高中数学人教A版2019必修第二册 6.2 《平面向量的运算》能力探究课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
人教A版同步教材名师课件
平面向量的运算
---能力探究
选择合适的法则计算向量的加法
1.向量加法的三角形法则与平行四边形法则的选择依据
（1）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,当出现共线向量求和时,一般选择三角形法则.
（2）求作三个或三个以上的向量和时,用三角形法则更简单.
（3）在实际问题中选择平行四边形法则较多.
2.在使用三角形法则时,应注意“首尾连接”,这个方法可推广到多个向量相加的情形;在使用平行四边形法则时,应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同.
推测解释能力、概括理解能力
3.用向量加法解决实际问题的一般步骤
（1）由题意作出相对应的几何图形,用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量.
（2）利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加法运算.
（3）利用直角三角形的知识解决问题.
推测解释能力、概括理解能力
典型例题
典例1、如图,在重300N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,要使整个系统处于平衡状态,两根绳子的拉力为多少？
思路
本题以物理问题为背景考查向量的实际应用.根据已知条件抽象出具体的向量表示图形,根据向量的线性运算法则和运算律分析计算.
数学抽象、数学建模
典型例题
典例1、如图,在重300N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,要使整个系统处于平衡状态,两根绳子的拉力为多少？
数学抽象、数学建模
如图,作 ,使∠ =30°,∠ =60°,则
∠ =∠ =60°,∠ =90°.
设向量 分别表示两根绳子的拉力,则 表示物体所受的重力,且 =300N.
解析
典型例题
典例1、如图,在重300N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,要使整个系统处于平衡状态,两根绳子的拉力为多少？
数学抽象、数学建模
所以 = ,
.
所以与铅垂线成 30°角的绳子的拉力是,
与铅垂线成 60°角的绳子的拉力是 N.
解析
向量线性运算的基本方法
分析计算能力
向量数乘运算类似于实数运算,遵循括号内的式子优先运算的原则.将相同的向量看作“同类项”进行合并.要注意向量的数乘所得的结果仍是向量,同时要在理解其几何意义的基础上,熟练运用运算律.向量的线性运算也可以通过方程形式来考查,把所求向量当作未知量,利用解代数方程的方法求解.
典型例题
典例2、若,其中 , 是已知向量,求,.
联立得方程组解得
思路
本题通过向量等式的形式, 考查了向量的线性运算, 运算过程中展现了方程思想.
解析
逻辑推理、数学运算
综合问题解决能力
向量线性运算的应用
1.用已知向量表示其他向量
用已知向量表示另外一些向量是用向量解题的基本功,除利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理,因此在求向量时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量,运用加、减、数乘运算来求解,即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系,运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,运用向量的减法,充分利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例的平面几何的性质,把未知向量转化成与已知向量有直接关系的向量来求解.此类问题直接化简或转化有困难时,还可以建立向量方程组求解.
综合问题解决能力
2.三点共线问题的求解思路
(1)证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线,向量共线定理是解决向量共线的依据.
(2)若三点共线,则向量 在同一直线上,因此必定存在唯一一个实数使得向量之间存在线性关系,而向量共线定理是判断线性关系的依据.
(3)一般地,要判断三点是否共线,只需看是否存在实数,使得 .
对于平面上任意一点及三点,若三点共线,则存在实数,使得 且 ;若存在实数 且 ,使得 ,则三点共线.这是一个非常重要的结论,利用它可以快速解决某些问题,应熟练掌握.
典型例题
典例3、如图所示,在中,与 相交于点.
(1)用表示 ;
(2)若 ,证明:三点共线.
思路
本题以几何图形为载体,考查向量的线性运算和向量共线定理,用向量表示其他向量时尽量转化到平行四边形或三角形中,证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线,本题运用数形结合的思想进行计算、推理.
直观想象、逻辑推理
典型例题
典例3、如图所示,在中,与 相交于点.
(1)用表示 ;
(2)若 ,证明:三点共线.
直观想象、逻辑推理
(1)解:因为,所以,
所以.
因为所以,所以.
解析
典型例题
直观想象、逻辑推理
(2)证明:因为,所以.
因为,所以,即与共线.因为与有公共点,所以三点共线.
解析
典例3、如图所示,在中,与 相交于点.
(1)用表示 ;
(2)若 ,证明:三点共线.
简单问题解决能力
利用向量数量积判断图形的形状
根据向量的数量积的有关知识判断平面图形的形状关键在于由已知条件建立向量的数量积、模、夹角之间的关系,其中移项、平方是常用手段,可以出现向量的数量积、模等信息.判断三角形的形状,一般是从角或边的角度来考虑,利用向量的数量积判断三角形形状时,一般从角的方面来判断,即先利用两个向量的夹角公式求出夹角,再下结论.
典型例题
典例4、已知平面上四个互异的点 满足,则的形状是__________.
思路
这是一道向量线性运算与数量积相结合的题目,利用向量的运算法则进行推理,根据数量积的性质判断三角形的形状.
逻辑推理
因为, ,
由,即
由平行四边形对角线垂直平分可得是等腰三角形.
解析
等腰三角形
解决与向量的模有关的问题的基本思路
1.根据数量积的定义 得,这就是求向量的模的方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它算术平方根即为模.对于复杂的向量也是如此.例如,求 ,可先求 ,再取其算术平方根即为 .
2.对于或,是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的重要依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外,根据平面图形求向量的模时,注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
分析计算能力、推测解释能力
典型例题
典例5、已知三个非零平面向量两两夹角相同,且 ,则 __________.
根据三个非零平面向量两两夹角相同分析判断夹角可以出现两种情况，然后进行分类讨论推理、分析、计算.
解析
逻辑推理、数学运算
思路
根据题意，三个非零平面向量两两夹角相同，分2种情况讨论：
(1)若三个向量的夹角都是0,则;
(2)若三个向量的夹角都是,则,则.
或
求两向量夹角的基本思路
1.求两非零向量的夹角 或其余弦值一般利用夹角公式 求解.
2.根据题中条件分别求出和,确定时要注意 ,当,;当 时,;当时, .
3.此外,往往将夹角的最值问题转化为模的范围研究,因此基本不等式是重要的工具.
分析计算能力
典型例题
典例6、已知向量,则 的夹角为__________.
本题利用向量的模的运算性质和数量积的运算公式分析计算向量的夹角，运算过程中结合方程思想.
思路
数学运算
解析
根据题意,设向量,向量,向量的夹角为.由向量,得，则有，变形可得，即，①由得则有，变形可得，②
将①②联立可得，，解得,
又由，则，则，则.
解决与数量积最值有关问题的基本方法
1.与数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.
（1）解决思路
①建立目标函数的解析式,转化为求函数（二次函数、三角函数）等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以还有一种思路是数形结合,应用图形的几何性质.
简单问题解决能力
解决与数量积最值有关问题的基本方法
② 或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外,根据平面图形求向量的模时,注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
（2）基本方法
先进行数量积的有关运算,将数量积的最值问题转化为函数最值问题或几何量的最值问题,利用函数最值的基本方法求出相关的最大值或最小值,或利用图形直观求出相关的最值.
简单问题解决能力
典型例题
典例7、平面向量的夹角为60° ,且 则的最大值为___________.
逻辑推理、数学运算
解析
,因为所以,
所以,所以,
典型例题
典例7、平面向量的夹角为60° ,且 则的最大值为___________.
逻辑推理、数学运算
解析
所以
,以,则 ，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.
向量的运算与三角形的“四心”问题
1.三角形的内心
三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的交点,内心到三角形三边的距离相等.
2.三角形的外心
三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外心到三角形三个顶点的距离相等.若是内一点,满足 ,则点为的外心.
综合问题解决能力
3.三角形的垂心
三角形三条高线的交点.
4.三角形的重心
三角形三条中线的交点.若是内一点,且满足,则是的重心.
综合问题解决能力
典型例题
典例8、 是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点 满足,且,则点的轨迹一定通过的_________.(填重心、垂心、外心或内心)
先将已知等式变形,抽象成以 点为起点的向量间的关系,再来推理判断点满足的条件解决问题.本题考查了向量的几何意义以及三角形的性质,要注意对原式的适当转化是解题的关键.
思路
数学抽象、逻辑推理
典型例题
典例8、 是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点 满足,且,则点的轨迹一定通过的_________.(填重心、垂心、外心或内心)
数学抽象、逻辑推理
解析
设的中点为.由已知原式可化为.
即 ,所以,所以三点共线.
所以点在边的中线上.故 点的轨迹一定过的重心.
重心