高中数学人教A版2019必修第二册 6.2 《平面向量的运算》知识探究课件（21共张PPT）

(共21张PPT)
人教A版同步教材名师课件
平面向量的运算
---知识探究
1.向量加法的概念及三角形法则:已知非零向量 , ,在平面内任取一点,作= ,= ,则向量叫做 与 的和,记作,即++ .求两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
2.向量加法的平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量 , ,以为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量 与 的和,我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.
3.对于零向量与任意向量 ,我们规定 .
4.一般地,我们有 当且仅当 , 方向相同时等号成立.
探究点1 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
（1）三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调“共起点”.
（2）三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
（3）当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
（4）根据三角形法则作出的图形是根据平行四边形法则作出的图形的一半.
（5）已知个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向末尾向量的终点即为这个向量的和.这称为向量求和的多边形法则.首尾顺次相接的若干个向量构成一个封闭图形,则它们的和为0.
要点辨析
典例1 如图,在中,分别是上的点,为线段延长线上一点,,连接,那么
(1)_____;(2)______;
(3) _____;(横线上只填一个向量)
解析
本题考查向量加法运算,分析题意可知四边形为平行四边形,由向量加法的运算法则观察图形、推测可知:
观察记忆能力
典型例题
典例1 如图,在中,分别是上的点,为线段延长线上一点,,连接,那么
(1)_____;(2)______;
(3) _____;(横线上只填一个向量)
解析
观察记忆能力
典型例题
(1);
(2)
(3)
探究点2 向量加法运算律
1.向量加法的交换律:.
2.向量加法的结合律: .
要点辨析
1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
一质点从点 出发,(1)先走过的位移为向量再走过的位移为向量:(2)先走过的位移为向量,再走过的位移为向量,则方案(1)(2)中质点一定会到达同一终点.
2.多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行,
如;
+
典例2 设是一个非零向量,则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
推测解释能力
典型例题
解析
本题通过对向量运算的加法的交换律和结合律进行化简,结合零向量的性质推测判断.,所以.选项D中有 与方向相同.
A
探究点3 相反量与向量的减法运算
1.相反向量：与向量长度相等,方向相反的向量.记作.规定:零问量的相反问量仍是零问量.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.,如果互为相反向量,则.
2.向量减法(共起点,后指前):向量加上的相反向,叫做与的差.即 ,求两个向量差的运算叫做向量的减法.
作法:在平面内取一点,作 ,则 .
要点辨析
求两向量差的方法：
(1)可以转化为向量的加法来进行,如 ,可以先作 ,然后作即可.
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为减向量的终点指向被减向量的终点的向量.
典例3 如图所示,四边形 是平行四边形,是该平行四边形外一点,且 ,试用向量表示向量.
分析计算能力
典型例题
思路
本题利用向量加、减法,用已知向量表示并计算未知向量
解析
四边形 是平行四边形,所以,
探究点4 向量的数乘运算
从两个角度看向量的数乘：
(1)代数角度:是实数, 是向量,它们的积仍是向量:另外的条件是或 .
(2)几何角度:当 时,有 ,这意味着表示向量 的有向线段在原方向 或反方向 上伸长到 的 倍;当
时,有 ,这意味着表示向量的有向线段在原方向 或反方向 上缩短到 的 .
要点辨析
1.是实数, 是向量,它们的积仍是向量,实数与向量可以相乘,但是不能相加减,如,均没有意义.
2.对于非零向量 ,当.表示 方向上的单位向量.
3.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”“提取公因式”,但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量,实数指的是向量的系数.
典例4 若是非零向量,是非零常数,下列结论正确的是( )
A.与 的方向相反 B.
C. D.与的方向相同
概括理解能力
典型例题
解析
本题通过理解向量数乘的概念和不同情况下数乘向量长度方向的不同,进行辨析.
的正负不确定,故 与 的方向相同或相反, A错误;
当时, B.错误;
为实数, 是向量,不能比较大小,C错误;
因为 ,所以与的方向相同,D正确.
D
探究点5 向量共线定理
向量 与共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使.
(1)判定:是一个非零向量,若存在唯一一个实数,使,则向量与非零向量共线.
(2)性质:若与非零向量共线,则存在唯一一个实数,使.
要点辨析
1.向量共线的判定定理和性质定理中,向量均为非零向量,即两定理均不包括与共线的情况.
2. 是判定两个向量共线的充要条件,其本质是位置关系的相互转化,体现了数形结合的高度统一.
典例5 已知向量 ,其中 不共线,向量.问是否存在这样的实数,使向量与共线
分析计算能力、推测解释能力
典型例题
解析
,要使与 共线,则应有实数,使 ,即,即即.
故存在这样的实数,只要就能使与共线.
思路
本题通过向量共线定理判定向量共线的条件.采用假设法:设向量与 共线,建立关系式.
探究点6 向量向量的数量积
定义
记法
规定
几何意义
要点辨析
求两个向量的数量积时,需明确两个关键点：相关向量和夹角.若相关向量是两个或两个以上的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.
典例6 (1)已知向量的夹角为 ,且 ,则
(2)已知向量满足 ,且 ,则与的夹角为_____.
分析计算能力
典型例题
思路
本题考查向量数量积的有关知识,正用求向量的数量积,逆用求向量的模、夹角,结合向量垂直的充要条件进行逻辑推理和分析计算.
典例6 (1)已知向量的夹角为 ,且 ,则
(2)已知向量满足 ,且 ,则与的夹角为_____.
分析计算能力
典型例题
解析
(1)的夹角为 , ,.
(2)与的夹角,依题意有,所以, 因为,所以.