1）数轴上的点并不都表示有理数.也就是说，数轴上的点与有理数并不是一一
对应关系.
（2）设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a
个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离也是a个单位长度.
当a是0时，表示数a的点就是原点.
知识点四、相反数
考点1.相反数的概念
（1）代数定义：像2和-2,5和-5这样，只有符号不同的两个数叫作互为相反数，把其中一个数叫作另一个数的相反数，如－2022是2022的相反数.
（2）几何定义：在数轴上，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点关于原点对称，所表示的两个数互为相反数.
另外还规定，0的相反数是0.
(3)表示:一个数前面放上一个“+”，得到的仍是这个数；一个数前面放上一个“-”，得到的就是它的相反数.
注意：
（1）任何一个数都有相反数，而且只有一个.
（2）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在.
（3）互为相反数的两个数只有符号不同.
特别提醒：
符号（相反）不同，数值（绝对值）相同.
成对出现（夫妻数）相反数是成对出现的，不能单独存在.单独的一个数不能说是相反
数.
考点2.求一个数的相反数
方法：在一个数的前面添上“－”号就成为原数的相反数.
若 表示一个有理数，则 的相反数表示为－ .
在一个数的前面添上“+”号仍与原数相同.
例如，＋7=7，特别地，＋0=0，－0=0.
求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可.
考点3.多重符号的化简
（1）当最前面的符号是“+”，可以直接省略不写.
（2）当一个数的前面有奇数个负号，则这个数是负数；
一个正数的前面有偶数的负号，则这个数是正数.简称“奇负偶正”.
①奇、偶：“—”的个数;
②正、负：结果的符号。
注意：只能推出结果符号的正负：—（—a）=a,要看a的正负.
考点4.互为相反数的性质
（1）若 互为相反数，则 ；反之若 ，则 互为相反数.
（2）若两个数互为相反数，则这两个数位于原点的两侧，且到原点的距离相等.
（3）正数的相反数是负数，即当有理数a>0，则-a<0
(4)负数的相反数是在正数，即当有理数a<0，则-a>0.
(5)0的相反数是0.也只有0的相反数是它的本身.
知识点五、绝对值
概念 数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 我们规定，0的绝对值是0，记作|0|=0. 1.绝对值的几何意义：数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对 值记作.读作“a的绝对值”. 2.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0.
法则 有理数绝对值的求法： 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 也就是: 当a是正数时，|a|=a；当a是负数时，|a|=-a；当a是0时，|a|=0. 求数的绝对值： ① ； ② ； ③.
注意 表示一个数的点与原点的距离越远，这个数的绝对值越大，与原点 的距离越近，这个数的绝对值越小.
(2)距离不可能是负数，故任何数的绝对值都是非负数.
(3)绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，如绝对值是2的 数有2和-2.
拓展 互为相反数的两个数的绝对值相等.反过来绝对值相等的两个数相等或互为相反数.例如，若a和b互为相反数，则|a|=|b|；若|a|=|b|，则a=b或a=-b.
注意 ①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是 根据性质去掉绝对值符号. ②任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号 是负号，绝对值是.
二、绝对值的性质：
1.绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0，即.在实数范围内，
绝对值最小的数是零．
2.在数轴上，一个数离原点越近，绝对值越小；离原点越远，绝对值越大.
3.一个数的绝对值要么等于它本身，要么等于它的相反数：
若则；若.
4.绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，即若，则.
即，则.
5.互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等的两个数相等或互为相反数.即若，则或.
6.任何实数都有唯一绝对值，并且任何一个实数都不大于它的绝对值，即.且.
三、绝对值非负性的应用
如果若干个非负数的和为0，那么若干个非负数都必为0.
例如：若，则，，.
四、绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，
（2）；；
当时，
当时，
若，则
（3）；
（4），
对于，等号当且仅当、同号或、中至少有一个时，等号成立；
对于，等号当且仅当、异号或、中至少有一个时，等号成立．
知识点六、有理数的四则运算
考点1.有理数的加法
1.有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
（2）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
（3）互为相反的两数相加的0（若a、b互为相反数，则a+b=0）.
（4）一个数同0相加，仍得这个数.
2. 有理数的加法运算律：
（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.a+b=b+a
（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
a+b+c=a+（b+c）=b+(a+c)
考点2.有理数的减法
有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.a-b=a+(-b).
考点3.有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
（2）任何数与0相乘都得0.
2.有理数的倒数：乘积为1的两个数互为倒数.
3.多个有理数相乘：
（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.
（2）几个有理数相乘，如果其中有一个因数为0，那么积为0.
4.有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变.
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.
（3）分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
总结：奇负偶正，先把带分数化成假分数再乘；
分配律、结合律、交换律的灵活应用.
考点4.有理数的除法
有理数的除法法则：
1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 倒数.
2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
除法易错点：①除法没有分配律；
②“单÷多”形式问题两种解法： （1）先将括号里面通分运算出结果，然后按顺序进行计算
(
（2）先计算原式的倒数，求解之后再取倒数即为原式的结果
)
考点5.有理数的乘除混合运算
1.一般将除法转化为乘法；
2.确定积的符号；
3.最后求出结果.
知识点六、有理数的乘方
1.乘方的定义：
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂.在an中，a 叫
做底数，n 叫做指数.
2.注意：（1）一个数可以看做是这个数本身的一次方，指数1通常省略不写.
（2）因为an就是n个a相乘，所以可以利用乘法运算计算乘方运算.
3.乘方运算的符号法则:
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数.
（2）正数的任何次幂都是正数.
（3）0的任何正整数次幂都是0.
几个常见的易错点：
； ； ； ；
（注意：考试当中一定要注意有无括号，指数的位置）
知识点七、有理数的混合运算
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.
知识点八、科学计数法、近似数和有效数字
一、科学计数法：
1.定义：把一个大于10的数表示成 的形式（其中a是整数位只有一位的数，n是原数的整数位减1.即1≤｜a｜＜10，n是正整数），这种计数方法叫做科学记数法.（对于小于-10的数也可以类似的表示）
例如：就是科学记数法表示数的形式．
也是科学记数法表示数的形式．
2.注意：（1）用科学计数法只改变数的形式，不改变数的大小.
（2）当把一个用科学计数法 表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把10n去掉.
二、准确数与近似数
1.准确数：确切地反应了实际的数是一个准确数.
2.近似数：与实际数接近，但有差别的数是一个近似数.
3.近似数的精确度：一个数只是接近实际数，但与实际数还有差别，它是一个近似数。 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
4.近似数的精确度的表示方法：
①用数位表示：如精确到千位或千分位
②用小数点表示：如精确到0.1或0.01等
③对带有单位的数用单位表示：如精确到千克、米等.
5.注意：万，亿.
三、题型归纳，方法技巧总结
题型一、用正、负数表示具有相反意义的量 1.此类题型解题的关键是弄清楚各问题的“基准”. 对于有基准的问题，要建立表示相反意义的正、负数与实际问题中的相关量之间的关系，从而解决问题.同时，注意0是正数与负数的分界，但并不是所有的分界都是0.
2.在实际生产、生活中，常用“±”表示某个量的允许值的范围，一般约定“+”表示“多出”或“超过”，“—”表示“少于”或“不够”.如用“a±x”表示某个量的范围，其中a表示标准数量，±x表示允许在标准数量上变动的范围.
例题1.用正负数表示具有相反意义的量.
（1）如果零上8 ℃记为+8 ℃，那么-9 ℃表示的意义是_______________ ___；
（2）如果下降了10m记为-10米，那么上升6m记为_ _____________________；
（3）如果前进25km记为+25km，那么后退8km记为___ _________________；
（4）淘淘的妈妈开的超市,今天营利为500元,记作+500元,那么昨天亏损40元记作_______.
【解析】
（1）基准是0℃，零上记为正，零下记为负；
（2）基准是水位不升也不降，下降记为负，上升记为正；
（3）基准是原地不动，前进记为正，后退记为负；
（4）基准是不亏也不赚，盈利记为正，亏损记为负.
【答案】(1)零下9 ℃; (2)+6m;(3)-8km;（4）-40元.
例题2.一袋面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的有（ ）
A.24.70千克 B.25.30千克 C.25.51千克 D.24.80千克
【解析】 “25±0.25千克”的含义是这袋面粉的质量在（25-0.25）千克与（25+0.25）千克之间，即24.75—25.25千克.只要面粉的质量在24.75—25.25千克之间就是合格产品.
【答案】D.
题型二、有理数的大小比较 1.代数法：负数<0<正数. 2.数轴法：数轴上右边的数比左边的数大. 3.绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小. 4.作差法：，，． 5.作商法：若，，， ，． 6.取倒法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小． 7.特殊值法：给题目中的字母一个特定的值，然后代入求值，进而比较大小.
例题3.实数在数轴上的对应点如图所示，试比较的大小
【解析】数轴法，作差法，倒数法.根据在数轴上的位置可知，，所以.
【答案】.
例题4.在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来.
，，，，，，，
【解析】⑴先画出数轴，在数轴上方标注所求数（如图下所示），根据数轴上的大小顺序，按从左到右依次用“＜”号连接起来.
即:
【答案】.
例题5.实数在数轴上的对应点如图，试比较的大小.
【解析】根据在数轴上的位置可知，，且的绝对值比的绝对值大，由数轴，作差法得.
【答案】
题型三、数轴的应用 1.数轴上点的移动问题： 可以转化为有理数的加减运算，当初始点未知时，只需要设元解简单方程即可.
2.整点覆盖问题： 线段长为个单位长度，当线段端点在数轴的整数位置覆盖点最多为，当无线段端点在在数轴整点时覆盖点最少.
3.确定原点问题： 将所有点所对应的数用同一个未知数的代数式表示.
4.数轴上两点间的距离为两点对应数的差的绝对值，注意数轴上到已知点距离为定值的点有两个，这个易错点，做题时应当特别小心.
5.数轴上线段定值问题： 数轴上常常会出现动点运动过程中产生定线段或线段和差为定值，这类问题一般通过表示出线段的表达式代入计算即可证明.
6.数轴的折叠问题： 数轴折叠过程中要搞清楚，两对应点与折痕处点的基本规律，即折痕对应点为中点，若两对应点分别记为m、n（m>n），中点记为x， 则：m-x=x-n，所以
7.数轴找规律问题：图形（圆、正方形、等边三角形）在旋转的过程中，根据图形周长有几个单位长度，每旋转一周即循环一次，即可找出对应的规律.
8.数轴上的动点运动问题：这类问题考查了规律型：认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键.
题型四、绝对值的化简求值
1.条件型绝对值化简
例题6. 已知，化简.
【解析】因为，所以，原式.
【答案】.
2.绝对值零点分段化简
（1）零点的定义：当时，，此时是的零点值．
（2）零点分段讨论的一般步骤：
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．
即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．
例题7.化简：（1）；（2）
【解析】绝对值零点分段化简，分类讨论.
【答案】（1）原式.（2）原式.
3.分式型绝对值化简：
由绝对值的定义及性质化简：若，则；若，则.
例题8.求下列代数式的值：
（1） _；（2） ；
（3） _____；（4） _____ ．
（5） ____ ____；（6） _________ ．
【解析】由，则；若，则进行分类讨论化简.
【答案】
（1）、.（2）、.
（3）、、.（4）、、.
（5）原式，将换元本质就与（2）完全相同，
∴原式=、.
（6）原式将、换元本质就与（3）完全相同.∴原式=、、.
题型五、绝对值的实际应用
1.绝对值的几何意义：
（1）|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；
（2）|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．
例题9.下面材料：已知点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为.
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，
当A、B两点都不在原点时：
(1) 如图2，点A、B都在原点的右边，
(2) 如图3，点A、B都在原点的左边，
(3) 如图4，点A、B在原点的两边，
综上，数轴上A、B两点的距离
回答下列问题：
(1) 数轴上表示-2和-5两点之间的距离是 ；
(2) 数轴上表示和-1的两点A、B之间的距离是，如果，那么为 ；
(3) 当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 .
【解析】由绝对值的几何意义可得.
【答案】(1) 3 ； (2) 1或 ； （3）
2.绝对值之和定值、最值的探讨：
设是常数（是大于的整数），且，是任意实数，求的最小值的一般方法.
根据题意，结合数轴，不难得到：
⑴当为奇数时，取“中间点”：即当（为正整数）时，点应取在 点处，原式的值最小，最小值为
⑵当为偶数时，取“中间段”：即n=（是正整数）时，应取点和点之间的任意位置，原式的值最小，最小值为.
例题10.小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”.
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了。”小明说：“利用数轴可以解决这个问题。”他们把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3.
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 .
（2）已知，求相应的x的取值范围及的最大值。写出解答过程。
【解析】（1），8 ;（2）当时，．
题型六、有理数的速算和巧算
“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算.
“消”：将相加得0的数（如互为相反数的数）对消.
“凑”将相加可得整数的数凑整,
“合”：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）分别组合.
“分”：将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式.
“化”：将小数与分数或乘法与除法相互转化.
“变”：利用运算定律把运算顺序改变，从而简化计算.
“约”：将互为倒数的数或有因数和倍数关系的数约简.
“逆”：正难则反，逆用运算律以简化运算.
“观”：根据0和1在运算中的特性，注意观察算式特征，可收到事半功倍的效果.
裂项相消：注意观察分母上相乘的两数之差与分子是否相同。若相同，直接裂项；若不相同，需要先在整体前面乘上相对应的分数.
例如：
例题10.速算巧算.
（1）．
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）
(2)原式=
（3）原式=
（4）原式
（5）原式=
（6）原式