高中数学人教A版2019必修第二册 6.2 《平面向量的运算课时3》教学设计

《平面向量的运算》教学设计
课时3向量的数乘运算
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.向量的加法运算 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理 数学建模 【考查内容】 高考对于平面向量的运算的考查多以三个方向:(1)掌握向量加法、减法的计算,理解其几何意义;(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;(3)理解平面向量数量积的含义和运算 【考查题型】 以选择题、填空题为主,解答题常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等内容相结合
2.向量的减法运算 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
3.向量的数乘运算 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
4.向量的数量积 数学抽象 直观想象 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容包括向量线性运算的法则和运算律及应用、平面向量的数量积的运算和应用.
1.向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背
景引入的,使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上.由于向量有方向,在进行运算时,不但要考虑大小,而且要考虑方向,应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别,更好地把握向量加法的特点.
类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),向量减法的实质是减去一个向量等于加上这个向量的相反向量;向量数乘运算则是相同向量的连加.
2.平面向量的数量积运算是在研究完向量的线性运算之后的又一重要运算,它把向量的长度和三角函数联系起来,为解决有关的几何问题提供方便,特别是为解决线段垂直问题提供方便.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.向量的加法运算 2.向量的减法运算 3.向量的数乘运算 4.向量的数量积 直观想象 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 核心素养
二、学情整体分析
学生在上节课中学习了向量的概念及表示、相等向量、平行向量等概念,知道向量可以平移,另外学生在物理中学习过力的合成、位移的合成等矢量的加法,并且学生对数的运算了如指掌,这些都是学习本节内容的基础.学生在物理的力学和位移学习中,已经初步了解矢量的合成,认识矢量与标量的区别,对位移和路程也有了一定的体验,这为学生学习向量的运算提供背景,并能够从物理中的力和位移的合成中去感受向量的运算法则,通过与数的运算法则类比,学生能够猜想出向量的运算法则.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.向量的加法运算
2.向量的减法运算
3.向量的数乘运算
4.向量的数量积
【教学目标设计】
1.理解向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
3.理解向量的运算律.
4.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强学生的应用意识.
5.掌握向量数量积的定义和运算性质,运用数量积表示两个向量的夹角.
【教学策略设计】
一是创设问题情景,充分调动学生求知欲,并以此来激发学生的探究心理.
二是运用启发式教学方法.就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程,以求获得最佳效果.并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律,触发学生的思维,使教学过程真正成为学生的学习过程,以思维教学代替单纯的记忆教学.
三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法.让学生在探索学习知识的过程中,领会常见数学思想方法,培养学生的探索能力和创造性素质.
四是注意在探究问题时留给学生充分的时间,以利于开放学生的思维.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法、探究教学法,还有_______________________________________
【教学重点难点】
重点 1.向量加法、减法的运算法则及几何意义.
2.向量数乘运算的定义及其几何意义.
3.向量数量积的概念与运算律.
难点 1.理解向量加法的运算法则与向量减法的定义.
2.理解向量数量积的概念与运算律.
3.向量数量积的应用.
【教学材料准备】
1.常规材料:直尺、多媒体课件、____________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:同学们先来回忆前面两节课学习的内容:
(1)向量加法的三角形法则与平行四边形法则各是什么
(2)向量减法的几何意义是什么
生:(1)三角形法则:在平面内任取一点,,则(如图①)
平行四边形法则:在平面内任取一点,,以为邻边作平行四边形,连接对角线,则(如图②)
生:(2)已知向量,在平面内任取一点,作,则.即可以表示从向量的终点指向向量的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
师:对于非零向量它们是怎样运算的 我们这节课继续学习.
【设计意图】
师生共同回忆学过的向量加法和减法的相关知识,复习旧知识,唤起学生记忆,提出问题引出新知识,自然过渡,为学习新课做准备
教学精讲
探究1 向量数乘的定义
师:已知非零向量,作出和.它们的长度和方向分别是怎样的
【教师指导学生作图,师生共同研究】
师:我们知道,,那么是否等于呢 那么呢
生:,
师:方向如何
生:的方向与的方向相同,与的方向相反.
师:如图,,类比数的乘法,我们把记作,即,显然的方向与的方向相同,的长度是的长度的3倍.即.
类似地,由图可知,,我们把记作,即,显然的方向与的方向相反,的长度是的长度的3倍,即.
【整体设计 分步落实】
类比数的乘法学习向量的数乘,接受新知自然过渡,学生易于接受和理解
【以学定教】
认识和理解数乘向量的几何意义,必须从几何直观入手,即通过让学生自己作图和独立观察思考,让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识,进而为下一步对向量的数乘运算的几何意义的理性认识做好铺垫
【要点知识】
向量的数乘
一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度与方向规定如下:
(1);
(2)当时,的方向与的方向相同;
当时,的方向与的方向相反.
由(1)可知,当时,.
由(1)(2)可知,.
师:如果把非零向量的长度伸长到原来的倍,方向不变得到向量,向量该如何表示 向量之间的关系怎样
生:的方向与的方向相同,的长度是的长度的3.5倍,即3..
师:如果把的长度再伸长到原来的2倍,方向不变得到向量,向量该如何表示 向量之间的关系怎样
生:由已知得.又因为,可得.根据向量数乘运算的定义可得,的方向与的方向相同,.
【概括理解能力】
由特殊向量的分析到一般向量,培养学生的观察、归纳、概括的能力,让学生经历从特殊----一般,归纳---猜想的学习过程,培养学生的猜想探究能力
探究2 向量数乘的运算律
师:下面我们探究向量数乘的运算律.
【情景设置】
探究向量数乘的运算律
为非零向量:
(1)求作向量和,并进行比较;
(2)求作向量和,并进行比较;
(3)求作向量和,并进行比较.
【将学生分成三组,分别完成问题(1)(2)(3).作图完成后,组内讨论,总结规律】
师:根据上面的研究,我们先考虑每组向量之间的关系.
生:(1);(2);(3).
师:如何通过作图证明
【学生经过讨论,选出一位代表发言】
【情景学习】
学生根据教师给出的问题,在特定情境中,自行探究、讨论与比较,得出向量数乘的运算律,提高自主解决问题的能力、合作交流的能力,培养了学生由特殊到一般的归纳能力,体现了直观想象与数学抽象的核心素养
生:
师:你能归纳向量数乘的运算律吗
【猜想探究能力】
通过对三组向量运算的比较,引导学生作图,观察,猜想,总结出向量数乘的运算律,增强学生的概括理解能力,培养学生由特殊到一般的数学思想
向量数乘的运算律
设为任意向量,为任意实数,则有:
(1);(2)(3).
特别地,有.
师:向量的加法、减法、数乘运算有什么共同点
生:向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是向量.
师:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
【要点知识】
向量的线性运算的概念
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是向量.
对于任意向量,以及任意实数,恒有
.
【推测解释能力】
根据以上探究和运算过程,指出向量的线性运算的概念,总结性提出我们目前的学习内容,提高学生认知和推测解释能力
师:下面我们来看一道例题
【典型例题】
向量的线性运算
例1 计算:(1);
(2);
(3).
【学生独立完成,展示运算结果】
生解:(1)原式;
(2)原式;
(3)原式.
师:上面的例题比较简单,下面我们在平行四边形中研究向量的线性运算.
【分析计算能力】
通过学生计算,养成认真细致的良好解题习惯,尤其是去括号时括号内各项符号的变化情况,提升学生的分析计算能力
【典型例题】
向量的线性运算
例2 如图,的两条对角线相交于点,且,用向量表示和.
师:如何把四个向量与向量联系起来
生:利用向量的线性运算.
师:同学们试着尝试利用本节和前面学习的向量的线性运算知识解决该题.
【学生自主完成,教师出示正确答案,全班核对】
【典例解析】
向量的线性运算
解:在中,
.
由平行四边形的两条对角线互相平分,得
,
,
,
【推测解释能力】
学生根据例2中的已知向量,结合向量的线性运算知识,利用已知向量表示未知向量,培养了学生推测解释能力,也巩固了向量加、减法的运算,为后续学习平面向量基本定理奠定基础
探究3 向量共线定理
师:引入向量数乘运算后,你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗
【情景设置】
探究实数与向量的积与原向量之间的位置关系
对于向量如果有一个实数是实数),你能发现向量与之间的位置关系吗 具体地,
(1)如果,向量与是否共线
(2)如果向量与非零向量共线,成立吗
【教师利用多媒体进行演示,学生分组交流,得到下面的结论】
生:实数与向量的积与原向量共线,如果,由向量数乘的定义可知与共线.
已知向量与共线,且向量的长度是向量的长度的倍,即,那么当与同方向时,有;当与反方向时,有.
师:根据我们上面的研究,我们得到向量共线定理.
【情景学习】
通过探究位置关系,创设学习研究情境,在学生独立思考的基础上,小组交流,从正反两方面讨论共线向量的数乘运算的表达,提升了学生的学习主动性与积极性,提高学生的交流合作能力
【要点知识】
向量共线定理
向量与共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使.
师:如果没有的限制,会有什么结果
生:若,则,可以是,不满足实数的唯一性.
师:根据这一定理,设非零向量位于直线上,那么对于直线上的任意一个向量,都存在唯一的一个实数,使得.也就是说,位于同一直线上的向量可由位于这条直线上的一个非零向量表示.
师:下面我们根据向量共线定理进行例题分析.
【以学定教】
通过教师多媒体演示和师生探究,得出向量共线定理,以学定教,发散了学生思维,培养学生思维的严谨性和数学的探索精神
【典例解析】
向量共线定理的应用
例3 如图,已知任意两个非零向量与,试作,猜想三点之间的位置关系,并证明你的猜想.
师:判断三点之间的位置关系,主要是看这三点是否共线,为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上.在本题中,应用向量知识判断三点是否共线,可以通过判断向量是否共线,即是否存在,使成立.
【学生分组、交流,计算,得到下面的解题过程】
生解:如图所示,分别作向量,过点作直线,观察发现,不论向量怎样变化,点始终在直线上,猜想三点共线.
事实上,因为,
.
所以.
因此,三点共线.
师:通过本题,我们可以得出证明三点共线的向量方法.
【先学后教】
教师讲解前,学生通过作图,分析出向量共线的条件,教师再进行讲解例题,提高学生分析能力,体会数形结合思想在向量问题中的应用,应用向量共线定理证明三点共线,提高学生综合运用向量知识解决问题的能力
【方法策略】
证明(判断)三点共线的方法
且有公共点三点共线.
师:下面我们继续巩固练习向量共线定理.
【典例解析】
例4 已知与是两个不共线的向量,向量共线,求实数的值.
【学生先自行阅读题目,明晰条件和结论,自主探究,交流解题思路,教师引导,并展示解答过程】
师:判断两个向量共线,首先要考虑其中一个向量不为零向量.这里可以利用反证法说明向量是非零向量,否则共线.明确了这点,就可以应用向量共线定理建立题中两个向量之间的关系,进而把这个关系转化为方程或方程组,使问题得解.
【推测解释能力】
通过例4的学习与讲解,教师应引导学生体会:教学解题过程本来就是依据数学的概念、法则、定理、公式等命题转化的过程;方程(组)思想是求解未知量的极好武器.学生通过利用向量共线定理解决问题的同时,体会利用定义、定理解决问题的过程,提升推测解释能力,形成了逻辑推理的核心素养
【典例解析】
向量共线定理的应用
解:由不共线,所以为非零向量.
由向量共线,可知存在实数,使得,即,
由不共线,必有.
否则,不妨设,则.
由两个向量共线的充要条件知,共线,与已知矛盾.
由解得.
因此,当向量共线时,.
师:回顾向量的数乘运算相关知识,我们都有哪些收获
【深度学习】
通过例4,学生深度学习两个向量共线的充要条件,并会利用这个条件解决相关问题,提升解决问题的能力
【课堂小结】
向量的数乘运算
1.向量数乘的定义
2.向量的线性运算及运算律
(1)向量的数乘运算律
(2)向量的线性运算律
3.向量共线定理
(1)向量与共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使.
(2)且有公共点三点共线.
【设计意图】
通过本节学习,巩固学生对数乘运算和向量共线定理的掌握,提升学生对向量共线定理的应用能力.通过例题的训练,巩固向量数乘运算的概念及运算律.通过课堂小结,帮助学生梳理知识点,逻辑性更强,加强了学生对知识的记忆,养成了总结的好习惯
【课后作业】
教材P16练习第1~3题
教学评价
学完本节课,学生应对向量的线性运算(包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算)与向量的数量积深刻理解,并且能够熟练应用,包括运算律、几何意义.初步理解从问题中抽象出向量模型,再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果,是利用向量解决问题的基本特征.向量的运算又是解决物理学、工程技术有关问题的重要方法之一,体现数学来源于实践,又应用于实践的思想.
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推测解释、分析计算、猜想探究)解决问题,从而达到数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求
应用所学知识,完成下面各题:
1.下列命题不正确的是( )
A.单位向量不一定都相等
B.若与是共线向量,与是共线向量,则与是共线向量
C.,则
D.若与为单位向量,则
解析:根据单位向量的意义可以判定AD是正确的;零向量与任何向量都共线,取时可以判定B是错误的;根据向量加法和减法的几何意义和模的意义,可以判定C是正确的.
答案:B
2.如图所示,在中,分别是的中点,.
(1)用表示向量;
(2)求证:三点共线.
思路:本题运用向量的加法法则和减法法则解决向量的线性运算问题.
解析:(1)解:如图,延长到,使,
连接,得到平行四边形.
所以
(2)证明:由(1)可知又因为有公共点B,所以B,E,F三点共线.
【综合问题解决能力】
利用向量的加、减、数乘运算进行向量的线性表示,利用向量共线定理证明三点共线.提高了学生推测解释及综合问题解决的能力,达成了数学运算,逻辑推理的核心素养
3.已知与的夹角是.
(1)计算:①;②.
(2)当为何值时,
思路:本题考查向量的数量积的运算和性质.利用.数量积的模的运算方法.
解析:(1)由已知得,.
①∵.
②∵.
∴.
(2)∵,
∴,即,
即.
即时,与垂直.
【分析计算能力】
利用向量的数量积,求向量的模,利用向量垂直的充要条件求参数,提高学生分析计算、推测解释的能力,达成了数学运算、逻辑推理的核心素养
4.已知.
(1)求;
(2)求向量与向量的夹角的余弦值.
思路:本题考查向量的数量积的运算和性质,利用.注意数量积的夹角的运算方法.
解析:(1)∵
.
(2)∵,
∴向量与向量的夹角的余弦值为.
【分析计算能力】
利用向量的数量积和夹角公式,求向量的模和夹角的余弦值.提高学生分析计算、推测解释及综合问题解决的能力,达成了数学运算,逻辑推理的核心素养
【以学定教】
本节课是对向量的线性运算的学习,类比讲解法有利于学生从物理背景和数的运算中接受新知识,对于平面向量的运算,探索其运算性质,体会向量运算的作用.教学中保持知识的科学性和系统性,有助于学生认同新概念的合理性,便于加深学生对向量运算内涵的理解,提高学生的应用意识
教学反思
整个教学设计是将教师定位于学生学习的引导者、组织者和合作者,以教材为依据,挖掘教材所蕴含的思想方法和数学逻辑,创设教学情境,激发学生学习兴趣.在讲解向量的运算法则时,教师的一种处理方法是适当结合物理知识进行力的分解,启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解,会有更大的收获.在进行向量数量积问题的教学时,涉及平行投影等知识与方法,可根据不同的学生对象进行取舍.教学中根据班级的实际情况,在教学中积极践行新课程理念,倡导合作学习;注重学生动手操作能力与自主探究能力的培养.
【以学论教】
本节有许多内容可以类比学习,应大胆地让学生进行类比推理,让学生成为课堂的主体.
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