高中数学人教A版2019必修第二册 6.2 《平面向量的运算课时2》教学设计

《平面向量的运算》教学设计
课时2向量的减法运算
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.向量的加法运算 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模 【考查内容】 高考对于平面向量的运算的考查多以三个方向:(1)掌握向量加法、减法的计算,理解其几何意义;(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;(3)理解平面向量数量积的含义和运算 【考查题型】 以选择题、填空题为主,解答题常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等内容相结合
2.向量的减法运算 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
3.向量的数乘运算 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
4.向量的数量积 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容包括向量线性运算的法则和运算律及应用、平面向量的数量积的运算和应用.
1.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背
景引入的,使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上.由于向量有方向,在进行运算时,不但要考虑大小,而且要考虑方向,应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别,更好地把握向量加法的特点.
类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),向量减法的实质是减去一个向量等于加上这个向量的相反向量;向量数乘运算则是相同向量的连加.
2.平面向量的数量积运算是在研究完向量的线性运算之后的又一重要运算,它把向量的长度和三角函数联系起来,为解决有关的几何问题提供方便,特别是为解决线段垂直问题提供方便.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.向量的加法运算 2.向量的减法运算 3.向量的数乘运算 4.向量的数量积 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
学生在上节课中学习了向量的概念及表示、相等向量、平行向量等概念,知道向量可以平移,另外学生在物理中学习过力的合成、位移的合成等矢量的加法,并且学生对数的运算了如指掌,这些都是学习本节内容的基础.学生在物理的力学和位移学习中,已经初步了解矢量的合成,认识矢量与标量的区别,对位移和路程也有了一定的体验,这为学生学习向量的运算提供背景,并能够从物理中的力和位移的合成中去感受向量的运算法则,通过与数的运算法则类比,学生能够猜想出向量的运算法则.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.向量的加法运算
2.向量的减法运算
3.向量的数乘运算
4.向量的数量积
【教学目标设计】
1.理解向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
3.理解向量的运算律.
4.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强学生的应用意识.
5.掌握向量数量积的定义和运算性质,运用数量积表示两个向量的夹角.
【教学策略设计】
一是创设问题情景,充分调动学生求知欲,并以此来激发学生的探究心理.
二是运用启发式教学方法.就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程,以求获得最佳效果.并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.
三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法.让学生在探索学习知识的过程中,领会常见数学思想方法,培养学生的探索能力和创造性素质.
四是注意在探究问题时留给学生充分的时间,以利于开放学生的思维.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法、探究教学法,还有_______________________________________
【教学重点难点】
重点 1.向量加法、减法的运算法则及几何意义.
2.向量数乘运算的定义及其几何意义.
3.向量数量积的概念与运算律.
难点 1.理解向量加法的运算法则与向量减法的定义.
2.理解向量数量积的概念与运算律.
3.向量数量积的应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们,我们先来看这样一个问题:在某地的一条大河中,水流速度为,摆渡船需要以的实际航速到达河对岸,那么摆渡船自身应以怎样的速度行驶呢？如何解决这个问题.
生:摆渡船自身的速度与水流速度的和就是实际航行的速度.
师:上节课我们学习了向量的加法运算,这个问题相当于已知两向量的和与其中一个向量,求另一个向量.这就是本节课我们要研究的课题一向量的减法运算.
【设情景 巧激趣】
从生活实际问题出发,创设情境,激发学习兴趣,同时体现向量的应用价值
教学精讲
探究1 相反向量与向量减法的概念
师:同学们在初中学过相反数的概念,请回忆什么是相反数.
生:实数的相反数是,它们的绝对值相等,在数轴上关于原点对称.
师:类比相反数的概念,如何定义相反向量？
生:向量的相反向量与它的模相等,方向相反.
师:向量的相反向量与它的模相等,方向相反,那么的相反向量又是什么呢？零向量的相反向量是什么？
【情境学习】
创设相反数情境,引导学生思考,类比、联想、抽象出相反向量的概念.达到数学抽象的核心素养形成
【学生通过独立思考,阅读教材,得出相应的概念,教师展示标准概念】
【要点知识】
向量与数量
我们规定,与长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量,记作.由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此互为相反向量,于是.
我们规定:零向量的相反向量仍是零向量.
师:任意向量与其相反向量的和是什么
生:根据相反向量的定义,得出.
师:任意向量与其相反向量的和是零向量.如果互为相反向量,那么.
类比实数减法,如何运用相反向量定义向量的减法
【引导学生联想、类比、尝试定义向量的减法】
生:实数对于向量,有.
师:下面我们用严谨的语言来定义向量的减法.
【概括理解能力】
类比实数的相反数是,定义相反向量,是为帮助学生定义向量减法做铺垫,从而引导学生定义出向量减法的概念
【要点知识】
向量的减法
向量加上向量的相反向量,叫做与的差,即.
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
【少教精教】
类比实数的减法是加法的逆运算,加深学生对向量减法概念的理解
探究2 向量减法的几何意义
师:已知向量和,向量的几何意义是什么 请同学们作出.
【学生独立画图、小组交流,教师点拨】
生:过程如下:
如图,设,连接,由向量减法的定义知,
.
在四边形中,,所以四边形是平行四边形,所以.
【先学后教】
教师提出问题后,学生通过自主探究、交流,得出两个向量减法的作法,最后由教师总结出具体的方法,使学生对方法的理解更好,掌握更牢
【要点知识】
向量减法的几何意义
如图,已知向量,在平面内任取一点,作,则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
【概括理解能力】
学生在自主探究的过程直观感知向量减法的几何意义,最后经过教师多媒体总结向量减法的几何意义,形成具体概念,提升学生的观察记忆能力和概括理解能力
师:如果从的终点指向的终点作向量,那么所得向量是什么？
生:根据向量减法的几何意义,得出所得向量为.
师:如果,怎样作出
【学生独立画图,教师组织学生代表展示讲解】
生:过程如下:
(1)当两个向量同向时:
(2)当两个向量反向时:
师:下面巩固对向量减法的认识,请看例题.
【深度学习】
首先引导学生对一般位置关系(不共线)向量减法的几何意义进行探究与讨论,总结出向量减法的几何意义,在此基础上教师提出共线向量的情形,引导学生讨论,达到让学生明确向量减法几何意义的目的,同时也体现了数学概念的严谨性
【典型例题】
利用向量减法几何意义作
例1 如图,已知向量,作向量.
【学生自主画图,教师引导学生作图和解题,教师出示规范解答】
【典例解析】
作法:如图,在平面内任取一点,作,则
,
【概括理解能力】
通过例1,分析作差向量的位置关系,利用向量减法的概念和几何意义进行作图,体现了概括理解能力,同时巩固了对向量减法的认识
师:我们再看一道例题.
【典型例题】
向量减法的应用
例2 在平行四边形中,,你能用表示向量吗
【意义学习】
学生不仅能根据向量减法的几何意义,向量减法的三角形法则画出已知向量的差,还能运用所学知识化简向量式,用向量表示其他向量
【教师请两名学生板书,教师巡视,师生共同评价】
生解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道
,
同样,由向量的减法,知
.
师:学习完向量的减法运算,我们继续巩固练习.
【巩固练习】
向量的减法运算
如图,是平行四边形的两条对角线的交点,则下列等式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
生:对于A,,A错误;对于B,,故B错误;对于C,,C错误,选D.
师:这节课就学到这里,本节课同学们有哪些收获呢？
【整体学习】
通过练习巩固基础知识,突出重点较为全面的使学生对向量减法的认识更加深刻.整体学习平面向量的减法运算
【课堂小结】
向量的减法运算
1.相反向量
我们规定,零向量的相反向量仍为零向量.
2.向量减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
3.向量减法的几何意义
已知向量在平面内任取一点,作,则.即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
【设计意图】
本节课通过类比帮助学生引出新知识,通过小结梳理知识点,理解向量减法的概念及向量减法的几何意义;熟练掌握向量减法的三角形法则以及向量减法的运算.发散学生思维,培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神
【课后作业】
教材P12练习第1~3题
教学评价
学完本节课,学生应对向量的线性运算(包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算)与向量的数量积深刻理解,并且能够熟练应用,包括运算律、几何意义.初步理解从问题中抽象出向量模型,再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果,是利用向量解决问题的基本特征.向量的运算又是解决物理学、工程技术有关问题的重要方法之一,体现数学来源于实践,又应用于实践的思想.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推测解释、分析计算、猜想探究)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求
应用所学知识,完成下面各题:
1.下列命题不正确的是( )
A.单位向量不一定都相等
B.若与是共线向量,与是共线向量,则与是共线向量
C.,则
D.若与为单位向量,则
解析:根据单位向量的意义可以判定AD是正确的;零向量与任何向量都共线,取时可以判定B是错误的;根据向量加法和减法的几何意义和模的意义,可以判定C是正确的.
答案:B
2.如图所示,在中,分别是的中点,.
(1)用表示向量;
(2)求证:三点共线.
思路:本题运用向量的加法法则和减法法则解决向量的线性运算问题.
解析:(1)解:如图,延长到,使,
连接,得到平行四边形.
所以
(2)证明:由(1)可知又因为有公共点B,所以B,E,F三点共线.
【综合问题解决能力】
利用向量的加、减、数乘运算进行向量的线性表示,利用向量共线定理证明三点共线.提高了学生推测解释及综合问题解决的能力,达成了数学运算,逻辑推理的核心素养
3.已知与的夹角是.
(1)计算:①;②.
(2)当为何值时,
思路:本题考查向量的数量积的运算和性质.利用.数量积的模的运算方法.
解析:(1)由已知得,.
①∵.
②∵.
∴.
(2)∵,
∴,即,
即.
即时,与垂直.
【分析计算能力】
利用向量的数量积,求向量的模,利用向量垂直的充要条件求参数,提高学生分析计算、推测解释的能力,达成了数学运算、逻辑推理的核心素养
4.已知.
(1)求;
(2)求向量与向量的夹角的余弦值.
思路:本题考查向量的数量积的运算和性质,利用.注意数量积的夹角的运算方法.
解析:(1)∵
.
(2)∵,
∴向量与向量的夹角的余弦值为.
【分析计算能力】
利用向量的数量积和夹角公式,求向量的模和夹角的余弦值.提高学生分析计算、推测解释及综合问题解决的能力,达成了数学运算,逻辑推理的核心素养
【以学定教】
本节课是对向量的线性运算的学习,类比讲解法有利于学生从物理背景和数的运算中接受新知识,对于平面向量的运算,探索其运算性质,体会向量运算的作用.教学中保持知识的科学性和系统性,有助于学生认同新概念的合理性,便于加深学生对向量运算内涵的理解,提高学生的应用意识
教学反思
整个教学设计是将教师定位于学生学习的引导者、组织者和合作者,以教材为依据,挖掘教材所蕴含的思想方法和数学逻辑,创设教学情境,激发学生学习兴趣.在讲解向量的运算法则时,教师的一种处理方法是适当结合物理知识进行力的分解,启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解,会有更大的收获.在进行向量数量积问题的教学时,涉及平行投影等知识与方法,可根据不同的学生对象进行取舍.教学中根据班级的实际情况,在教学中积极践行新课程理念,倡导合作学习;注重学生动手操作能力与自主探究能力的培养.
【以学论教】
本节有许多内容可以类比学习,应大胆地让学生进行类比推理,让学生成为课堂的主体.
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