高中数学人教A版2019必修第二册6.2 《平面向量的运算课时1》教学设计

《平面向量的运算》教学设计
课时1向量的加法运算
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.向量的加法运算 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模 【考查内容】 高考对于平面向量的运算的考查多以三个方向:(1)掌握向量加法、减法的计算,理解其几何意义;(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;(3)理解平面向量数量积的含义和运算 【考查题型】 以选择题、填空题为主,解答题常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等内容相结合
2.向量的减法运算 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
3.向量的数乘运算 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
4.向量的数量积 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容包括向量线性运算的法则和运算律及应用、平面向量的数量积的运算和应用.
1.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背
景引入的,使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上.由于向量有方向,在进行运算时,不但要考虑大小,而且要考虑方向,应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别,更好地把握向量加法的特点.
类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),向量减法的实质是减去一个向量等于加上这个向量的相反向量;向量数乘运算则是相同向量的连加.
2.平面向量的数量积运算是在研究完向量的线性运算之后的又一重要运算,它把向量的长度和三角函数联系起来,为解决有关的几何问题提供方便,特别是为解决线段垂直问题提供方便.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.向量的加法运算 2.向量的减法运算 3.向量的数乘运算 4.向量的数量积 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
学生在上节课中学习了向量的概念及表示、相等向量、平行向量等概念,知道向量可以平移,另外学生在物理中学习过力的合成、位移的合成等矢量的加法,并且学生对数的运算了如指掌,这些都是学习本节内容的基础.学生在物理的力学和位移学习中,已经初步了解矢量的合成,认识矢量与标量的区别,对位移和路程也有了一定的体验,这为学生学习向量的运算提供背景,并能够从物理中的力和位移的合成中去感受向量的运算法则,通过与数的运算法则类比,学生能够猜想出向量的运算法则.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.向量的加法运算
2.向量的减法运算
3.向量的数乘运算
4.向量的数量积
【教学目标设计】
1.理解向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
3.理解向量的运算律.
4.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强学生的应用意识.
5.掌握向量数量积的定义和运算性质,运用数量积表示两个向量的夹角.
【教学策略设计】
一是创设问题情景,充分调动学生求知欲,并以此来激发学生的探究心理.
二是运用启发式教学方法.就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程,以求获得最佳效果.并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.
三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法.让学生在探索学习知识的过程中,领会常见数学思想方法,培养学生的探索能力和创造性素质.
四是注意在探究问题时留给学生充分的时间,以利于开放学生的思维.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法、探究教学法,还有_______________________________________
【教学重点难点】
重点 1.向量加法、减法的运算法则及几何意义.
2.向量数乘运算的定义及其几何意义.
3.向量数量积的概念与运算律.
难点 1.理解向量加法的运算法则与向量减法的定义.
2.理解向量数量积的概念与运算律.
3.向量数量积的应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么
生:向量:既有方向又有大小的量.
平行向量:方向相同或相反的向量.
相等向量:长度相等并且方向相同的向量.
师:用有向线段表示向量,向量的大小和方向是如何反映的 什么是零向量和单位向量
生:向量的大小:有向线段的长度.
向量的方向:有向线段的方向.
零向量:长度为零的向量叫零向量.
单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量.
师:我们知道,数可以进行运算,因为有了运算而使数威力无穷,那么,向量是否也能像数一样进行运算呢 人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发,引进了向量的运算.接下来我们就要研究平面向量的运算法则,探索向量运算的性质,体会向量运算的作用.本节课我们就先来学习向量的加法.
【设计意图】
首先通过复习上节所学,建立知识间的联系,同时用具有较大的开放性的问题开场,有利于学生站在数学知识整体高度认识问题、思考问题,并知道探究向量从哪里开始,要到哪里去,提高学生概括、类比推理的能力
教学精讲
探究1 向量加法的三角形法则
师:物理中的位移和力都是向量,它们可以合成.我们先来看一个位移合成的问题.
【情景设置】
探究向量的实加法运
如图,某质点从点A经过点B到点C,则这个质点的位移怎么表示
【以学定教】
利用物理情境,启发学生与物理中的位移的合成联系起来,寓知识于生活实际中,同时让学生明白,运算来自客观现实,并在物理中大有用途,体现数学的实际应用.
【学生回忆位移的合成的有关知识,分组交流,教师点拨】
生:质点的位移是两次位移,的和.
师:位移的合成是把两个向量“合”在了一起.即位移的合成可以看作向量的加法运算,如何进行两个向量的加法运算 数学中任意两个向量相加时,它们未必是首尾相连的,应如何处理
生:物理中的矢量是可以平移的,向量应该也可以.
【学生进行讨论,交流,类比位移的“合成”过程,教师给予肯定并点评】
生:将两个向量平移,得出向量加法的三角形法则,一个向量的终点与另一个向量的起点相接,这样从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量即为所求的和向量.
师:请同学们看一下向量加法的三角形法则.
【要点知识】
向量加法的三角形法则
如图,已知非零向量在平面内任取一点,作则向量叫做与的和,记作,即两个向量和的运算叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
【概括理解能力】
以物理中位移的合成,启发学生,由此引出向量加法的概念与三角形法则.以教师提问,学生讨论,教师提示,师生共同得出向量加法的三角形法则,培养学生的概括理解能力,同时达到培养学生直观想象,数学抽象的核心素养
师:我们可以用这样的口诀记忆向量加法的三角形法则:尾首相接,首尾相连.
探究2 向量加法的平行四边形法则
师:前面我们用位移的“合成”引入了向量加法的三角形法则,那么物理学中,对于矢量的合成,还有其他方法吗 我们再来看一个问题.
【情景设置】
探究向量加法的平行四边形法则
如图所示,在光滑的平面上,一个物体同时受到两个外力与的作用,你能作出这个物体所受的合力吗
【设情景 巧引入】
挖掘学生头脑中的认知,以物理中力的合成为实例,不仅加深学生对向量加法定义的理解,而且借助力的合成的平行四边形法则,引出向量加法的平行四边形法则
师:我们知道合力在以和为邻边的对角线上.
生:以为邻边作,其中向量就是两个外力的合力.
【学生思考,讨论,动手操作后得出结论,教师给予肯定和点评】
师:由此,我们得出向量加法的平行四边形法则.
【要点知识】
向量加法的平行四边形法则
如图,以同一点为起点的两个已知向量和为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是和的和,我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
对于零向量与任意向量,我们规定:
【简单问题的解决能力】
通过力的合成引出向量加法的平行四边形法则,通过学生探究,提升学生分析问题与解决问题的能力,达成数学抽象的核心素养
师:我们可以用这样的口诀记忆向量加法的平行四边形法则:共起点,和为对角线.
师:通过向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习我们先完成下面这道例题.
【典型例题】
利用三角形法则和平行四边形法则作向量
例1 如图,已知向量和,求作向量.
【意义学习】
设置例1明确如何作出两个向量的和,进一步帮助学生理解向量加法的定义、几何意义,强化学生的作图意识,帮助学生掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则
师:我们可以用什么方法作图
生:三角形法则与平行四边形法则.
师:那么同学们自己用两种方法作出这两个向量的和.
【学生独立思考,自主完成,教师指定同学到黑板上作图,并进行总结点评】
生:作法1 在平面内任取一点,如图(1),作则
生:作法2 在平面内任取一点,如图(2),作以为邻边作,连接,则
师:向量加法的平行四边形法则与三角形法则,它们一致吗
生:向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是一致的,只是适用的情形有所不同.
师:向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是一致的,解决具体问题时,可以有选择地使用.向量加法的三角形法则是尾首相接,首尾相连,向量的平行四边形法则是起点相同,邻边作形,对角为和.
【情景设置】
探索之间的关系
1.如果向量共线,它们的加法与数的加法有什么关系 你能作出向量吗
2.结合例1,探索之间的关系.
【深度学习】
利用向量加法的三角形法则,研究向量模之间的关系式,加深了对向量加法概念及几何意义的理解,同时加强了数与形之间的联系.提升了学生的发现创新能力和推测解释能力,同时也体现了直观想象的核心素养
师:对于问题1,共线向量包括哪几种情形
生:两个非零共线向量方向相同;两个非零共线向量方向相反;含有零向量的两个向线共线.
师:不妨以当同向和反向来分别探究.
【学生自主探究、合作交流,教师点拨】
生:(1)当同向时,
当反向时,
【活动学习】
教师引导学生对于特殊情况动手作图,加深对向量运算法则的应用能力,提高学生对问题的理解
师:结合问题1及前面例1,继续探究问题2,你能得出什么结论
生:当同向时,当反向时,
当不共线时,
师:同学们回答正确！
【要点知识】
之间的关系
一般地,我们有当且仅当方向相同时等号成立.
探究3 向量加法的运算律
师:数的加法满足交换律、结合律,向量的加法是否也满足交换律和结合律呢
【教师引导学生思考,学生板书,教师给予评价】
师:首先验证向量加法是否满足交换律,如图,作以为邻边作.根据此图,同学们来验证是否满足交换律.
【少教精教】
在验证向量加法的交换律与结合律时,教师给出适当图形,引导学生自行验证交换律,同时引导学生自行画图,验证结合律,不拘泥于教材中作图方式,达到少教精教,并且有利于学生创新迁移能力的形成
生:因为又所以向量加法满足交换律.
师:同学们画图再来验证向量加法的结合律.
【深度学习】
此处还可以引导学生深度理解向量加法的“多边形法则”,即多个(不少于三个)向量依次首尾相加,和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点
生:
所以
师:由此可见,向量的加法也满足交换律和结合律.
【概括理解能力】
类比数的加法满足交换律、结合律,得到向量的加法也满足交换律和结合律,通过学生动手画图实践验证向量的运算律,培养学生概括理解能力
【要点知识】
向量加法的运算律
交换律: 结合律:
【巩固练习】
向量加法运算律的应用
化简下列各式:
(1);
(2);
(3).
【学生独立做题,教师出示练习答案,学生订正】
【分析计算能力】
根据探究内容进行向量加法的运算律的应用练习,巩固所学,使学生熟练掌握向量的运算法则和运算律,提高分析计算的能力
【巩固练习】
向量加法运算律的应用
(1);
(2);
(3).
师:接下来我们再看一道关于向量加法在实际生活中的应用例题.
【典型例题】
向量加法运算的实际应用
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮船进行运输,如图所示,一艘船从长江南岸点出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15km/h,同时江水的速度为向东6km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;
(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°).
【简单问题解决能力】
以实际问题为背景,体现向量加法在实际问题中的应用,学生需将实际问题转化为向量问题,从而利用向量的加法构造平行四边形,进而求相应长度、角度,提升学生的分析计算能力.通过例题进一步理解向量的运算,用向量解决实际问题,提高学生用向量解决问题的能力
【学生小组讨论,试写出解题过程,教师给出详细的解答步骤】
解:(1)如图所示,表示船速,表示水速,以,为邻边作,则表示船实际航行的速度.
(2)在Rt中,,
所以.
因为,
所以利用计算工具可得.
因此,船实际航行速度大小约为,方向与江水的流速间的夹角约为.
【设计意图】
通过本节课的学习,帮助学生形成系统的知识结构.教师引导学生自主总结当堂课重点内容,培养学生对学习内容的整体认识和把握.通过实际问题的讲解,学生能够体会向量在生活中的应用,提高概括理解、分析问题、简单问题解决的能力,体现了直观想象、数学运算、数学建模、数学抽象的核心素养
师:我们总结一下本节课所学
【课堂小结】
向量的加法运算
1.向量加法的三角形法则
向量加法的三角形法则:尾首相接,首尾相连.
2.向量加法的平行四边形法则
(1)向量加法的平行四边形法则:共起点,和为对角线.
(2),,之间的关系:.当且仅当方向相同时等号成立.
3.向量加法的运算律
交换律:;结合律:.
【课后作业】教材P10练习第3~5题
教学评价
学完本节课,学生应对向量的线性运算(包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算)与向量的数量积深刻理解,并且能够熟练应用,包括运算律、几何意义.初步理解从问题中抽象出向量模型,再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果,是利用向量解决问题的基本特征.向量的运算又是解决物理学、工程技术有关问题的重要方法之一,体现数学来源于实践,又应用于实践的思想.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推测解释、分析计算、猜想探究)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求
应用所学知识,完成下面各题:
1.下列命题不正确的是( )
A.单位向量不一定都相等
B.若与是共线向量,与是共线向量,则与是共线向量
C.,则
D.若与为单位向量,则
解析:根据单位向量的意义可以判定AD是正确的;零向量与任何向量都共线,取时可以判定B是错误的;根据向量加法和减法的几何意义和模的意义,可以判定C是正确的.
答案:B
2.如图所示,在中,分别是的中点,.
(1)用表示向量;
(2)求证:三点共线.
思路:本题运用向量的加法法则和减法法则解决向量的线性运算问题.
解析:(1)解:如图,延长到,使,
连接,得到平行四边形.
所以
(2)证明:由(1)可知又因为有公共点B,所以B,E,F三点共线.
【综合问题解决能力】
利用向量的加、减、数乘运算进行向量的线性表示,利用向量共线定理证明三点共线.提高了学生推测解释及综合问题解决的能力,达成了数学运算,逻辑推理的核心素养
3.已知与的夹角是.
(1)计算:①;②.
(2)当为何值时,
思路:本题考查向量的数量积的运算和性质.利用.数量积的模的运算方法.
解析:(1)由已知得,.
①∵.
②∵.
∴.
(2)∵,
∴,即,
即.
即时,与垂直.
【分析计算能力】
利用向量的数量积,求向量的模,利用向量垂直的充要条件求参数,提高学生分析计算、推测解释的能力,达成了数学运算、逻辑推理的核心素养
4.已知.
(1)求;
(2)求向量与向量的夹角的余弦值.
思路:本题考查向量的数量积的运算和性质,利用.注意数量积的夹角的运算方法.
解析:(1)∵
.
(2)∵,
∴向量与向量的夹角的余弦值为.
【分析计算能力】
利用向量的数量积和夹角公式,求向量的模和夹角的余弦值.提高学生分析计算、推测解释及综合问题解决的能力,达成了数学运算,逻辑推理的核心素养
【以学定教】
本节课是对向量的线性运算的学习,类比讲解法有利于学生从物理背景和数的运算中接受新知识,对于平面向量的运算,探索其运算性质,体会向量运算的作用.教学中保持知识的科学性和系统性,有助于学生认同新概念的合理性,便于加深学生对向量运算内涵的理解,提高学生的应用意识
教学反思
整个教学设计是将教师定位于学生学习的引导者、组织者和合作者,以教材为依据,挖掘教材所蕴含的思想方法和数学逻辑,创设教学情境,激发学生学习兴趣.在讲解向量的运算法则时,教师的一种处理方法是适当结合物理知识进行力的分解,启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解,会有更大的收获.在进行向量数量积问题的教学时,涉及平行投影等知识与方法,可根据不同的学生对象进行取舍.教学中根据班级的实际情况,在教学中积极践行新课程理念,倡导合作学习;注重学生动手操作能力与自主探究能力的培养.
【以学论教】
本节有许多内容可以类比学习,应大胆地让学生进行类比推理,让学生成为课堂的主体.
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