高中数学人教A版2019必修第二册 6.2.2《向量的数量积》名师课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
思考1:前面我们学面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢？
思考2:一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？
F
s

┓
复习引入
位移S
O
A
一个物体在力 的作用下产生位移 , 那么力 所做的功
θ表示力的方向与位移的方向的夹角.
θ
F
F
θ
S
W=
复习引入
我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念.
这就是本节课所要学面向量的数量积
|
|
b
|
|
a
=
·
b
a
复习引入
人教A版同步教材名师课件
向量的数量积
学习目标
学 习 目 标 核心素养
掌握向量的数量积及其几何意义. 数学抽象
掌握向量数量积的相关性质及其运算律. 逻辑推理
利用向量的数量积解决相关问题. 直观想象
一、平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量和，它们的夹角为 ,我们把数量 叫做与的数量积 (或内积),记作.
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
探究新知
注意：
(1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量．
(2)两个向量的数量积称为内积，写成 ．
探究新知
注意：
(3) 向量的数量积和实数与向量的积(数乘)不是一回事．
数量积 的结果是一个数量(实数)；
实数与向量的积(数乘)还是一个向量．
探究新知
两个非零向量和，作，则 叫做向量和 的夹角．
与 反向
O
A
B
O
A
与 同向
O
A
B
B
记作
与 垂直，
O
A
B
注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是共同起点的
二、两个向量的夹角
探究新知
向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为负，何时为零？
探究新知
三、投影:
B1
O
A
B
b
a

A1
O
A
B
b
a

叫做向量 在 方向上(向量 在 方向上)的投影.
探究新知
向量在向量上的投影是数量,不是向量,什么时候为正，什么时候为负？
O
A
B
O
A
B
B
O
A
O
A
B
O
A
B
探究新知
四、平面向量数量积的几何意义:
探究新知
平面向量数量积的运算性质
思考1：设与都是非零向量，若⊥，则·等于多少？反之成立吗？
⊥ ·＝0
思考2：当与同向时，·等于什么？当与反向时，·等于什么？特别地， · 等于什么？
当与同向时， ·＝︱︱︱︱；
当与反向时，·＝－︱︱︱ ︱；
·＝2＝︱︱2或︱︱＝.
探究新知
思考3：︱·︱与︱︱︱ ︱的大小关系如何？为什么？
︱·︱ ≤ ︱︱︱︱
思考4： ·与是什么关系？为什么？
·＝
思考5：对于实数λ，(λ )· 有意义吗？它可以转化为哪些运算？
(λ )· ＝λ(·)＝ ·(λ )
探究新知
思考6：对于向量，()· 有意义吗？它与·＋·相等吗？为什么？
A1
B1
A
B
O
C
θ
θ1
θ2
思考7：对于非零向量，，()· 有意义吗？(·)·与·(·)相等吗？为什么？
(·)·≠ ·(·)
探究新知
思考8：对于非零向量,若·＝ ·，那么＝吗？
思考9：对于向量，等式(＋)2＝2＋2·＋ 2和(＋)(－)＝2－2是否成立？为什么？
探究新知
例1、(1)已知两个单位向量的夹角为，若向量＝－2＝3＋4，求·.
(2)设正三角形ABC的边长为，＝， ＝， ＝，求·＋·＋·．
(1)由题设知||＝||＝1且·＝，
所以·＝(－2)·(3＋4)＝3－2·－8＝3－2×－8＝－6.
因为||＝||＝||＝，且与与与的夹角均为120°，
(2)如图，
所以·＋·＋·＝××cos 120°＝－3.
典例讲解
解析
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
向量数量积的求法
方法归纳
1、(1)已知两个单位向量的夹角为60°, ＝ ＋(1－)．若·＝0，则＝______.
(2)如图，在 ABCD中，| |＝4，| |＝3，∠DAB＝60°，求：① · ；② · ；③ · .
变式训练
解：（1）因为·＝0 ，所以·[t＋(1－t)]=0，即，又因为， 的夹角为60°，所以，所以2.故填2.
（2）①因为 //，且方向相同，所以的夹角是0°，
所以·| |·| |
②因为 //，且方向相反，所以的夹角是180°，
所以| |·| |.
③因为 的夹角是60°,所以的夹角是120° ，
所以| |·| |.
例2、设向量满足＝，()⊥，||＝1，则||＝_____．
因为＝，所以＝－()．
因为()⊥，所以·()＝0，
所以－()·()＝0，
所以2－2＝0，所以||＝||＝1.
若本例增加条件“⊥”，求||.
由已知可得＝－() ，而()⊥，
有－()·()＝0 ，所以2－2＝0 ，
又||＝1 ，得||＝1 ，而⊥，
所以2＝[－()]2＝2＋2＋2＝2，即||＝.
典例讲解
解析
变式训练
方法归纳
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用2＝||2，勿忘记开方．
(2)·＝2 ＝||2或||＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
求向量的模的常见思路及方法
2、(1)已知平面向量与的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|＋2|＝(　　)
A．　　　　B．2 C．4 D．12
(2)已知向量满足||＝2，||＝3，|＋|＝4，则|－|＝________.
(1)|＋2|＝＝
＝ ＝ ＝2.
解析
B
(2)因为|＋|＝4 ，所以| ＋|2＝42，所以＝16.①
因为||＝2，||＝3 ，所以＝||2＝4,＝||2＝9，
代入①式得4＋2＋9＝16，得2＝3.
又因为(－)2＝ ＝4－3＋9＝10，所以|－|＝.
变式训练
例3、(1)已知非零向量，满足||＝4||，且⊥(2a＋)，则与的夹角为(　　)
A．　　　 B．　　 C．　　 D．　　
(2)已知非零向量，满足||＝1，且()·()＝.
①求|| ；②当＝时，求向量与的夹角θ的值．
(1) 设，的夹角为θ，因为 ⊥(2a＋) ，所以· (2a＋) ＝0，
解析
所以 2||2＋＝0，即2||2＋||||cos θ＝0.
因为||＝4||，所以 2||2＋4||2cos θ＝0，
所以 cos θ＝－，所以θ＝.
C
(2)①因为()·()＝，即＝，
所以||2＝ ||2－＝1－＝，故||＝.
②因为cos θ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.
典例讲解
(2)注意事项：在个别含有||，||与·的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值.
求向量夹角的基本步骤及注意事项
(1)步骤：
方法归纳
3、已知||＝2||＝2，且在方向上的投影为－1.
(1)求与的夹角θ；(2)求(－2)·；
(3)当λ为何值时，向量λ＋与向量－3互相垂直？
解：(1)因为||＝2||＝2 ，所以|| ＝2， || ＝1.
又在方向上的投影为||cos θ＝－1，
所以＝||||cos θ＝－1，所以cos θ＝－，所以θ＝.
(2)(－2)·＝－22＝－1－2＝－3.
(3)因为λ＋与－3互相垂直，所以(λ＋)·(－3)＝λ2－3λ＋·－32＝0，所以4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，所以λ＝.
变式训练
(1) ·等于||与在方向上的投影的乘积，也等于||与在方向上的投影的乘积．其中在方向上的投影与在方向上的投影是不同的．
(2) 在方向上的投影为||cos θ(θ是与的夹角)，也可以写成.
(3)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
素养提炼
1．对投影的三点诠释
素养提炼
2．向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
当堂练习
1.若向量,满足，则等于（ ）
2.已知，设是与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A.4 B.-4 C.2 D.-2
3.如果向量,满足且与的夹角为，那么等于（ ）
D.3
4.在△ABC中， ，则三角形的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
5.已知，与方向相同的单位向量为，向量在向量上的投影向量是等于（ ）
A.3 C.2
B
D
C
当堂练习
6.若非零向量,满足，则与的夹角为（ ）
7.若向量与的夹角为60°,,则向量的模为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.12
8.若向量,满足，则等于（ ）
A.3 C.10
9.已知向量,的夹角为120°,同向,则的最小值为（ ）
A.1
C
C
D
归纳小结
向量的数量积
向量数量积的性质
向量的数量积的定义
投影向量
数量积运算的运算律
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.
归纳小结
2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.
3. 利用︱︱＝ 可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法.
4.利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用.
归纳小结
作 业
P20 练习：1、2、3；
P22 练习：1、2、3.