高中数学人教A版2019必修第二册6.2.1 《向量的数乘运算》名师课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
复习1:向量的加法
B
A
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b
a
o.
O.
C
a+b
b
a
A
B
b
a+b
a
复习引入
复习2:向量的减法
o.
B
A
a-b
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
a
b
a
-b
o.
B
A
a
b
复习引入
人教A版同步教材名师课件
向量的数乘运算
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义. 数学抽象
理解两个平面向量共线的含义，能根据条件判断两个向量是否共线. 逻辑推理
A
B
C
O
已知非零向量，作和
P
Q
M
N
探究新知
一、向量的数乘运算的定义：
注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向
探究新知
数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若 ,当时，沿的方向放大了倍.当时，沿的方向缩短了倍.当时，沿 的反方向放大了倍.当时，沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题.
二、数乘向量的几何意义：
探究新知
(1) 根据定义，求作向量3(2)和(6) (为非零向量)，并进行比较.
(2) 已知向量 、，求作向量2()和22，并进行比较.
=
探究新知
三、向量的数乘运算满足如下运算律：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
探究新知
思考:
向量共线定理(重点)
问题一：如果那么，向量与是否共线？
问题二：如果向量与共线，那么，？
对于向量与，以及实数
向量 与共线，当且仅当有唯一一个实数，使
探究新知
例1：计算下列各式
典例讲解
(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
向量线性运算的基本方法
(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
方法归纳
1、计算：
变式训练
例2、如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝，＝，试用表示下列向量．
(1) ＝________；(2) ＝________．
解析:
因为∥， ||＝2||
所以＝2，＝.
(1) ＝＋＝＋ .
(2) ＝＋＋
＝－－ ＋
＝－－ ＋
＝ －
＋
－
变式训练
在本例中，若条件改为＝ ， ＝ ，试用表示向量.
因为＝＋＋，＝＋＋，
所以2＝(＋)＋＋＋(＋)．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，
所以＋＝，＋＝.所以2＝＋ ，
所以＝(－－)＝－ － .
典例讲解
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
方法归纳
2、如图，四边形OADB是以向量＝， ＝为边的平行四边形．又＝， ＝，试用表示，，.
变式训练
∵
∴
∵
∴
∴
解析：
例3、如图，已知任意两个向量，试作你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
A
B
C
O
解析
典例讲解
例4、已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ ＋(1－λ) (λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
证明：
(1)因为＝λ ＋(1－λ) ，
所以＝λ ＋－λ，－＝λ－λ，
所以＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．
又与有公共点A，所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，
则与同向，且||>||>0，所以λ>1.
典例讲解
方法归纳
(1)若，且与所在的直线无公共点，则这两条直线平行.
(2)若，且与所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.
3、已知两个非零向量不共线．
(1)若＝，＝2，＝3()，求证A，B，D三点共线；
(2)求实数k，使k与共线．
证明：
(1)因为＝＋＋＝6＝6，所以A，B，D三点共线．
变式训练
(2)法一:因为k与共线，所以k，所以
因为非零向量不共线，所以.
法二:因为k与共线，且非零向量不共线，所以，所以.
典例讲解
例5、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A.外心 B内心 C.重心 D.垂心
解析
，表示向量上的单位向量， 表示向量上的单位向量，以单位向量与单位向量为邻边作菱形 ，，
点P在∠BAC的平分线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.
B
方法归纳
（1）三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等.在△ABC中，若0），则直线AP通过△ABC的内心.
（2）三角形的外心：三角形三条边中垂线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等.在△ABC中，若，则点O是△ABC的外心.
（3）三角形的重心：三角形三条中线的交点.在△ABC中，若，则点G是△ABC的重心.
（4）三角形的垂心：三角形三条高线的交点.
变式训练
解析
4、在△ABC中，AB=BC=2，AC=3，设O是△ABC的内心，若
则的值为__________.
连接AO并延长，交BC于E，则AE是∠BAC的平分线，所以，所以.
又因为A，O，E三点共线，所以
素养提炼
素养提炼
当堂练习
1.化简等于（ ）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC边上的中线，且（ ）
A.
3.在三棱锥，D为BC的中点，则（ ）
A.
4.设D为△ABC所在平面内一点，，则（ ）
A
A
A
当堂练习
5.已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中定能使共线的是（ ）
① ；
②存在相异实数；
③ （其中实数x，y满足x+y=0）；
④已知梯形ABCD，其中
A.①② B.①③ C.② D.③④
6.若非零向量与不共线， 共线，则实数k的值为（ ）
7.设E为△ABC的边AC的中点， ，则，的值分别为（ ）
8.已知向量， 是两个不共线的向量，且向量共线，则实数的值为___________.
A
C
-1或3
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线
2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa 向量a与b共线
归纳小结
归纳小结
向量的
线性运算
向量的线性运算
向量的数乘的定义
向量的数乘的运算律
向量共线定理
求相关参数的值
定理内容
三点共线
应用
作 业
课本16页 练习：1、2、3