高中数学人教A版2019必修第二册 6.2 《向量的加法运算》名师课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
玛曲
合作
卓尼
思考：玛曲到卓尼的路程大约是多少？位移和路程相等吗
200公里
100公里

1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的模和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？
向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的向量。
相等向量：方向相同并且长度相等的向量（向量可以自由平移）
向量的模：有向线段的长度。
向量的方向：有向线段的方向。
零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
复习引入
人教A版同步教材名师课件
向量的加法运算
学习目标
学 习 目 标 核心素养
通过实例理解向量加法运算的运算法则及实际背景. 数学抽象
理解向量加法运算的几何意义并会作图，加深对向量两要素的理解. 直观想象
体会数形结合思想在向量中的实际运用. 直观想象
课程目标
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
向量加法的概念及其几何意义 直观想象 水平1 水平2 1.向量的加法运算可以类比实数的加法运算，以位移的合成、力的合成两个物理模型为背景引入。而向量的减法运算是通过类比实数的减法运算引入的。 2.由于向量有方向，因此在进行向量运算时，不但要考虑大小问题，还要考虑方向问题。 3.与实数乘法的运算律类似，向量数乘也有“结合律”“分配律”。运用向量数乘的运算律时，要注意其几何意义。 4向量的加法、减法及数乘运算统称为向量的线性运算，其中，向量的减法运算、数乘运算都以加法运算为基础。 5.向量共线的条件实际上是由向量的数乘运算推出的，用它可以解决几何中三点共线和两直线平行的问题，注意区别向量平行与直线平行。 6.学习了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以用向量表示，这就为用向量法解决几何问题奠定了基础。 7.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用8.向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立。 【考查内容】1.向量加法、减法运算法则及其几何意义是高考的热点，常见题型是在三角形、四边形、正六边形中考查首尾顺次相连的若干向量的和为0。2.向量共线的判定向量的数乘运算及其几何意义。3.向量的数量积是高考的常考内容之以考查概念和运算为主，重点是向量夹角的求解和垂直关系的判定，有时结合几何图形考查向量数量积的运算
【考查题型】选择题、填空题、解答题
【分值情况】学考3分，高考5分
向量加法的交换律与结合律 数学抽象 水平1 水平1
相反向量的概念 数学抽象 水平1 水平1
向量减法的概论及其几何意义 直观想象 水平1 水平2
向量的数乘运算 数学运算 水平1 水平2
向量数乘运算的几何意义 直观想象 水平1 水平2
平面向量的数量积及其几何意义 数学抽象 水平1 水平2
平面向量的数量积与向量投影的关系 直观想象 水平1 水平2
平面向量的数量积的性质及运算律 数学抽象 水平1 水平2
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
B
C
上述分析表明，位移的合成可看作是向量的加法。
求两个向量和的运算,叫做向量加法,上述方法称为向量加法的三角形法则(首尾相接首尾连)
探究新知
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A B
C
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A B
C
注意 1. 当两个向量共线时,可运用三角形法则。
2. n个向量首尾相接连加时，任可用三角形法则
探究新知
O
F
E
G
E
G
A
B
E
O
C
F1
F2
F
G
O
C
F1
F2
F为F1与F2的合力
思考4
探究新知
F1
F2
F
F1 + F2 = F
上述分析说明,力的合成也是向量的加法.
这种方法叫向量的平行四边形法则(首首相接作对角).
注意 向量共线时不能用平行四边形法则.
规定
探究新知
A
B
C
(1)同向
(2)反向
A
B
C
思考
两个向量共线时,它们的加法与实数加法有什么关系
探究新知
判断 的大小
1、不共线
o·
A
B
探究新知
2、 共线
(1) 同向
(2)反向
探究新知
B
C
D
A
a+b+c
a+b
b+c
a
b
c
B
C
D
A
b
a
b
a
a+b
数的加法满足交换律与结合律,即对任意R,有
任意向量的加法是否也满足交换律与结合律
探究新知
典例讲解
作法（1）在平面内任取一点O
A
B
这种作法叫做向量加法的三角形法则
还有没有其他的做法？
例1
o
例1
A
B
C
作法 在平面内任取一点O
这种作法叫做向量加法的平行四边形法则
o
典例讲解
例2、如图，已知向量求作和向量.
法一：可先作，再作()＋ ，即.如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝ ，接着作向量＝ ，则得向量＝ ，然后作向量＝ ，则向量＝ 为所求．
解析
(1)在平面内任取一点O，作＝ ， ＝ ；
(2)作平行四边形AOBC，则＝ ＋ ；
(3)再作向量＝ ；
(4)作平行四边形CODE，则＝ ＋ ＝ .
即即为所求．
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，
典例讲解
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤:
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和.
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤:
①平移两个不共线的向量使之共起点．
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
方法归纳
1.如图，已知向量，求作向量．
解：(1)作＝ ， ＝ ，则＝ ，如图(1)．
(2)作＝ ， ＝ ，则＝ ，如图(2)．
(3)作＝ ， ＝ ，则＝ ，如图(3)．
变式训练
例3、化简：
(1)＋；(2) ＋＋；(3) ＋＋＋＋.
(1)＋ ＋
(2) ＋＋＋＋＋＋＋
(3) ＋＋＋＋＋＋＋＋
＋＋＋＋＋
＋
典例讲解
解析
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简.
向量运算中化简的两种方法
方法归纳
2、如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2) ＋＋＋.
变式训练
解：(1) .
(2).
例4、长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
典例讲解
例4、长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
典例讲解
C
A
D
船速
B
水速
船实际航行速度
解析
(1)
例4、长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
典例讲解
解析
(2)
船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为68°.
因为所以.
在Rt△ABC中,
C
A
D
B
例5、某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
典例讲解
如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以， 为邻边作 OACB，则此人的实际速度为＋ ＝ .
由勾股定理知| |＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．
解析
方法归纳
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
3、如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是| |＋||；两次飞行的位移的和指的是＋＝ .依题意有| |＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以||＝＝ ＝800(km)，其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
变式训练
1．对|| |－| ||≤| ＋ |≤| |＋| |成立的说明
(1)当， 至少有一个为零向量时，不等式显然成立．
(2)当， 不共线时，作＝ ， ＝ ，则＝ ，如图①所示，根据三角形边长关系，有|| |－| ||＜| ＋b|＜| |＋| |.
(3)当， 非零且同向时，作＝ ， ＝ ，则＝ ,如图②所示，此时| ＋ |＝| |＋| |.
(4)当， 非零且反向时，若| |＞| |.作＝ ， ＝ ，则＝ ，如图③所示，此时| ＋ |＝| |－| |.同理可证| |＜| |时，| ＋ |＝| |－| |；| |＝| |时，| ＋ |＝0＝| |－| |.
综上分析可知|| |－| ||≤| ＋ |≤| |＋| |.
素养提炼
2．向量加法运算律的推广
向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立，恰当地使用运算律可以实现简化运算的目的．如在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)．
素养提炼
当堂练习
1.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是（ ）
A.
2.在矩形ABCD中， 的长度等于（ ）
C.12 D.6
3.如图，四边形ABCD是梯形， （ ）
4.小船按垂直于对岸的方向行驶，静水速度的大小为km/h，同时河水流速的大小为10km/h，则小船实际航行速度的大小为_______km/h.
D
B
20
1.向量加法的三角形法则
（首尾相接首尾连)
2.向量加法的平行四边形法则
(首首相接作对角)
3.向量加法满足交换律及结合律
归纳小结
归纳小结
向量的加法
平行四边形法则
概念
三角形法则
运算律
应用
作 业
课本10页 练习：1、3、5